离心率的五种求法

1、离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率O<0<1,双曲线的离心率e>l,抛物线的离心率e = .一、直接求出,c,求解e已知标准方程或d,c易求时，可利用离心率公式 = £来求解。a2例1过双曲线C： X2-2L = Kb>0）的左顶点A作斜率为1的直线人若/与双曲线M的 Ir两条渐近线分别相交于点B、C,且:ABl = IBC ,则双曲线M的离心率是（）扎価B. 5 C. D.32分析：这里的d = l,C =7,故关键是求出b2,即可利用窪义求解。解：易知A（-1, 0）,则直线/的方程为y = x + l&

2、#176;直线与两条渐近线y = -bx和y = bx的交点分别为B（-丄.丄）、C（丄亠），又AB二BC,可解得b2=9,贝IJb + 1 b + 1b-1 b-lC = T故冇e = = VlO ,从而选Aoa二变用公式2严馬（双曲线）,2再椭圆）整体求岀。例2已知双曲线l-4 = i>0,7>0）的一条渐近线方程为y = J ,则双曲线的Cr Ir3离心率为（）A. - B. -C. -D.-3342分析:本题已知2= £ ,不能直接求出a、C ,可用整体代入套用公式。“3解：因为双曲线的一条渐近线方程为y = -x I所以IL = I I则3a 3e = -= /

3、1 + （-）2 = - / 从而选Ao Y 332 21. 设双曲线= I （a>0,b>0）的渐近线与抛物线y = x2 + 相切，则该双曲线的离 心率等于（C ）A. 3B. 2C. 5D. 6解：由题双曲线*一君= l(">0,彷>0)的一条渐近线方程为y =弓,代入抛物线方程整理得UXI-bx+a,因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a20,即I = 4 . £ = J +厶=l + 4 = >/5 2. 过双曲线二一二=1 (a > 0" > 0)的右顶点A作斜率为一 1的直线，该直线与双曲线的 Cr Ir两条渐

4、近线的交点分别为5C.若乔=丄氏，则双曲线的离心率是()2A. 2B. 3C. 5D. 10答案:C【解析】对于A(eO),贝IJ直线方程为x+y-a = O,直线与两渐近线的交点为B, C,ab ab a + b + b )a + b a + b3. 过椭圆4 + r = l (a>b>O)的左焦点FI作-轴的垂线交椭圆于点P,朽为右焦点, 若ZFlPF2 = 60 ,则椭圆的离心率为()A.返B.迺C. 1 D. 12323吟I从而可得-2 2【解析】因为P(-G±-),再由ZF1PF2 =60有丄JL故选B3三、构造d. C的齐次式，解出£根据题设条件，借

5、助b. C之间的关系，构造C的关系（特别是齐二次式）,进而 得到关于£的一元方程，从而解得离心率幺。2 2例3已知椭圆- + L = （a>b>O）的左焦点为厂 右顶点为A,点B在椭圆上，且BF丄X轴，直线AB交y轴于点P若丽=2两，则椭圆的离心率是（）2【解析】对于椭圆，因为乔=2陌则*2",詁1设片和&为双曲线Ffr=I （">°">°）的两个焦点，若心 巧，P（0,2b）是正三 角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（）B. 2c ID. 3即丄=（疋+/异）+3+庆）一“2【解析】由吨唱斗有3宀心4

6、（）则。十2,故选B.2双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为R、F2 t ZFlMF2 =120° r则双曲线的 离心率为（）A 3 B百 C逅 D逼233解：如图所示，不妨设M(O,b) , F(-c,) , 2(c,0),则 MFl = MF2 = yc2+b2 I 又F1F2 = 2 ,在中,由余弦定理,得COSZFIMFl = M川：咋 -伫! -2MFMF2b2-c2 _12(c2÷72)b2+c2 ""2 j3设AABC是等腰三角形，ZABC = I20 ,则以A, B为焦点且过点C的双曲线的离心 率为（B ）D. l + 34. 设双曲线

7、的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（D.5÷12解析：选D不妨设双曲线的焦点在轴上,设其方程为：4-4=>o7>o),Cr k则一个焦点为F（CaB（0,b）一条渐近线斜率为：直线皿的斜率为：-.（-） = -1, j.b1=acaCaC宀宀M=0,解社=汁誓5设椭圆的两个焦点分别为FK F2 r过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若AFf巳 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D ）C. 2-、伍D 2-l解：由 PF2=7 = 2c*-Sc化为齐次式/+2l = Od0 = -lX- r6.双曲线-7

8、- = l （rt>07>0）的左.右焦点分别是片，过£作倾斜角为30的直 Cr Iy线交双曲线右支于M点，若M尺垂直于X轴，则双曲线的禽心率为（B ）A. 6B. 3D.33若双曲线上存在点A, ZF1AF2=W7设F1,场分别是双曲线才*的左、右焦点, 且AFl = 3AF2,贝IJ双曲线的离心率为（B ）22D. 552AFx-AF2= 2AF2 = 2a2c10(AF)2 +(AF2)2 =(2c)21O28.如图，片和厲分别是双曲线汩存IsoQo)的两个焦点，A和B是 以O为圆心,以o用 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三D 3 + l2 = (J-

9、l)c角形z则双曲线的离心率为()A 3B 5C 26解析：连接 AFl f zAF2Fi=30o , IAFIl=C , AF2 = 3c 双曲线的离心率为1 +Q ,选D。2 29.设人、F,分别是椭圆4+- = l (o>b>0)的左、右焦点，P是其右准线上纵 a" Iy坐标为J3c (C为半焦距)的点，且f1f2 = f2 ,则椭圆的离心率是()2J-22 210设双曲线二-二=1 ( O<a<b )的半焦距为C ,直线厶过仏0), (0,b)两点.已 a" D知原点到直线的距离为二Q ,则双曲线的离心率为()2334A. 2B. 3 解：由

10、已知，直线厶的方程为bx + ayab = 0 t由点到直线的距离公式,得ab y3 a2+b =TC，又¢2 =/ JrhIl .4ub =碇,两边平方，得 16/02 -,)=3c4 ,整理得 3/-12+16 = 0 j得，=4或/ =芈，又0<GV? , .f2 =V = Cl-h- = 1 + /L > 2 r ：.e2 =4 , .3Cr CrCre = 2 t ft½ A2 211知仟、&是双曲线二一二=1 （d>0"> 0）的两焦点，以线段斤尺为边作正三角 Cr Zr形MFlF空若边MFI的中点在双曲线上，则双曲线的

11、离心率是（）A. 4 + 23B. 3-l C.竺ND.5 + l2解：如图，设呦的中点为P ,. ZOFiP = 60Q,PFl =c,:. XP =-,>>把P点坐标代人双曲线方程，有-£_2Si = I,4a2 Ab2化简得财+4 = 0解得e = l + 5或e = l5（舍），故选D 四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应 准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例4 :设椭圆P厂I（心So）的右焦点为仟，右准线曙若过猖垂直于X轴的弦的长等于点仟到人的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，AB是过仟且垂直

12、于X轴的弦，TAD丄人于D l.'AL为仟到准线厶的距离,根据椭圆的第二定义,AD AD 21. 在给左椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为血，焦点到相应准线的距离为1,则该 椭圆的离心率为（）A2 BC 丄 D 迟224I佔匚 2 一 ,"K-r2 碎定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为血，焦点到相应准线的距离为土 , 则该双曲线的离心率为（）2TC 2D 2yjf2五. 构建关于£的不等式，求e的取值范国2 21 .已知双曲线4-4 = 1 （ ">0,2>0 ）的右焦点为F ,若过点F且倾斜角为60。 G- Iy的直线与双曲线的右支有且只有

13、一个交点f则此双曲线离心率的取值范围是（）A 1,2 B （1,2）C 2,*o）D（2,*o） 2 椭略+沪】（E>。）的焦点为匚厂两条准线与讪的交点分别为M、N ,司MN2FiF2 I则该椭圆离心率的取值范围是（）B.。,返2cr1)1 双曲线二-二=1（“ > 0,b > 0）的右焦点为F ,若过点F且倾斜角为60“的直线与双6 Ir曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率？， aJ22 I 2 -3 ,离心率 =q =乞二匚$4 ,e2,选 CaCrM, N I 若I Wl= 2 2. 椭圆£ + 如>。）的焦点衲两条准线呱轴的交点