数列求和—裂项相消专题

1、实用标准数列求和一裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达 到求和的目的.常见的裂项相消形式有：1.1an 二n(n 1)1 11=()2 n n 21an - "n(n 2)1 an =n(n k)2.3.4.5.二, an =2二An2 Bn Can (2n -1)(2n 1)1an 二(2n 1)(2n 3)1an 二(6n -5)(6n 1)an 二n(n 1)(n 2)n 12 n1(2 一 1)(22n（分母可分解为n的系数相同的两个因式）11-2(2n -111=一(一2 2n 111=一(6 6n -5anan12n

2、 »1)12n 3)6n 12 1n(n+1) (n+1)(n+2)_11n _1- n-1)2，1 21(2n 1)(2n+1 1) 2n 1 2n+1 1n 2 2(n 1) -n 1n(n 1)2nn(n 1)2n11n -1nn 2 (n 1)2二-(.n 2 - . n)n n 22=-(.n k - n) k，一. .12n 一2.1 .在数歹U an中，an =+,且bn =,求数歹U bn的刖n 1 n 1 n 1an an 1项的和.2 .已知数列an是首相为1,公差为1的等差数列，bn = 1一，&为bn的前n项和, an an .2一 13证明：-<

3、; Sn < 3 .34文案大全3 .等比数列an各项均为正数，且 2a1+3a2 =1,a；=9a2a6,(1)求口的通项公式；1(2)设 bn = log 3 a1 +log 3 a2 + +log 3 an,求(一 的刖 n 项和.bn4 .设数列右满足a=0且一1=1, 1 _ an 11 - an(1)求0J的通项公式；1 - . an设 bn =登上，记 Sn =£ bk ,证明：Sn <1. .nkm5 .(安徽江南十校2015联考)已知各项为正数的数列an满足:an-2 +2。4%平=4an邛an(n 匚 N*)，且 ai = 1, a2 = 4 ,(1)

4、 证明：数列百口是等差数列；(2) 设灯=红土1, > 的前n项和为Sn ,求证：Sn < 1 .anan 16 .已知等差数列 L 的前n项和为Sn,公差d #0,S5 =4a3 +6，且ai,a3,a9成等比数歹U,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn7 .等差数列an 中，a1 +a3 =6,a11 =21 ,(1)求数列Gn的通项公式；51.(2)设 bn =,求 Sn = b1 + b2 + +bn.n(an3)8 .(2010山东)已知等差数列 Gn满足：a3 =7,a5+a7 =26,an的前n项和为Sn,(1)求 an 及 Sn；(2)令bn =(nW

5、 N),求数列>的前n项和Tn.an -19 . (2013全国1)已知等差数列an的前n项和为Sn,满足S3 = 0,S5=-5,(1)求Gn 的通项公式；11(2)求数列>的刖n项和.a2na2n 110 .(2013 江西)正项数列 也满足：a：(2n1)an2n = 0,(1)求Gn 的通项公式；1(2)令bn =,求数列>的前n项和Tn .(n 1)an11.(2017 全国 3)设数列an满足 a1+3a2+ + (2n1)an =2n ,(1)求an 的通项公式;a a 一 I(2)求数列qab的前n项和.2n 112. (2015安徽)已知数列 9 是递增的等

6、比数列，且a1+a4 =9,a2a3 =8,(1)求an的通项公式;设Sn为数列Gn 的前n项和，bn =-a上，求数列 %的前n项和.SnSn 113. (2014贵州适应性训练)已知数列An是等差数列，a1 =2,a2, a3,a4 +1成等比数列,(1)求an 的通项公式；设bn=2，求数列bn的前n项和Sn. n (an 2)14. (2013大连育明高中模拟) 已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d, Sn为其前n项和，且满足a2 =S2n(nw N"),数列%满足bn =1，Tn为数列bn的anan 1(1)求 a1,d 和 Tn ;(2)是否存在实数 九，使对彳E意的(nw N*),不等式Z.Tn <n + 8恒成立？若存在，请求出 实数九的取值范围；若不存在，说明理由 .15. Sn为数列an 的前n项和，已知an A 0,a2+2an = 4Sn+3 ,(1)求an的通项公式；1(2)设bn =,求数列bn的前n项和.anan 116. 已知等比数列彳的公比4>1, a1和a4的等比中项为3卮 22和%的等差中项为6,数列如满足 bn