【对于课外学习知识】神秘的√-1

1、c学习园地数学二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五，因此， 4的算数平方根为2,9的算数平方 根为3, 25的算数平方根为5.然而负数的平方根是什么样呢？口和之类的表达式有什么意义吗？如果有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论，说明这些式子没有任何意义，这里可以引用12世纪的一位数学家拜斯伽罗 （Brahmin Bhaskara 1的话：”正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”可是数学家的脾气倔强得很。如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头，他们就会尽可能创造一些意义来。负数的平方

2、根就在许多地方冒过头，既在古老而简单的算术问题上出现，也在 20世纪相对论的时空结合问题上露面。第一个讲负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是16世纪意大利数学家卡尔丹 （Cardan）。在讨论是否可能讲 10分成两部分，使两者乘积等于 40时，他指 出，尽管这个问题没有任何有理解，然而如果把答案写成5 5和55这样两个怪模怪样的表式，就可以满足要求了。尽管卡尔丹认为这个两个表式没有意义，是虚构的、想象的， 但是，他毕竟还是把它们写下来了。既然有人敢把负数的平方根写下来，尽管有点想入非非，却把 10分成两个乘起来等于 40 的事办成了。这样有人开了头，负数的平方根 一卡尔丹

3、给它起了个大号叫“虚数” -就越 来越经常地被科学家们所使用了。 虽然总是伴有很大保留， 并且要提出种种借口。 在瑞士科 学家欧拉（Euler）1770年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切形如，7, 12的数学式，都是不可能有的、想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都是不多些什么，更不必什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻。“但是，尽管这些非难和遁词，虚数还是迅速成为分数的根式中无法避免的东西。没有它们， 简直可以说寸步难行。不妨说，叙述构成了实属在镜子里的幺3象。而且，正像

4、我们从基数1可得到所有实数一样，我们可以把作为虚数的基数，从而彳#到所有虚数。通常写为i.1拜斯伽罗（1114-1185）,印度数学家ll不难看出，,飞 9.7 3i,J不 77 H 2.646i .等等。这么一来，每 个实数都有自己的虚数搭档。止匕外，实数和虚数还能结合起来，形成单一的表式 例如5 .75 5 、15i .这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表达式通 常叫做复数。叙述闯入数学的领地后。足足有 2个世纪，一只披着神秘的、不可思议的面纱。直到2个业余数学家给虚数做出了简单的几何解释后，这张面纱才被揭去。这 2 个人是测绘员威赛尔(Wassed),罗威人；会计师阿尔刚 (Rbo

5、erst Arand),法国巴 黎人。按照他们的理解，一个复数，例如 3 4i,可以想图1那样表示出来，其中3 是水平方向的坐标，4是垂直方向上的坐标。所有的实数都对应横轴上的点，而纯虚数对应纵轴上的点。当我们把位于横轴上 的实数3乘以虚数单位i时，就得到位于纵轴上纯虚数 3i.因此，一个数乘以i, 在几何上相当于逆时针旋转90° .如果把3i再乘以i,则又须再旋转90° ,这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了，因为 3ixi=3i2=-3ZZ 1111111111那么“i的平方等于-1”这个说法，比“两次旋转90。（都逆时针旋转）变成反 向“更容易理解。这个规则同样

6、适用于复数。把 3+4i乘以i,得到（3+4i）i=3i+4i 2=-4+3i从图1就可以明显看出。-4+3i正好是3+4i这点绕原点逆时针旋转了 90°。如果你现在仍觉得虚数带有一张神秘的面纱，那么，让我们通过一个简单的、包 含有虚数的实际应用的习题把这张面纱揭去吧。从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸， 上 面指出了一项宝藏。他是这样写着的：乘船至北纬西经（为了不泄密起见，文件上的实际经纬度， 被删除），即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一 株松树。还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并 记住走了多少步

7、；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩。然后回 到绞架那里，朝松鼠走去，同时记住所走的步数；到了松树再向左拐个直角再走 这么多步。在这里也订个桩。在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。这道指示很清楚、明白。所以，这么年轻人就租了一条船开往目的地，他找到了 这座岛，也找到了橡树和松树，但使他大失所望的是，绞架不见。经过长年累月 的日晒雨淋，绞架早已糟烂成土。我们这位年轻的冒险家陷入了绝望。 在狂乱中，他在地上乱嚼起来。但是地方太 大了，一切只是白费力气。他只好两手空空、启航回程。因此，那些宝藏还在那 岛上埋着呢！ 这是一个令人伤心的故事，然而，更令人伤心的事：如果小伙子懂点数学，特别 是

8、虚数，他本来是有可能找到这些宝藏的。 现在我们来为他找找看，尽管为时过 晚，于事无补了。我们把这个岛看成一个复数平面。过两棵树树干画一轴线（实轴），过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11）,并以两树距离的一半作为长度单位。这样，橡树 位于实轴上的-1,松树则在+1点上。我们不晓得绞架在何处，不妨用大写的希腊 字母r （这个字母看起来倒像个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在 两根轴上，因此，r应Ig是一个复数，即r =a+bill现在搞点小计算，同时别忘了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在r,橡树 在-1,两者的距离和方位便为：=11同理，绞架与松树相距1 。将这两段距离分别顺时针和逆时

9、针旋转 90° ,也 就是按上述的规则把两个距离分别乘以i和i。这样便得出两根桩的位置为 ： 第一根：i 1第二根：i 11 i 11宝藏在两根桩的正中间，因此，我们应该求出上述2个复数之和的一半1 i 11 i 11211 i 1 i i 121 2i i2现在可以看出，所表示的未知绞架的位置已在运算过程中消失了。不管绞架在何处，宝藏都在+i这个点上。瞧，如果我们的年轻的探险家讷讷感做这么一点点数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去,他只要在图11中打X处挖一挖，就可以把宝贝弄到手了。如果你hi啊是不相信找到的宝藏，可以完全不知道绞架的位置，你不妨那一张纸，画上两 棵树的位置，再在不同的地方，假