复变函数与积分变换----第六章----复旦大学出版社

1、6.1 共形映射1. 共形映射的概念 设w=f(z)为z平面上区域D内的连续函数，作为映射，它把z平面上的点z0映射到w平面上的点w0=f(z0)，把曲线C:z=z(t)映射到曲线C:w=f(z(t). 过z0点的两条曲线C1,C2，它们在交点z0处的切线分别为T1，T2，我们把从T1到T2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z0处 从C1到C2的夹角. (1)若在映射w=f(z)的作用下，过点z0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z0处是保角的. 平移变换w=z+是一个保角映射. 函数 不是保角映射. 它是关于实轴的对称映射. wz原象的伸缩性

2、:象点之间距离与原象点之间距离的比值 .00wwzz(2)若极限 存在且不等于零，则这个极限称为映射w=f(z)在z0处的伸缩率.并称w=f(z)在z0具有伸缩率的不变性.000limzzwwzz定义6.1 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的，在z0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w=f(z)在z0是共形的，或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，那么称w=f(z)是区域D内的共形映射. z0z1z2为点z0的一个小邻域内的三角形，在z0处的伸缩率记为A. 经过w=f(z)后变成了曲边三角形w0w1w2.2. 解析函数与共形映射设f(z)

3、在z0处解析，且f(z0)0. 过z0作一条光滑曲线C，它的方程为z=z(t), t0tT0,并设z0=z(t0)，且z(t0)0.则Argz(t0)为z平面上的正实轴到C在点z0的切线的夹角. 经过w=f(z)把C映射为w平面上光滑曲线C，其方程为w=w(t)=fz(t), t0tT0.且w0=fz(t0). 由于w(t0)=f(z0)z(t0)0，所以在w平面上，正实轴到C在w0处的切线的夹角为Argw(t0)=Argf(z0)+Argz(t0)或 Argw(t0)-Argz(t0)=Argf(z0). 像曲线C在w0处的切线与正实轴的夹角与原象曲线C在z0处的切线与正实轴的夹角之差总是A

4、rgf(z0)，而与曲线C无关. Argf(z0)就称为映射就称为映射w=f(z)在点在点z0处的转动角处的转动角. 过z0点作两条光滑曲线C1,C2，它们的方程分别为C1: z=z1(t) t0tT,C2: z=z2(t) t0tT.且z1(t0)=z2(t0)=z0 . 映射w=f(z)把它们分别映为过w0点的两点光滑曲线C1和C2. 它们的方程分别为C1: w=w1(t)=fz1(t), t0tT0, C2: w=w2(t)=fz2(t), t0tT0. Argw1(t0)-Argz1(t0)=Argf(z0)=Argw2(t0)-Argz2(t0),即 Argz2(t0)-Argz1(

5、t0)=Argw2(t0)-Argw1(t0).上式左端是曲线C1和C2在z0处的夹角，右端是曲线C1和C2在w0处的夹角，而这个式子说明了w=f(z)在z0处是保角的. 因为f(z0)存在，且不等于零，则 这个极限与曲线C无关.故w=f(z)在z0处的伸缩率具有不变性.0000000( )()limlim() (0).zzzzwwf zf zfzzzzzw=f(z)=u(x,y)+iv(x,y).因为w=f(z)在z0处解析，则在该点满足柯西黎曼方程, uvuvxyyx 在该点的雅各比式有2220( , )()0.( , )u vuvfzx yxy映射w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的.

6、定理6.1如果函数w=f(z)在z0解析，且f(z0)0，那么映射w=f(z)在z0是共形的，而且Argf(z0)表示这个映射在z0的转动角，|f(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在区域D内处处有f(z)0,那么 映射w=f(z)是D内的共形映射.6.2分式线性变换1.分式线性变换的结构 形如 的映射称为分式线性变换，其中a,b,c,d为复常数., (0)azbwadbcczd逆变换 d, ()()0),wbzadcbcwa两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换 (0),(0).zwz azbwczd其中()()0.adbc 它由下列三个变换复合而成.(0)()azbabcad

7、wcczdcc czd,abcadABcc令.BwAczd;1;.zczdzzwABz 2.分式线性变换的性质(1)共形性函数 的导数除点 和z=以外处处存在，而且 ，映射 除那两个点以外是共形的. azbwczddzc 2d0d()wadbczczdazbwczd定理6.2分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的. (2)保圆性定理6.3分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成扩充w平面上的圆，即具有保圆性.在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周. 变换w=az+b是由=az（旋转与伸长）和w=+b（平移）复合而成的.而这个映射将原象平面内的圆或直线映射到象平面内的圆或直线，从而

8、w=az+b在扩充复平面上具有保圆性. z平面上的圆的一般方程为22()0A xyBxCyD, 22zzzzxyi0,AzzzzD1()2BCi经过映射 后1wz0.AwwDww在扩充复w平面上它仍是圆的方程. 推论6.1在分式线性变换下，圆C映射成圆C.如果在C内任取一点z0，而点z0的象在C的内部，那么C的内部就是映射到C的内部；如果z0的象在C的外部，那么C的内部就映射成C的外部. 证明： 设z1,z2为C内的任意两点，用直线段把这两点连接起来.如果线段z1z2的象为圆弧w1w2，且w1在C之外，w2在C之内，那么弧w1w2必与C交于一点w*，于是w*必是C上某一点的象.但w*又是线段z

9、1z2上某一点的象，因而就有两个不同的点被映射为同一点.这就与分式线性映射的一一对应性相矛盾.故推论成立. (3)保对称性定义6.2设C为以z0点为中心，R为半径的圆周.如果点z,z*在从z0出发的射线上，且满足|z-z0|z*-z0|=R2, 则称z,z*关于圆周C是对称的.如果C是直线，则当以z和z*为端点的线段被C平分时，称z,z*关于直线C为对称的.规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心. z,z*是关于圆周C的对称点的充要条件是经过z,z*的任何圆周与C正交 定理6.4 设点z,z*是关于圆周C的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w及w*也是关于C的像曲线C的一对对称点.

10、证明：设经过w与w*的任何一圆周是经过z与z*的圆周由分式线性变换映射过来的.由于与C正交，由保角性，所以与C也正交.因此w与w*是一对关于C的对称点. 6.3 确定分式线性变换的条件定理6.5在z平面上任意给定三个不同点z1,z2,z3，在w平面上也任意给定三个不同点w1,w2,w3，那么就存在分式线性变换，将zk依次映射成wk (k=1,2,3)，且这种变换是唯一的.证明： 设且(0),azbwadbcczd,1,2,3.kkkazbwkczd ()(),1,2,()()kkkzzadbcwwkczd czd 333()(),1,2.()()kkkzzadbcwwkczd czd 3232

11、11231231.wwzzwwzzwwwwzzzz求出w，即得所求分式线性变换. 推论6.2 z1,z2,z3所在的圆C的象C是w1,w2,w3所在的圆.且如果C依z1z2z3 的绕向与C依w1w2w3的绕向相同时，则C的内部就映射成C的内部（相反时，C的内部就映射成C的外部） 例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z0映射为圆心w=0的分式线性变换.解:由定理6.4，z0关于实轴的对称点 的像应变为点w=. 0z所求分式线性变换有形式,其中k为常数. 00zzwkzz因为 ，而实轴上的点z对应着|w|=1上的点，这时 ，所以|k|=1，即 ，这里是实数， 00zzwkzz00

12、1zzzzike所求的分式线性变换的一般形式为000, Im0.izzwezzz例6.2 求将单位圆|z|1映射为单位圆|w|1的分式线性变换.解：不妨设将第一个单位圆内的点z0映射到第二个单位圆的中心w=0. 由于 关于|z|=1与z0对称，因此 的象为. 01z01z故所求映射有形式00100.11zzzzwkkz zzz由条件当|z|=1时，|w|=1故将z=1代入上式，有0011,1zwkz从而，|k|=1，即 ike于是，所求映射的一般形式为000 (1)1izzwezz z.6.4 几个初等函数所构成的映射1. 幂函数w=zn(n2)，1ddnwnzz 当z=z00时. 设 ，则所

13、以映射w=zn在z=z0的转动角为(n-1)0，伸缩率为即映射w=zn在z0点是共形的. 000izr e00(1)10d,di nnz zwnrez10nnr在z0=0处，设 和 ，由w=zn得 和 .因此在w=zn的映射下，圆|z|=r映射成|w|=rn， izreiwenrn|z|=1映射成|w|=1.即在以原点为中心的圆有保圆性. 射线=0映射成射线 ；正实轴=0映成正实轴=0；角形域 映射成角形域0n020()n00n当n2时，映射w=zn在z=0处没有保角性. 角形域 映成沿正实轴剪开的w平面的域 ，它的一边=0映成正实轴的上沿=0；另一边 映成正实轴的下沿 .这两个区域之间的映射是一一的. 20n022n2例6.4 求把角形域 映成单位圆|w|1的一个映射.0arg8z解： 将角形域 映成上半平面 8z0arg8zIm0将上半平面映射单位圆|w|1. iwi所求变换为88ziwzi例6.5求将|z|0映为|w|1的一个共形映射.解：先将上半单位圆域映为第一象限.此时考虑将1,i,-1依次映射为,i,0的分式线性变换 .该映射还把-1,0,+1依次映为0,1,. 为所求映射. 11zz11zz再用 将第一象限映为上半平面 2 Im()0 最后又选择分式线性变换 ，该映射将 映到|w|1. iwiIm()0 222222(1)(1).(1)(1)iizizwiizi