数学分析1期末考试讲解

1、数学分析I题目讲解单项选择题（每小题2分，共14分）1设数列YnXn月lim Xn I ,贝/力/ Xn#/32tanx1,xO,2已知f（x）A、第一类不连续 点B、第二类不连续 点C、连续点D可去不连续点0,0是f (x)的3/323、已知f(x)0,r -xsin , x 0 x则xO5/32A、左可 导B、右可 导C、可微D不连续4、若11 m f (x)存在，f列说法一定正确的是X X【f (x)在x 0处A、f (x)在X。的任一邻域内有界f(X)在X。的某一邻域内无界f (X)在X。fix)在 X。的某一邻域内有界的任一邻域内无界5、若 f (x) 在0处连续并且I i mh 0

2、h2f(0)B f(0)0且f (0)存在0且f (0)存在5/32c f (0) c 且 f (0)存在 d f (0) c 且 f (0)存在处必然【6 若 f (x) 在点X o处存在左、右导数，则f (x)在点X。A、可导B、不可导C、连续D不连续9/327、下列叙述错误的是【A 若 f （X） 在点Xo可导，则f（X）在点Xo可微；f（X）在点X。可导，则 f（X） 在点 X。 连续；c若f（X）在点Xo可导则f（X。）'=0；D设f （X）在点Xo可导,贝U Xo是极值点当仅当f 1 （Xo） 0参考答案：1.B2345678/32、填空题（每小题3分，共21分）1 lim

3、Xx3 5x 64x3 12、曲线yIn x上平行于直线y1的切线的方程为/32设f (cHom#/X24、曲线 y 2x e 的斜渐近线为5、函数f (x) x3 9x2 24x 15的极小值点X6已知当X 0时ln(1 ax)与©x(n)7 5X1 114 e等价，则11 /2.In513/3.4. 2x5.6.7. I n5 5Xn三、计算题（每小题6分，共36分）1 i+wlimJ1 i+wlimn1n2 L#/1n vnn Vn115/解：设Xn，由于n nxT nn n由夹逼性，lim xnnlimn1，即原极限为1。（6分）1, limn1 , （4 分）12 .求极限

4、limxta nx#/解：m 2x0 x xtanxtanx xlimx0 x tanxlimx 0limx 0sinx xcosxx sinxxsinx22xsinx x cosxlim1xo c x2 cosx cinv（份）（2分）（4分）（5分）16/32（6分）3 .已知f (u)任意次可微，求yf(ln x)的二阶微分dy17/323.已知f(u)任意次可微，求y2f (In x)的d yd2Vdx2解：令uIn x 则可 dxf(U)1x(2分)(u)1f (u)n1dxf(u)2f(u)18/32(5分)f (u) Uu)X2f (In x) f (In x)x2所以,c|2y

5、=f (Inx)2X19/32:(In x)dx2(6分)4 .求方程arctant2ln(1 t2)所确定的函数的导数d2xdy220/32z cpc+cc +4 ,求方程2所确定的函数的导数2 ri z2 rlv/32dx 1解：dx dt 细 1 t2 1（3dy dy “小 2t 9t分）dt1 t2（6cxd dx2t21 t2dy2dy dy2t4t311222/32cosx5设y sinx 求 y解：对等式两端取对数， In y cosx In sin x,（1分）再对上式两端分别求导，sin x cosx In sin x cosx sin x（4分）所以，ysin xsin

6、x2 cos xIns in x sin x（5分）cosxCOs x sinx Insin x sin x（6分）2x3v v y（x）的微分dyy所确定的函数y ' '23/32解：在方程两端对求导，得xye v xv 2 3v v（3分）解此方程，得2 vexy 2YO（4分）所以dy四、综合题（3小题，共29分）1.叙述证明题（4小题，共14分）2 ye v,xydXo2（6分）（D叙述lim Xn A（ A有限）的N n定义；（3分）（2）叙述数列的柯西（）收敛原理；（3分）（3）叙述在区间I内一致连续的定义；（3分）23/32（4）证明(x) sinx 在上一致连续

7、。（5分）解；） lim Xn A （ A有限）的N定义：对任意给定的 n时,有Xn A。（ 3分）0,存在正整数N，当n N（2）数列的柯西（）收敛原理：数 列Xn 收敛的充要条件是 Xn是一一个基本数 列3分）(3) f (X) f(Xi)(4)证明在区间I内一致连续的定义：若11人，在区间I内满足对任意的0使得对I内任意两点Xi与X?，当X?f (X2)，则称f(x)在区间I-致连续。(3分):对任意Xi j X2 R，由于0,存在时，总有f(Xi) f(X2)sinxi sin X2cos 7 sin2XiX2故对任意的。，取，则对内任意两点 X与X?当X2总有f (Xi)0)在(,(

8、5分)2.证明：当Xln(1 x) x(7分)证明：（1）证明In (1 x) x.23/,32根据中值定 理，23/32ln(1 x) ln(1 x) Ini严这里 0 x(2分)由于1 ,所以 ln(1 x)(3分)In12X 明 证 17 化贝/1X / rT2f (x)1 x 。时 f (x) O f (x)严,(2分)当Xln(1 x)。格单调递减，由 f(0)0,知 f (x)0 x 0 从而 x(4分)3 设 f(X) 在区间 a5b 可导，且f (a) O5ff(a)f(b) A，证明： (b) 0存在 (a,b)使得f () A ；(5分)(2)(X)在(a5b)内至少有两个零点。(3分)证明：（1）由x （a5a在（aaf （a） lim）时有f，、八I）中去f(x)f ca x af(a) nu,此时，x a点X,有0，存在10，使当f （x） f A。f（X1）A 由0,此时,f (x)f(x)在a5b连续，由中间值定理，存在limx b有 f(x) f(b)有x b有 f（X2）A （3分）于是， f （Xi）0,存在20,使当x (b 2,b)时，f(b) A