4托勒密定理与西姆松定理

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持§ 4托勒密定理与西姆松定理托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对 角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的 面积与另一组对边所包矩形的面积之和）.即：定理：在四边形ABCD中，有：AB CD AD BC AC BD证：在四边形 ABCD内取点E,使 BAE CAD, ABE ACD则：ABE和ACD相似AB BEAC CDAB CD AC BEh AB AE 口又且BAC,AC ADEADABC和AED相似BC EDAC ADAD BC AC EDAB CD AD BCAC

2、 (BE ED)AB CD AD BC AC BD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当 A、B、C、D四点共圆时成立;一、直接应用托勒密定理例1、如图2, P是正 ABC#接圆的劣弧上任一点（不与B、C重合）， 求证：PA=PBb PC分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗. 若借助托勒密定理论证，则有PA-BC=PBAO PCAR ; AB=BC=AC . PA=PB+PC二、完善图形借助托勒密定理例2、证明“勾股定理”：在 RtzABC中，/ B=90° ,求证：AC=AB+BC证明：如图，作以RtzABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD）显然 是

3、圆内接四边形.由托勒密定理有AC BD=AB CDDr AD- BC又ABCO矩形，AB=CD AD=BC AC=BD把代人，得aC=abU bC.ABCD例3、如图，在 ABC4 /A的平分线交外接圆于 D,连结BQ 求证：AD- BC=BD（ABAC）.证明：连结CQ依托勒密定理有AD BC= AB- CDDrAC- BD./ 1 = /2,BD=CD故 AD - BC=AB BA AC- BD=BD（A BAC）.三、构造图形 借助托勒密定理例 4 若 a、b、x、y 是实数，且 a2+b2=1, x2 + y2=1.求证：ax+byW1.证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt

4、AACBfH RtAADB 使AC= a, BC=bBD =x, AD= y.由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.据托勒密定理有AC BD+ BC- AD=AB CD1文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. CDC ABJ= 1,.ax+bywi.四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例5、已知a、b、c是AABC勺三边，且a2=b(b + c),求证：/ A=2Z B.分析：将a2=b(b + c)变形为a - a=b b+bc,从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰 梯形，使两腰为b,两对角线为a, 一底边为c

5、.证明：如图，作ABC勺外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D,连结BD DCDA . ; AD=BC ACD BDC . / ABDh BAC 又/BDAhACB«寸同弧)，./1 = /2. 依托勒密定理有BC AD=AB CDDt BED- AC 而已知 a2=b(b + c)，即 a a=b - c+b2./ BAC=Z ABC五、巧变形妙引线借肋托勒密定理例 6、在ABCfr,已知/ A： /B： /C=1： 2： 4,分析：将结论变形为AC- BO AB- BC=ABAG把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形.如图，作ABC勺外接圆，作弦 BD

6、=BC连结AD CD 在圆内接四边形ADB计，由托勒密定理有AC BA BC- AD=AB CD易证 AB=AD CD=ACAC BO BC- AB=AB AQ练习 1.已知 ABC中，/ B=2/ Co 求证：aC=aB+AB BQ【分析】过A作BC的平行线交 ABC勺外接圆于D,连结BD贝U CD=DA=ABAC=BD 由托勒密定理，AC- BD=AD BC+CDAB西姆松(Simsor)定理(西姆松线)：从AB。卜接圆上任意一的BG CA A瞰它们的延长线引垂线, 垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线.注：设 ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为 D、E、F条'日四

7、边形ABCD是圆内接四边形，且 D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线, 例9、求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，!例10、设ABC的外接圆的任意直径为 PQ,则关于P、Q的西姆松线 作业：1.设AD是AABC勺边BC上的中线，直线 CF交AD于F。 AE 2AF2文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持3 . D> E、F分别在 ABC勺BC CA AB边上，BD_ AF_ CEB5一市一直一，AD、BE CF交成4LMN 求 SalmnoFAC4 .以 ABC各边为底边向外彳相似的等腰 BCE CAR AAB（G 求证：AE BF、CGf

8、fi交于一点。5 .已知正七边形 AAA3AiAAA7。求证：色陷口 网/ 'A*。6 . ABCBC边上的高AD的延长线交外接圆于 P,作PE!AB 于E,延长E或 AC延长线于F。求证：BC- EF=BF CE+BE CF7 .正六边形ABCDE的对角线AG CE分别被内分点M N分成的 比为 AM AC=CN CE=k 且 B、M N共线。求 k。（23-IMO-5）8 .。为AABC内一点，分别以da、db、dc表示。到BG CAAB的距离，以R、R、R表示。到A、B、C的距离。求证：(1) aRaAbdb+c dc；(2) a - Ra Ac d b+b dc；(3) Ra+

9、R+RA2(da+db+dc)。9 . ABC, H、G O分别为垂心、重心、外心求证：H G。三点共线，且 HG=2GO （欧拉线）10 .。01和。02与 ABC的三边所在直线都相切，E、F、G、H为切点，EG FH的延长线交于P。求证：PAL BG11 .如图，在四边形 ABCDK 对角线AC平分/ BAD在CD 上取一点E, BE与AC相交于F,延长DF交BC于G 求证：/ GAC= EACAE DC BF = 11 .分析：CEF截zAB»而 丽盛一（梅氏定理） 评注：也可以添加辅助线证明：过 A、B D之一 作CF的平行线。2 .分析：连结并延长AG交BC于M,则M为BC

10、的中点MD俞二（梅氏定理）MD _1至二（梅氏定理）BE AGDEG截ABMk瓦,CF AGDGF截AACMh瓦而BE CF GM (DB+ DC) GM-2MD L-J= 二-=_ 】，一 =1评注：梅氏定理3 .梅氏定理4 .塞瓦定理5 .评注：托勒密定理6 .评注：西姆松定理（西姆松线）7 .评注：面积法8 .评注：面积法3文档来源为：从网络收集整理文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持9 .评注：同一法10 .评注：同一法11 .证明：连结BD交AC于H。XtzBCDi塞瓦定理，可得 因为AH是/ BAD勺角平分线，由角平分线定理，BH _ AB CG AB DE ,- - = 1可得 HD AD ,故 GE AD EC 。过C作AB的平行线交AG的延长线于I ,过C作AD的CG _