25正弦定理、余弦定理应用举例

1、2021/8/21正弦定理、余弦定理应用举例正弦定理、余弦定理应用举例2021/8/221解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6个元素中要已知三个个元素中要已知三个(除三角外除三角外)才能求解，常才能求解，常见类型及其解法如表所示见类型及其解法如表所示.已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a, B, C )两边和夹角两边和夹角(如如a, C , b )三边三边 (a, b, c)两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角 (a, b, A)正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正

2、弦定理正弦定理由由A+B+C=180, 求角求角A, 再用正弦再用正弦定理求出定理求出b与与c.用余弦定理求出角用余弦定理求出角A, B,再由再由A+B+C=180求出角求出角C.由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c；由正弦定；由正弦定理求出小边所对的角；再由理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角求出另一角 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B;由由ABC180 ,求出角求出角C;再利用正弦定理或余再利用正弦定理或余弦定理求弦定理求c.可有两解可有两解,一解或无解一解或无解 2021/8/23 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海

3、问题、物理问题等积问题、航海问题、物理问题等2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型(1)仰角和俯角：仰角和俯角：3实际问题中的常用角实际问题中的常用角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角线在水平视线下方叫俯角2021/8/24 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角的水平角, 叫方向角叫方向角.(2)方向角方向角 目标方向线方向一般可用目

4、标方向线方向一般可用“偏偏”多少度来表示多少度来表示,这里第一这里第一个个“”号是号是“北北”或或“南南”字字,第第二个二个“”号是号是“东东”字或字或“西西”字字.OA的方向角为；的方向角为；OB的方向角为；的方向角为；OC的方向角为；的方向角为；OD的方向角为的方向角为.北偏东北偏东6060 北偏西北偏西3030 西南方向西南方向南偏东南偏东2020 2021/8/25(4)水平距离、垂直距离、坡面距离水平距离、垂直距离、坡面距离(3) 方位角方位角 从正北方向顺时针转到目标方向从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如线的水平角，如B点的方位角为点的方位角为 如图如图BC代表水平距离代表

5、水平距离, AC代表垂直距离代表垂直距离, AB代表代表坡面距离坡面距离.A AB BC C2021/8/2614i 即即. . 如图把如图把坡面的铅直高度坡面的铅直高度h和水平宽度为和水平宽度为l 的的比比叫做叫做坡度坡度(或叫做坡比或叫做坡比),用字母用字母i表示表示,坡度一般写成坡度一般写成h:l的形式的形式.如如i=1:4,(5)坡度、坡角：坡度、坡角： 坡面与水平面所成的坡面与水平面所成的二面角二面角的度数叫做的度数叫做坡坡角角, 坡角与坡度之间有如下关系：坡角与坡度之间有如下关系：tan.hil hil 即即. .hlhil 2021/8/272021/8/282021/8/292

6、021/8/2102021/8/211【例【例2】某人在塔的正东沿着南偏西】某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为角为30，求塔高，求塔高2021/8/2122021/8/213 如图如图,某人在塔的正东方向上的某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面处在与塔垂直的水平面内沿南偏西内沿南偏西60 的方向以每小时的方向以每小时6千米的速度步行了千米的速度步行了1分钟以后，分钟以后，在点在点D处望见塔的底端处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角在东北方向上，已知沿途塔的仰角A

7、EB,的最大值为的最大值为60 . (1)求该人沿南偏西求该人沿南偏西60 的方向走到仰角的方向走到仰角最大时，走了几最大时，走了几分钟；分钟； (2)求塔的高求塔的高AB.2021/8/2142021/8/215如图如图,某人在塔的正东方向上的某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿处在与塔垂直的水平面内沿南偏西南偏西60 的方向以每小时的方向以每小时6千米的速度步行了千米的速度步行了1分钟以后，在分钟以后，在点点D处望见塔的底端处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为的最大值为60 . (2)求塔的高求塔的高AB.2021/8/

8、216 【例【例3】如图所示】如图所示 , 在梯形在梯形ABCD中中, ADBC , AB5 ,AC9, BCA30 , ADB45 , 求求BD的长的长2021/8/2172021/8/218 如图所示，如图所示，ACD是等边三角形，是等边三角形，ABC是等腰直角三角是等腰直角三角形，形，ACB90，BD交交AC于于E，AB2. (1)求求cosCBE的值；的值； (2)求求AE.2021/8/219运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题2021/8/2202021/8/2212021/8/222 解斜三角形应用题的一般步骤为：解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：

9、第一步：分析：分析：理解题意理解题意,分清已知与未知分清已知与未知,画出示意图；画出示意图；第二步：第二步：建模：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与根据已知条件与求解目标，把已知量与 求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一 个解斜三角个解斜三角形的数学模型；形的数学模型；第三步：第三步：求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；形，求得数学模型的解；第四步：第四步：检验：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解而得出实际问题的解20

10、21/8/223例例1.(2010福建高考福建高考)某港口某港口O要将一件重要物品用小要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口位于港口O北偏西北偏西30且与该港口相距且与该港口相距20海里的海里的A处，处，并正以并正以30海里海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以驶假设该小艇沿直线方向以v海里海里/小时的航行速度小时的航行速度匀速行驶，经过匀速行驶，经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行速度只能达到30海里海里/小小时时,试设计航行方案试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大即确定航行方向和航行速度的大小小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由并说明理由.2021/8/2242021/8/2252021/8/2262021/8/2272021/8/2282021/8/2292021/8/2302021/8