最新201X版 章末综合测评2 圆锥曲线与方程

1、章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)yx2的准线方程是()A.xB.y2C.yD.y2【解析】将yx2化为标准形式为x28y，故准线方程为y2.【答案】B2.下列双曲线中，渐近线方程为y±2x的是() 【导学号：97792119】A.x21B.y21C.x21D.y21【解析】法一由渐近线方程为y±2x，可得±x，所以双曲线的标准方程可以为x21.法二A中的渐近线方程为y±2x；B中的渐近线方程为y±x；C中的渐近

2、线方程为y±x；D中的渐近线方程为y±x.故选A.【答案】A1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】由双曲线的渐近线过点(3，4)知，.又b2c2a2，即e21，e2，e.【答案】Dy2x关于直线xy0对称的抛物线的焦点坐标是() 【导学号：97792120】A.(1,0)B.C.(0,1)D.【解析】y2x的焦点坐标为，关于直线yx对称后抛物线的焦点为.【答案】B1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21B.x21C.1D.1【解析】由题意得c，则a2，b1，所

3、以双曲线的方程为y21.【答案】Ay22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A.2pppp【解析】设A、B在y22px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则AOx30°，则OA的方程为yx.由得y2p，AOB的边长为4p.【答案】B7.已知| |3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点， ，则动点P的轨迹方程是()A.y21B.x21C.y21D.x21【解析】设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|A|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点P的轨迹

4、方程是y21.【答案】A8.AB为过椭圆1(ab0)的中心的弦F1为一个焦点，则ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2【解析】ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大，即|yA|b时，面积最大.故选C.【答案】CF1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245°，则AF1F2的面积为()B.C.D.【解析】|F1F2|2，|AF1|AF2|6，则|AF2|6|AF1|，|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|·|F1F2|cos 45°|AF1|24|AF1|8，即(6|AF1|)2|AF1

5、|24|AF1|8，解得|AF1|，所以S××2×.【答案】B1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，CA1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±B.±C.±1D.±【解析】由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.A1BA2C，·1，整理得ab.渐近线方程为y±x，即y±x，渐近线的斜率为±1.【答案】Cy24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|3，则AOB的面积是()C

6、.D.【解析】如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1).联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|·|yAyB|×1×|2|.【答案】DO为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFxA的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】如图所示，设OE的中点为N

7、，在AOE中，MFOE，.在MFB中，ONMF，即.由可得，解得a3c，从而得e.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.已知(2,0)是双曲线x21(b>0)的一个焦点，则b_.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c2.根据双曲线的标准方程，可知a2c2a2b2，所以b2b>0，所以b.【答案】14.设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则PF1F2的面积为_.【解析】由题意知|F1F2|24，设P点坐标为(x，y).由得则SPF1F2|F1F2|·|y|×4×.

8、【答案】15.已知圆锥曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_.【解析】曲线方程可化为1，因为m2，1，所以曲线表示双曲线，e，由m的取值范围得e.【答案】16.已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为y21，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为_.【解析】因为C1的方程为y21，所以C1的一条渐近线的斜率k1，所以C2的一条渐近线的斜率k21，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x轴上，设C2的方程为1(a0，b0)，所以ab2，所以C2的方程为1.【答案】1三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1

9、7.(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程.【解】由共同的焦点F1(0，5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为1，双曲线方程为1(b>0).点P(3,4)在椭圆上，则1，得a240，双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为yx，即4×3，得b216.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.18.(本小题满分12分)已知直线l：yxm与抛物线y28x交于A，B两点，(1)若|AB|10，求m的值；(2)若OAOB，求m的值.【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)x2(2m

10、8)xm20|AB|x1x2| 10，得m，m2，m.(2)OAOB，x1x2y1y20.x1x2(x1m)(x2m)0，2x1x2m(x1x2)m20，2m2m(82m)m20，m28m0，m0或m8.经检验m8.19.(本小题满分12分)已知双曲线过点P，它的渐近线方程为y±x.(1)求双曲线的标准方程；(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|41，求F1PF2的余弦值.【解】(1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为3的点P的纵坐标的绝对值为4.4>4，双曲线的焦点在x轴上，设方程为1.双曲线过点P(3

11、，4)，1.又，由，得a29，b216，所求的双曲线方程为1.(2)设|PF1|d1，|PF2|d2，则d1·d241.又由双曲线的几何性质知，|d1d2|2a6.由余弦定理，得cosF1PF2.20.(本小题满分12分)设椭圆E的方程为1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB. 【导学号：97792121】【解】(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e

12、.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得.又(a，b)，从而有·a2b2(5b2a2).由(1)的计算结果可知a25b2，所以·0，故MNAB.21.(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为b.(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2xy0的对称点P在圆O：x2y24上，求椭圆C的方程及点P的坐标.【解】(1)由点F(ae,0)，点A(0，b)，及ba，得直线FA的方程为1，即xeyae0.因为原点O到直线FA的距离为bae，所以·aae，解得e.(2)设椭圆C的左焦点F关于直线l：2

13、xy0的对称点为P(x0，y0)，则有解得x0a，y0a.因为P在圆x2y24上，所以4.所以a28，b2(1e2)a24.故椭圆C的方程为1，点P的坐标为.22.(本小题满分12分)如图1，设抛物线y22px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.图1(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围. 【导学号：97792122】【解】(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t