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文档简介
1、数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.若abc=1,则 a b c 的值是()ab a 1 bc b 1 ca c 1A. 1 . B. 0. C. -1 . D. -2 .解析:abc=1,则a, b, c均不为0.at 4-a +1 be + b +1 ca -He +1 ac3bc二+11 十 ac + c bc + b +l + bc + babc b bc-4-+b + 1 + bc + 1>+1 l + bc + b 1+b +bcb + 1 +bc选A.2.若 x3+y3=1000,且 x2y-xy 2=-496 ,则(x 3-y 3)+(4xy 2-2x
2、 2y)-2(xy解析:由于 x3+y3=1000,且 x2y-xy 2=-496 ,因此要把(x3-y3)+(4xy项表示为含x3+y3及x2y-xy 2的形式,以便代入求值,为此有2-y 3尸.2-2x 2y)-2(xy 2-y 3)分组、凑(x 3-y 3)+(4xy 2-2x 2y)-2(xy 2-y 3)=x 3+y3+2xy2-2x 2y=(x 3+y3)-2(x22y-xy 2)=1000-2(-496)=1991111113.右m+np=0,则m+ n-p的值等于n pmpm n解析:3,提示:11m( )n p1111n( )p()m pm n(m P) (n P) (m 与
3、n nm mp p4.若x-y=2 , x2+y2=4,贝Ux1992+y1992的值是()A. 4 B. 19922 C , 2 1992D. 41992解析:由x-y二2 平方得x2-2xy+y 2=4又已知x2+y2=4-得= 0>zy = 0.所以x, y中至少有一个为0,但x2+y2=4.因此,x, y中只能有一个为0,另一个为2或-2 .无 论哪种情况,都有x1992+y1992 = 01992+( 土 2) 1992 =21992,选 C.5 .在等式 y=ax2+bx+c中,当x=1 时,y=-2,当x=-1 时,y=20,则ab+bc+9b2=.解析:以 x=1,y=-
4、2 代入 y=a2+bx+c得 a+b+c=-2 以 x=-1,y=20 代入 y=ax2+bx+c得 a-b+c=20 -,2b=-22 ,所以b=-11 .因此a+c=9.于是 ab+bc+9b2=b(a+c)+9b 2=(-11) x (9)+9 x 112=990.6 .已知 a+b = 3, a2b + ab2= -30,则 a2- ab+b2+ 11=507 .已知 a 1=-2 ,贝U a4 =2 ; a4 二=0 . aaa8 . 如果 m 二 3, 那么 rn3 3- = mm31121112女护一 m (m )(m12) (m )(m)3解析:36,提不: mmmmm_ 2
5、_(3) ( 3)3 369.三个互不相等的有理数,既可表示为1, a+b,a的形式,又可表示为0, b ,b,的形式,则a1992+b"1993=解析:由于三个互不相等的有理数,既可表示为一 L也的痂式,又可表示为0,:,匕的形式.也 就是说这两个三数组分别对应相等,于是可以断定,自十1)与抽中有一个为。,士与A中有一个为1.a但若会便士没意义,所外#。,只能是廿十&-。=立一-&又0卢0 = 2 - -1.由于必a8A-,$为两两不相等的有理数,在-=7的情况 aa下,只能是b=1.于是a=-1 .所以,a1992+b1993=(-1 ) 1992+(1 ) 19
6、93=1 +1 =2.10 .如图6, D点在 R匕ABC的直角边上 BC上,且 BD=2, DC=3,若AB=m, AD=n,那么解析:勾股定理:m=BC+AC=52+AC2 n 2=DC2+AC2=32+AC2 可得:m2 - n 2 =1611 .已知 ax+by=7, ax2+by2=49, ax3+by3=133, ax4+by4=406,试求 1995(x+y)+6xy- 17 (a+b )2的值.分析:已知 ax+by=7, ax2+by2=49, ax3+by3=133, ax4+by4=406.形式很对称,很容易诱使你将ax+by=7两边平方,再减去ax2+by2=49,想利
7、用乘法公式算出 xy ,但一试发 现此路不通.由于受所作某些训练题型模式的影响,很多同学仍企图走此路,以致最后陷入死胡同.事实上,ax+by平方后必出现a2x2与b2y2,而ax2+by2中,a, b<B不是平方, 这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通.应及时转向,通过一项一项表 示,往一起凑这个最基本的方式去做.解:显然ax2=49-by 2,by2=49-ax 2ax3=49x-bxy 2,by3=49y-ax 2y相加得133=ax+by=49(x+y)-xy(ax+by)即49(x+y)-7xy=1337(x+y)-xy=19同理 ax3=l33-by3, by=13
8、3-axAq Aqax =133x-bxy , by =133y-ax y相加得406=ax4+by4=133(x+y)-xy(ax 2+by2)即 133(x+y)-49xy=40619(x+y)-7xy=58由、联立,设 x+y=u, xy=v得 7u-v=1919u-7v=58,解得 u=2.5 , v=-1.5即 x+y=2.5 , xy=-1.5由 ax=7-by , by=7-ax得 ax2=7x-bxy , by2=7y-axy相力口得 49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b)所以 1.5(a+b)=49-7 X 2.5a+b=21此时即可求得199 耳.+ y) +
9、6xy(a + b)二 1995x(2.5) +6x(-15) - 2117=4987.5-9-178.5=4800说明:本题虽然所用知识单元块均在初一学过,但解此题需要考生有较强的应变能力与 观察综合能力,并且计算也要很细心,因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目.本题改编自下面的问题“已知 ax+by=8, ax2+by2=22, ax3+by3=62, ax4+by4=178,试求 1995(x+y)+6xy之值”.有兴趣的读者不防解一解看.答案是 10011.再想一想,满足题设条件的a与b两数之和a+b等于多少?你能独立地求出 a+b之值吗?(答a+b=3)题型二、多项式的带余除法1
10、 .设m2+mi- 1=0,则 m3+2m2+ 1997=.解析:原式=m3+ m2 mi+ m?+mi- 1+1998=m (m2+rni 1) + (m2+rni-1) +1998,2=(m + m- 1) ( m+ 1) +1998由于 m2+m- 1 = 0,原式= 1998.2 .如果 x2+x-1=0,贝U x3+2x2+3=4.3 .若 x23x1 0,则 x35x25x 18 20-2_43_ 2_4 .如果 x 2x 3,那么 x 7x 8x 13x 15 18。5 .已知 a3 2a 2,则 3a6 12a4 a3 12a2 2a 4=。6 .若x2 2x 5是x4px2
11、q的一个因式,则 pq的值是150.题型三、多项式展开式,一 2,、365432一1 .育(2x x 1)aoxaxa?xa3xadxa5xa6,则a1a3as = -46234562 . 如 果 2x 1a0 alx a2xa3xa4xxa6x, 那 么a0aa2a3a4a5a6 =1; a0 a2ada6 =365解析:杨辉三角:-1-4 18 -12 6-164 -192 240-16060 -12 1 6所以:一式=1-12+60-160+240-192+64=1二式=1+60+240+64=365体型四、裂项求和法x x xx1 方程 5+6+/+.+ 2008X 2009 = 20
12、08 的解是 x= 20092.方程20092009的解是1005题型五、比例性质1、已知皿 3a 2b c则a 2c 3c2.三个有理数ab,c满足a: b:_12c=2: 3: 5,且 ab2 2 abca+b+c=解析:设a=2k,b=3k,c=5k代入可得19k=,所以 a+b+c=10k=15a3c b23 .已知 x= 1 时,3ax5 2bx3 cx2 2=10,其中 a: b: c=2: 3: 6,那么a +1 b + 1a+b 刁 口a 84 如果才=丁 =千,那么 = 95.已知非负实数x 1x,y, z满足一“z 3,记W 3x 4y 5z ,求W的最大值4与最小值.、儿
13、 x 12 y z 3设k,则x 2k 1, y解析: 2343k 2,z 4k 3.(3 分)因为 x,y,z均为非负实数。2k 1 0,所以3k20,4k 3 0.12解得:1 k .(5分)23于是:W 3x 4y 5z3(2k 1) 4(3k 2) 5(4k 3)14k 26(5分)1 2八所以 一14 26 14k 26 14 26,(7分)2 3即所以W的最小值是19,最大值是351(10分)3题型六、含绝对值的最值问题1.有理数a,b,c,d使1abed=-1,则同忖忖回的最大值是abed a b c d解析:13.由甯!知,诙b, c, d中负数 abca为奇数个,若小b, 5
14、 d中一个负三个正,%3耳+?也若用儿c,抑三个加 一个正瞿+应用2,所吹 回+3直+ 0的最大值是2 abed2.若 abc的最大值是 4abc3.当| x 2 | | x 3 |的值最小时,| x 2 | | x 3 | | x 1 |的值最大是 ,最小是 解析:当x-2| + |x-3|的值最小时,2 < x< 3,又因为1不在2和3之间,所以可则 |x-2| 十 |x-3| - |x-l| = 0则.I I所以,所求最大值为 0,最小值为4.若a、b、c都是正整数,且a+b + c= 55, a bc= 8,则abc的最大值为 2009, 最小值为713.31 .十进制的自
15、然数可以写成 2的方哥的降哥的多项式,如:19(10) 16 2 1 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 10011(2) ,即十进制的数19对应二进制的数10011.按照上述规则,十进制的数413对应二进制 的 数是110011101.32 .如果 a, b, c都是质数,且 b c=13, C2 a2=72,贝U a b c= .解析:由 b + C=13, / /=72 得,b, c 中至少有一个 2,分析可知,b = 2,则c = 13 - 2 = 11 ,|az = 121 - 72 49 ,a = 7 , 所求a + b + c = 2033 .在下图所示的每个小方格
16、中都填入一个整数:nrn并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则xyz解析:容易断定与x相邻的两个数分别为9与2,即因为9+x+2=5,则x=-6,依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,分别确定出每个格子中所填之数如下:9-629-62-62_y-629-62y-6gI27断定y=-6, z=9.所以x+ y 4 工(一0 + (6) + 931zyz = -6) * 9 =苑=一冠34 . a, b, c是三个不同的自然数,两两互质.已知它们任意两个之和都能被第三个整除.则a3+b3+c3=.解析:不妨i盟%十如-<2,出已知,出应为正整数,所以只能山=1. aa于是白"
17、;由于这二个数中任两个之和可被第三个整除,应有 b|a+c .,.b|(b+c) + c即+ 3c)=> 同 2士 又由于b、c互质,/.b|2,又,b>2,但 b|2 ,只能是 b=2.于是 c=1, a=3.因此 a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36.35 .若 a, b, c, d为整数,(a2+b2)(c 2+d2)=1993 ,贝U a2+b2+c2+d2=.解析:由于 1993是质数,a2+b2, c2+d2是 1993的约数,只能 a2+b2=1, c2+d2=1993,或a2+b2=1993, c2+d2=1,所以 a2+b2+c2+d2=1+19
18、93=1994.36 .若 a, b, c, d为非负整数.且(a2+b2)(c 2+d2)=1993 .则 a+b+c+d=.解析:因为1993是质数,a2+b2与c2+d2都是正整数,所以a2+b2与c2+d2分别取值1与1993 (参见第一试填空第7题解答).为确定起见;,不妨设a2+b2=1, c2+d2=1993.(1)a 2+b2=1.推知 a = 0, b=1 或a=1, b=0,因此 a+b=1.(2)c 2+d2=1993.若 cW 31 ,d<31,则 c2+d2w 2X 312=2 x 961=1922v 1993.所以 c, d 中至少有一个大于 31.又 由于4
19、42=1936v 1993,故设c为c, d中较大的一个,则 32<c<44.我们依次取c=44, 43, 42, 41,,33, 32试算如下:C44434341403S二?1936网917ti4I6G114OC152114411DP3-:25744诩:31230347354。C37部笠*光32m1比Q由12J51156皿。1024眸697763宕37904969其中1933-c2的结果中,只有144=122为完全平方数,即432+122=1993,所以c=43, d=12 或c=12, d=43.因此,c+d=55.所以 a+b+c+d=1+55=66.P q37 .已知p、q
20、均为质数,并且存在两个正整数m,n,使得p=m+n,q=mn,则二qm的值为mn nm解析:q是质数,q=mx n,所以m, n只能一个为1,另一个为q.此时p=m+n=1+q而p又是质数,只能p=3, q=2.即m, n一个是1,另一个是2.工日 pi 十十 33 +2a27 + 431J JF =.22 n2p1+口粗 P+213338 .自然数m,n是两个不同的质数,m+n+mn勺最小值是p,则m 解析:m n都是质数,要m+ n+mn|X最小值,只能m n取2与3,所以p=2+3+2X 3=11.因此手中1339 .五位数538xy能被3,7和11整除,贝Ux2-y2 =解析:由于五位
21、数538xy能被3,7和11整除,可知3X7x 11=231整除538xy .试除知 231231231231231可见 x=2,y=3.xX 230=53130>231=53361>232=53592>233=53823>234=540542-y 2=4-9=5.40 .三个不同的质数,a,b,c 满足abbc+a=200,则a+b+c=解析:易知 a(bbc+1)=2000=2 4>53.若a=5,则 bbc+1=400,bbc=399=3M33=3X7 M9无论c=3,7或19都不能求得质数b,故aw5.只能取a=2,此时bbc+1=1000,b bc=99
22、9=33 >37,则 b=3,c=37,因此,a+b+c=2+3+37=42.41 .设m和n为大于0的整数,且3m 2n 225。(1)如果m和n的最大公约数为15,则m n . (2)如果 m和n的最小公倍数为 45,则m n 解析:. m、n为大于 0的整数,且3m+2n=225,若(m,n)=15,则 3m=3X 15=45,2n= 2 x 90=180,m=15,n=90m+n=15+90=105.(2) 若m,n=45,则 m+n=45+45=90.42. 5位数2X9Y1是某个自然数白平方,则 3X+7Y= 29.43. a和I8都是正整数,则 a= 4.a2 a 244.
23、 正整数 m和n有大于1的最大公约数,且满足 n3+n=371,则mn= 19645. 已知都是整数,且?0 或 1?。46、若是能被3整除的五位数,则的可能取值有?3?个;这样的五位数中能被9整除的是?94599?。47. 两个正整数x和y的最大公约数是4,最小公倍数是20,则x2y2 3xy 1 6641。48. n是自然数,如果n+20和n 21都是完全平方数,则 n等于 421.49. 2m+2006 + 2m (m是正整数)的末位数字是 .解析:0 ,提示:2m 2006 2 m 2m (2 2006 1),24n 1的末位数字是2, 22006的末位数字 是4,22006 1的末位数字是5,故2m (2 2006 1)是0。3550 .已知 m, n, p 都整数,且 mn p m 1,则 pm mn 2np =,解析:由题意得:m=n+1,p=m或 m=n,p=m+1,当 m=n+1,p=m时原式=3;当m=n,p=m+1时原式=3.所以原式=351 .设 X1 , X2,
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