最新201X版 必考部分 第2章 章末分层突破

1、章末分层突破自我校对加法减法实数与向量的积向量的数量积垂直平行长度夹角平行垂直合成与分解 平面向量的线性运算、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算.2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等.如图2­1，在ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MHAF交BC于H.求证：.图2

2、73;1【精彩点拨】选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出，与即可证得.【规范解答】设a，b，则ab，22ab2a2bab，bba2ba2bbab.综上，得.再练一题1.如图2­2，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BMAB，点N在BC上，且BNBC，求证：M，N，D三点共线. 【导学号：00680063】图2­2【证明】设e1，e2，则e2.e2，e1，e2e1.又e2e133，向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角

3、和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度.非零向量a，b满足(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求a，b的夹角的余弦值.【精彩点拨】【规范解答】由解得所以|a|b|a·b，所以cos .再练一题2.如图2­3所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则·_.图2­3【解析】··()····()·2·.A

4、PBD，·0.·|cosBAP|2，·2|22×918.【答案】18向量的坐标运算.引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一.2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4).(1)求证：ABAD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.【精彩点拨】(1)证明·0.(2)利用求点

5、C的坐标，利用坐标形式的夹角公式求两对角线所夹锐角的余弦值.【自主解答】(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3).·1×(3)1×30，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(x1，y4)，解得点C坐标为(0,5).从而(2,4)，(4,2)，且|2，|2，·8816，设与的夹角为，则cos ，矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.再练一题3.设a(1,2)，b(2，3)，又c2ab，damb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值.【解】a(1,2)，b(2，3)，c2a

6、b2(1,2)(2，3)(0,1)，damb(1,2)m(2，3)(12m,23m)，c·d0×(12m)1×(23m)23m.又|c|1，|d|，cos 45°，化简得5m28m30，解得m1或m.平面向量的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程.3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题.如图2­4所示，P是正方形ABCD的对角线BD上

7、一点，四边形PECF是矩形，求证：图2­4(1)PAEF；(2)PAEF.【精彩点拨】可分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系后，用坐标法来证明.【规范解答】(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，|，则A(0,1)，P，E，F，.因为|22221，|22221，所以|2|2，故PAEF.(2)因为·0，所以，故PAEF.再练一题4.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4).(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值.【解】(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，

8、D(1,4)，(1,1)，(3,3)，·1×(3)1×30，即ABAD.(2)四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，解得C点的坐标为(0,5).从而(2,4)，(4,2)，|2，|2，·与的夹角为，则cos ，矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起.运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题.如图

9、2­5所示，以ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AMEF.图2­5【精彩点拨】要证AMEF，只需证明·用，表示，将用，表示，然后通过向量运算得出·0.【规范解答】因为M是BC的中点，所以()，又，所以·()·()(····)(0··0)(··)|cos(90°BAC)|cos(90°BAC)0，所以，即AMEF.再练一题5.如图2­6，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始

10、位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_.图2­6【解析】设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，ABP2.设P(x，y)，则x21×cos2sin 2，y11×sin1cos 2，的坐标为(2sin 2,1cos 2).【答案】(2sin 2,1cos 2)1.已知向量，则ABC()A.30°B.45°C.60° D.120°【解析】因为，所以·.又因为·|·|cosABC1×1×cosABC，所以cosABC.又0°ABC180°，所以ABC30°.故选A.【答案】A2.已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A.8B.6C.6D.8【解析】法一：因为a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2).因为(ab)b，所以(ab)·b0，所以122(m2)0，解得m8.法二：因为(ab)b，所以(ab)·b0，即a·bb232m32(2)2162m0，解得m8.【