最新201X版 第1章 1.2.1 平面的基本性质

1、1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面(重点)2会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系(易错点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(重点、难点)基础·初探教材整理1平面的概念及表示阅读教材P21P22公理2以上部分内容，完成下列问题1概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念它没有厚薄，是无限延展的图1212表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图121)(2)字母表示平面通常用希腊

2、字母，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面、平面AC等3点、线、面位置关系的符号表示位置关系符号表示点P在直线AB上P AB点C不在直线AB上CAB点M在平面AC内M平面AC点A1不在平面AC内A1平面AC直线AB与直线BC交于点BABBCB直线AB在平面AC内AB平面AC直线AA1不在平面AC内AA1平面AC如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，且Ml，Nl，那么下列说法正确的是_(填序号)l；l；lM；lN.【解析】Ma，Nb，a，b，M，N.而M，N确定直线l，根据公理1可知l.故填.【答案】教材整理2平面的基本性质阅读教材P21P23，完成下列问题1平面的基本性质

3、(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内用符号表示为：AB.(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线用符号表示为：l且Pl.(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面2平面的基本性质的推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面1如图122所示，用符号可表达为_图122【解析】由题图可知平面与平面相交于直线m

4、，且直线n在平面内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：m，n且mnA.【答案】m，n且mnA2下列说法正确的是_(填序号)三点可以确定一个平面；一条直线和一个点可以确定一个平面；四边形是平面图形；两条相交直线可以确定一个平面【解析】错误，不共线的三点可以确定一个平面错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面错误，四边形不一定是平面图形正确，两条相交直线可以确定一个平面【答案】小组合作型三种语言的转换(1)如图123，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系图123(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形【精彩点拨

5、】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化【自主解答】(1)l，m，n，lnP，lm.a，b，c，aO.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.图形表示：1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示2要注意符号语言的意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示3由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别再练一题1根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系(1)(2)图124图(1)可以用几何符号表示为_图(2

6、)可以用几何符号表示为_【答案】(1)AB，a，b，aAB，bAB，ab(2)l，mA，mB，Al，Bl点线共面问题已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面【精彩点拨】法一：a，b确定一个平面l在平面内a，c，l共面a，b，c，l共面法二：a，b确定一个平面b，c确定另一个平面两平面重合【自主解答】如图法一：ab，a，b确定平面.又laA，lbB，l上有两点A，B在内，即直线l.a，b，l共面同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内故a，b，c，l共面法二：ab，过a，b确定平面，又Aa，Bb，AB，即l.又bc，过b，c确定平面，而Bb，Cc，BC，即l.b，

7、l，b，l，而blB，与重合，故a，b，c，l共面在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法有：直线和直线外一点确定一个平面；两条平行线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合再练一题2证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【导学号：41292016】【解】已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内法一：l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B

8、.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内法二：l1l2A，l1，l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内探究共研型共线，共点问题探究1把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【提示】由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线探究2如图125所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点试问CE，D1F，DA三线是否交于一

9、点？为什么？图125【提示】交于一点证明：连结EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EF綊A1B.又A1BD1C，EFD1C，E，F，D1，C四点共面，且EFD1C，D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD.P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE，D1F，DA相交于一点如图126所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD交于一点图126【精彩点拨】先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面

10、ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线因此点O在交线上，即点O在直线BD上从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.【自主解答】E，G分别为BC，AB的中点，GEAC，GEAC.又DFFCDHHA23，FHAC，FHAC.FHGE，FHGE.四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.O在平面ABD内，又在平面BCD内，O在这两平面的交线上而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，点O在直线BD上EF，GH，BD交于一点证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线

11、共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上再练一题3如图127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线图127【证明】如图，可知平面AC平面BC1BC.O为平面BC1与平面AC的公共点又平面AC平面BC1BC，OBC，即O，B，C三点共线1已知点A，直线a，平面，以下命题表述不正确的有_Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.【解析】不正确，如aA；不正确，“a”表述错误；不正确，如图所示，Aa，a，但A；不正确，“A”表述错误【答案】2如图128所示，点A，B，C，则平面ABC与平面的交点的个数是_个图128【解析】因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面的交点有无数个【答案】无数3空间