最新201X版 必考部分 第3章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)基础·初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P132P133例5以上内容，完成下列问题.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin2T2tan 22.余弦的二倍角公式的变形3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1±sin 2(sin 

2、7;cos )2.1.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.()(2)存在角，使得sin 22sin 成立.()(3)对于任意的角，cos 22cos 都不成立.()【解析】(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且±k(kZ)，故此说法错误.(2).当k(kZ)时，sin 22sin .(3)×.当cos 时，cos 22cos .【答案】(1)×(2)(3)×2.已知cos ，则cos 2等于_.【解析】由cos ，得cos 22co

3、s212×21.【答案】小组合作型利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos4 sin4 ；(2)sin ·cos ·cos ；(3)12sin2 750°；(4)tan 150°.【精彩点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】(1)cos4 sin4 cos .(2)原式·cossin ·cos sin .原式.(3)原式cos(2×750°)cos 1 500°cos(4×360°60°)cos 60°.原式.(4

4、)原式.原式.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2 sin2 cos 2，tan 2.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2sin2 cos2 ±2sin cos (sin ±cos )2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 .再练一题1.求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)；(3)；(4)cos 20°cos 40

5、76;cos 80°.【解】(1)原式.(2)原式tan(2×150°)tan 300°tan(360°60°)tan 60°.(3)原式4.(4)原式.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值为()A.2B.2C. D.(2)已知sin，则cos的值等于()A. B.C. D.(3)已知cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos(2)的值.【精彩点拨】(1)可先求tan ，再求tan 2；(2)可利用22及求值；(3)可先求sin 2，cos 2，cos ，再利用两角和

6、的余弦公式求cos(2).【自主解答】(1)因为sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.(2)因为cossinsin，所以cos2cos212×21.【答案】(1)D(2)C(3)因为是第三象限角，cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2××.因为，sin ，所以cos ，cos 22cos2 12×1，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin ××.直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2).(2)sin (或cos )cos

7、212sin2 (或2cos2 1).(3)sin (或cos )再练一题2.(1)已知，sin ，则sin 2_，cos 2_，tan 2_.(2)已知sinsin，且，求tan 4的值. 【导学号：70512043】【解析】(1)因为，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2××，cos 212sin2 12×2，tan 2.【答案】(2)因为sinsincos，则已知条件可化为sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因为，所以2(，2)，从而sin 2，所以tan 22，故tan 4.利用二倍角公式证明求证：(1)cos2(AB

8、)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.【精彩点拨】(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式；证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化.【自主解答】(1)左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立.(2)法一：左边cos2cos2sin2cos 2右边.法二：右边cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左边.证明问题的原则及一

9、般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.再练一题3.证明：tan . 【导学号：00680072】【证明】左边tan 右边.所以tan 成立.探究共研型倍角公式的灵活运用探究1请利用倍角公式化简：(2<<3).【提示】2<<3，<<，<<，2sin .探究2如何求函数f(x)2cos2x12·sin

10、xcos x(xR)的最小正周期？【提示】求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)(2cos2x1)×(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin，知其最小正周期为.求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】【自主解答】f(x)5··2sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin.x，2x，sin，当2x，即x时，f(x)取最小值为32.ysin在上单调递增，f(x)在上单调递减.本题考查二倍角公式，yAsin(x)的形式，再利用函数图象解决问题.再练一题4.求函数ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0，上的单调递减区间.【解】ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函数的单调递减区间为.1.sin 22°30·cos 22°30的值为()A. B. C. D.【解析】原式sin 45°.【答案】B2.已知sin x，则cos 2x的值为()A. B. C. D.【解析】因为