高数极限习题

1、lim h f a + /?->+0C 1 ,-/=黜Ar存在，这只表明/W在x =。处第二章导数与微分典型例题分析客观题例1设/*)在点,%可导为常数，则lim ：/工+小) Av-H)AvA 矿(.%) B (a + b)fx0) C (a-b)fxQ) D ：/'(&) b答案C解./(,” + 心)一 f(xo + 心)lun =axtoAx./(x0 +«Av)-/(x0)-/(x0 +Z?Ar)-/(x0)=lun =0 ToAr=a ® /(A0+nM)-/(x0) b /(%+皿)-/(%)aAx2to bx= (a-b)fx0)例2

2、(89303)设/(X)在X =。的某个邻域内有定义，则/(X)在工=。处可导的一个充分条 件是()(A) lim + 一/()存在 (B) lirn /m + 2/7)j/m + a)存在 hf v h) J-0 h(C) lim /")-/(”)存在(D) lim fa 存在力 T)2h力 T)h答案D解题思路 对于答案，不妨设尹以,当时，)-。+,则有右导数存在，它并不是可导的充分条件，故(A)不对.对于答案(8)与(C),因所给极限式于中不含点。处的函数值/(。)，因此与导数概念 不相符和.例如，若取/« =1, x = a0, xa则(5)与(C)两个极限均存在，

3、其值为零，但lim/(x) = 0w/()= l,从而/(幻在处不连续，因而不可导，这就说明(5)与(C)成立并不能保证/'(。)存在，从而(5) 与(C)也不对. 记二一,则0与0-0是等价的，于是r f(a)-f("h)f(a-h)-f(a)f(a-h)-f(a)lim= -lim= Inn 力 T)hft-x) hft->o h=11m/(心)-)力，Av-x)Ar所以条件D是f'(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设/(0) = 0,则/(x)在点x = 0可导的充要条件为()(A) lim- cosh)存在/TO /广慝"。”)存

4、在(C) liin /(/?-sinh)存在答案B解题思路端9一间存在(1)当fo时，匕m1 一 ；.所以如果/'(0)存在，则必有lim '(josh) = 11m /(I-cosh)-/(0) = 11m ./1(l-cosh)-.Z(O) cosh 力 T)h2 力h2-01 - cosh20 h2若记 =1-cosh,当/? >0 时,"f0,所以/(l-cosh)-/(0)/G0-/(0).7_.lun= lun= f (0)力-o1 - cosh 一>。 u于是/(josh)D /产 2这就是说由/'(0)存在能推出lim(l - co

5、sh)存在.但是由于当/?->0时，恒有 = l-coshf 0+，而不是"一>0 ,因此 47(1-cosh)存在只能推出月(0)= liin '")二存在，而不能推出/'(0) D/广10 X存在.(2)当 0时，le" = +。(力)，于是v fa-eh) f(-h + o(h)-f(0) _+1UY1 - UIll ； 11IY1/T) h力 T°h力 T)-/?+ <?(/?)由于当 0时，一力+ o(h)既能取正值，又能取负值，所以极限1HB八一.存在与1UB吗少=八。)存在是互相等价的.因而力 T)一力+。

6、(力)20/1极限lim 存在与/'(0)存在互相等价./TO hh sinh (3)当一»0时，用洛比塔法则可以证明lim所以1° h 611m ./（A-smh） = 11m/STinh）/（O） 11m/-sinh 力力-。 卜 0 力一sinh 修。/r由于O、于是由极限i皿八一七/（0） 11m 中 八存在未必推出 u /?-sinh力lvlim 蛆）二。）也存在，因而广（0）未必存在. 力-（）/z-smh（4）/（X）在点x = 0可导一定有（。）存在，但（。）存在不一定f（x）在点X = 0可导.例4（98203）函数/（幻=（/一工-2）1 丁_1

7、|有（）个不可导点（A）0（8）1（C）2（0）3答案C解题思路 当函数中出现绝对值号时，不可导的点就有可能出现在函数的零点，因为函数 零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点/ =0，玉=1，=T考察导数的 存在性.(x2 -x-2)x(1-x2),X < 1,0<x<l, 1 < X.解将/（X）写成分段函数/(x)=(x2-x-2)x(x2-1),(x2 -x-2)x(x2 -1), (x2-X-2)x(1-x2),（1）在/=。附近,/*）写成分段函数:,R x(x2 -X-2)*2 -1) , x<0/(x) = (x2-x-2)lx3-xl=八

8、 '- x 2)(1 xJ) , x 2 0 容易得到/二(0)= lim /(",八。)=11m(12 _A-_2)(x2 -1) = 2 x>0 X.v->0/；(0) = lim /(A)" /() = lim (x2 -X-2)(l-x2) = -2 A->0+ X10-由于£ (0)*f； (0)，所以尸(0)不存在.(2)在再=1附近,/(幻写成分段函数:f (x) = (x2 -x-2) x3 -x =x(l + x)(x2 -x-2)(1 -x) ,%< 1x(l + x)x -x-2)(x-1) , x>l/

9、二(1) = lim /(.') /")= lim x(l + x)(x2 x 2) = 41- X - 1 xf -/；(1)= liin 11= 11m x(i + x)(x2 - x - 2) = -4 人一 x -1由于/二丰月，所以广不存在.(3)在=-1附近，/*)写成分段函数：f(x) = (x2-x-2)x3-x =x(l-x)(x2 -x-2)(x + 1) ,x<-l x(l + x)(x2 x 2)( 1) , x 之一1/：(-1)= lim "一'/(T)= 11m X(X-1)(X2 -x-2) = 0> 1X + 1

10、>-1/；(-1)= lim ./Q"/(T)= 11m x(x_i)(x2 _x_2) = 0.V->-1X + 1X->0由于£(一1)=月(-1) = o,所以(一1)存在.综合上述分析,/(冷有两个不可导的点.例5 (95103)设/。)具有一阶连续导数，尸。)= /'() (1+1 sin xI),则/(0)=。是 产(工)在x = 0处可导的()(A)必要但非充分条件(8)充分但非必要条件(C)充分且必要条件(O)既非充分也非必要条件答案C分析从产(工)在x = 0的导数定义着手.将F(x) = /(x)-(l+lsinxl) = /(

11、x) + /(x)lsin xl解F：(0)= liinF(x) - F(0) _/(x)-/(0) to /Cv)lsinxlf(O)lsinOIx-010-x-0 io+x-0=/(0) + /(0)8(0)= liinF(x) - F(0) _/(x)-/(0) sinxI-TWsinOIx-0 io- x-0 io-x-0 = /r(0)-/(0)于是推知F： (0) = F (0)的充分必要条件是/(O) = 0.例6 (92103)设函数/(x) =+ / |X|,则使/(0)存在的最高阶数=().(4)0答案C(8)1(C)2(0)3解题思路 应先去掉/M中的绝对值，将f(x)改

12、写为分段函数f(x) = 3x+ J2 1x1 =<2x4xx<0x>0解由/(x) = 3x+ x2x=i2/4/x<0x>0得广。)=6x212/x<0x>0且广。)=12x24xx<0x>0r« =12 x<024 x>0:(0) = lim 小)(°)=lim = oXT)- X-0XT)- X-0H(o)= lim " ()= lim 4'，()=0XT)- x-0x* X-0所以/'(0)存在./"(0) = lim，S)_(。)= lim 6匚-0=0 A-0

13、-X-0T)- x-0，仆 r 尸(1)一/(°)r 12_0/. (0) = lim = lim = 0x-0 io- x-0所以/(0)存在.尸(o)e巫匕5吐吗2 i0-x-0i0- x-0厂心 r fx)-r(O)24x-0 _/. (0) = lun = hm = 24.10+ x - 0 xtO+ x-0即口0) w £"(0).因而使f w(0)存在的是高阶数是2.例7 /(x) = cos I x I +x2lx I存在的具高阶导数的阶数等于()A 0B 1C 2D 3答案C解题思路 注意COS lx 1= COSk所以只需考察/I X I在点X

14、= 0的情况.例8(96203)设5>0,/(x)在区间(5,5)内有定义，若当xw(-5,5)时，恒有 f(x)x2,则x = 0必是/'。)的()(A)间断点，(8)连续而不可导的点，(C)可导的点，且尸(0) = 0(。)可导的点，且尸(0)/0答案C 解由题目条件易知/(。)=。,因为小)7(。)心启 XXX所以由夹逼定理lim I1= lim IK lim I 1=0.T) XT) X T) X于是/'(0) = 0."°，则/'(0)为( x = 0.(Q1)(。)一1>例 9 (87103)设/(X)= 一 人0,(A)0(

15、B)；答案(C)解题思路 因/(X)为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义，又由于是，型 未定式，可用洛必达法则求极限.解r2i-e-x-e:(0) = liin " "二"")= lim 一= limD X-0 XT。 X-01°当U f 0时,e" 1与是等价无穷小，所以当x ->。时,1 6一厂与是等价无穷小,因而r 1 - e* ilim；=1.D 厂例10 (88103)设/'(X)可导且/'(%)=；,则0时,/(工)在/处的微分力与加比较是()的无穷小.(A)等价(8)同阶(C)低阶 (D)

16、高阶答案B解题思路 根据y = /W在犬=/处的微分的定义：dv = fXx0)Ax.,-A.r .ay9I解lim = lim - =大,可知dy与Ar是同阶的无穷小.&t°Av aio Ar 2 . £例 11 (87304)函数/。)='1n f ''。在=0处()0, x = 0(A)连续且可导(8)连续,不可导(C)不连续(O)不仅可导，导数也连续答案B解题思路 一般来说，研究分段函数在分段点处的连续性时，应当分别考察函数的左右 极限;在具备连续性的条件下，为了研究分段函数在分界点处可导性，应当按照导数定义，或 者分别考察左右导数来

17、判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此，本题应分两步： 讨论连续性；讨论可导性.解 讨论函数在点X=0处的连续性由于lim /(x) = liin A siii- = 0 = /(0)，可知函数/(x)在点x = 0处是连续的. x->0x->0 X讨论函数在点X=O处的可导性由于lin"一八°)5xf ox 0 ioxsin 0 =lim sin -不存在，所以，函数/(x)在点/ siiJP必须满足(A 0 < p < 1答案B解题思路l<p <2C 0<p<2 D <p<3(1)当时，下述极限不存在:r

18、/U)-/(0) /sm 最 lun - = hm=X->0XA->0 X因此/'(0)不存在.当P>1时，limA->01 sin x、(八 xl sin 1. f M- /(O) v rhm -=hm-.r->() x.v->0 xlim 尸 sin L 05x所以/'(0) = 0.这就是说,只有当p > 1时，r(o)才存在，所以选项ac可以被排除 (2)当>1时/'。)=0p/i sin -cosx当且仅当一2>。，即p>2时,111/'(工)=0 =/(0),所以当且仅当1<(2时,

19、x-X)/ (x)在点X =。可导，但是/ '(X)在点X =。不连续.例13 (95403)设/(X)可导，且满足条件lim102x=一1,则曲线> = /(x)在(1,/(1)处的切线斜率为(A) 2,一 2,(O)-1r W 0'在点x = 0可导，但是fx)导数在点x = O不连续厕答案B解记则有lim入TO2x/(I+ ”) /1/小=不/例 14 设y = ln(l 2x),则y""=()91-91iot.29-9».2,0(A)o(B)0(C)?T答案D解题思路 求高阶导数的一般方法是：先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律，即可

20、写出 高阶导数.-2-2x-2(1 2靖二(一2)(一此2)高yw = (-2)(-l)(-2)(-2)-(l-2x)-产=_9!8°(l-2x),°例17 (90103)设函数/(X)有任意阶导数月尸(X)= /2(X),则/ a)=(),(/7 >2).(A)(B)nfn+(x)(C) f2n(x) (D) nlf2n(x)答案A解题思路这是一个求高阶导数的问题，涉及到求抽象函数的导数.解 由/(X)有任意阶导数且尸。)=/2。),可知fx) = /2(x)J = 2/(力 fx) = 2/3 /2(x) = 2/3(x),fmW = 2/3(x) = 3.2/2

21、(x). fx) = 3!/4(x)依此由归纳法可知 尸")") = nfn+x)注意(1)当 = 1, = 2时虽然(5)也正确，但当 >2就不正确了,所以将(8)排除之；(2)在求导数f2 (x)j时，可将函数/ 2 看成是由丁 = 与，=/(口复合而成的，则 根据宣台函数的求导法则，故/2U)j =)' fx) = 2t fx) = 2/(x)-/f(x).(初学者可能会这样做:/2 (幻=2/(x)，后面丢掉一个因子/ '(x) .例18 (91303)若曲线y =/+以+方和2y = -1 + “3在点(1)处相切，其中 是常数，则()(A)

22、 a = 0,b = 2(8) 4 = 1, = 3(C) a = -3,Z? = 1(D) a = -1,/? = -1答案。解题思路两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线，从而两曲线的斜 率也应相等.解 曲线)'=r+ox + b在点(1,一1)处的斜率是k =(x2 +ax+b)'= (2x +矶=2 + a另一条曲线是由隐函数2y = -1 +冷，3确定，该曲线在点(1,一1)处的斜率可以由隐函数求导数得到:对于方程2y = -1 +久旷两边求导得到2yf = 32yf +,解出)，'得到此曲线在点 处的斜率为2 - 3xy2 x=i y=-l=1令

23、k、=k?，立即得到 二 一 1.再将 =-1, x = 1, y = 一1代入> =/ + ar + /?中得出 b = -.例19设/(x), g(x)定义在(一 1,1),且都在X = o处连续，若/(幻=<则( )(4)5。)=。且夕(0)= 0, A-H)(C)limg(x) = l 且短(0) = 0.20(5)limg(x) = 0/'(0) = lA->0(D)limg(x) = 0fi,(0) = 2.10答案D解题思路分析函数/(X)的表达式,并运用/(X)在X = 0处连续这一关键条件.解 既然/(X)在x = 0处连续，于是必有liin /(x

24、) = lim= 2，于是必有K).v->0 xlim g(x) = 0 .于是又有g'(0) = to= lim &U = 2.x-H)A-X) XA->0 X11-cosx x>o4x 2 >其中g'W是有界函数,则/*)在x = °处X2g(x) x<0)(A)极限不存在(5)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(O)可导答案D解题思路 若能首先判定/(X)在x = 0处可导，则(A)、(5)、(C)均可被排除.解liin 工KT £X2v 1-cosx=lim.2(广21/=lim =0.1广22(X -0 时

25、 l-cosx -)尸(0) = liin，= liin = liin xg(x) = 0 (g(x)是有界函数) .IT)- X 0A->0' X 1。-由于/(x)在X = 0点的左导数等于右导数，因而/(X)在X = 0处可导.例21 设/(x) = sinx,则(/(/0)'=()A. cos(siii a)cosxB. sin(siii x)cosxC. cos(cosx)sin xD. sin(cos x)sin x答案A例22设/'W是可导函数,则()A若f(x)为奇函数，则f'(x)为偶函数B.若/"）为单调函数，则/"

26、）为单调函数C.若为奇函数，则广。）为奇函数D.若/（文）为非负函数，则广。）为非负函数答案A解题思路 根据导数定义，利用函数的奇性.解由于/（一）= /（）,所以f（X）= liin /O）T（x）=二fav-m）Arav-（）Arliin 7 +（3U）=/，（t）go- Av因此/'W为偶函数.例23 设y = /3，则dy =()AB. 2"而A sin x C. Cos x D. esin： A sin 2x答案D解题思路运用宣合函数微分法1 cos f （x）-sin x C. ye例 24 设/'（0）存在,lim（1 + -尸=e，则/''（0）=（）AO B. 1 C. a/2答案C解由lim(l +.Dsin x可以知道当X -0时，有limi.20 xJ"%sin x(参阅第一章1.5的例2)f£(x)当x f 0时,sin x与X是等价无穷小,1 - cos /(x)与一是等价无穷小.于是1 1-COS/U) 1. f2(x)lim= liin ；=10 x