2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念学案新人教A版

1、6. 1平面向量的概念考点学习目标核心素养平面向量的相关概念J解平面向量的实际背景，埋解平面向量的相关概念数学抽象平向向量的儿何表7K掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理预习案，r研慷导学堂依问题导学预习教材P2 P4的内容，思考以下问题:1 .向量是如何定义的？向量与数量有什么区别?2 .怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?3 .两个向量(向量的模)能否比较大小?4 .如何判断相等向量或共线向量？向量 A的向量BAM相等向量吗?、新知初探:»1 .向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量.

2、(2)有向线段定义：具有方向的线段.A为起点、B为终点的有向线段三个要素：起点、方向、长度.表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以记作AB长度：线段 AB的长度也叫做有向线段 AB的长度，记作L通(3)向量的表示名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素.(2)用有向线段表示向量时，要注意 AB勺方向是由点 A指向点B,点A是向量的起点，点 B是向量的终点.5 .向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB的大小，称为向量 AB勺长度(或称模),记作|陶.(2)零向量：长度为0_的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于 1个单位长度的向量.6 .两个向量

3、间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量.若 a, b是平行向量，记 作 a / b.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a,都有p/a.(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量,若a, b是相等向量，记作 a=b.名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同.(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.、目 我检则»O判断(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)两个向量，长度大的向量较大.()(2)如果两个向量共线，那么其方向相同.()(3)向量的模是一个正实数.()(4)向量就是

4、有向线段.()(5)向量AB归向量BA是相等向量.()(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行.()(7)零向量是最小的向量.()答案：(1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7) X0已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()M ° jVA.也可以用Mre示B.方向是由 M指向NC.起点是 MD.终点是 M答案：D 已知点O固定，且|OA = 2,则A点构成的图形是()A. 一个点8. 一条直线D.不能确定C. 一个圆答案：CE)如图，四边形 ABC日口 ABD匿B是平行四边形，则与 EDI等的向量有 答案：AB, DC探究窠,。

5、与西探究点向量的相关概念例 给出下列命题:若AB=DC则a, B, C D四点是平行四边形的四个顶点;在？ABC用,一定有AB= DC若 a=b, b = c,则 a = c.其中所有正确命题的序号为 .【解析】AB=DC A, B, C, D四点可能在同一条直线上，故不正确；在？ABCD中,| AB =|DC, AB<D(¥行且方向相同，故 AB=DC故正确；a=b,则|a|=|b| ,且a与 的方向相同；b=c,则|b|=|c|,且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故 =c,故正确.【答案】(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件有大小；有方向.两个条件缺一不可

6、.(2)理解零向量和单位向量应注意的问题零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等;单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.跟踪训炼1 .下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A, B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小.故D正确.2 .下列说法正确的是()a.向量XB/CD就是XB所在的直线平行于 C所在的直线B.长度相等的向量叫做相等向量C.

7、零向量与任一向量平行D.共线向量是在一条直线上的向量解析：选c.向量曲/C血含XB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故a错;相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故 B错；C显然正确；共线向量可以是在一条 直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错.探究点直I向量的表示例 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为 1),用直尺和圆规画出下列向量：(1) OA使|OA = 412,点A在点O北偏东450方向上；(2) XB，使|AB=4,点B在点A正东方向上；(3) BC使|的=6,点C在点B北偏东30°方向上.【解】(1)由于点A在点O北偏东45°

8、方向上，所以在坐标纸上点 A距点O的横向小方 格数与纵向小方格数相等.又 |06=42,小方格的边长为1,所以点A距点O的横向小方格 数与纵向小方格数都为 4,于是点A的位置可以确定，画出向量 OA如图所示.(2)由于点B在点A正东方向上，且|前=4,所以在坐标纸上点 B距点A的横向小方格 数为4,纵向小方格数为 0,于是点B的位置可以确定，画出向量 XB,如图所示.(3)由于点C在点B北偏东30。方向上，且|的=6,依据勾股定理可得，在坐标纸上点 C距点B的横向小方格数为 3,纵向小方格数为 3寸3=5.2 ,于是点C的位置可以确定，画出 向量BC如图所示.规I律仿法用有向线段表示向量的步骤

9、龈蹄训练已知飞机从 A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行 1 000V2 km到达D 地.作出向量AB, BC CD DA（2）问D地在A地的什么方向？ D地距A地多远?解：（1）由题意，作出向量 Ad BC CD DA如图所示.7（Jt）（南）"（2）依题意知，三角形 ABE正三角形，所以 AC= 2 000 km.又因为/ ACD= 45° , CD= 1 000也所以 ACM等腰直角三角形，即 AD= 1 000。2 km, Z CAD= 45

10、6; ,所以D地在A地 的东南方向，距 A地1 000 2 km.探究点共线向量与相等向量例3 如图所示，O是正六边形 ABCDEF中心，且OA= a, OB= b,在每两点所确定的向 量中.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与a共线的向量有哪些？【解】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD 配 R FE.(2)与a共线的向量有曲 BcOdFE,CB 而项丽前1 .变条件、变问法本例中若OC= c,其他条件不变，试分别写出与a, b, c相等的向量.解：与a相等的向量有EF, DO CB与b相等的向量有 & EO 港 与c相等的向量有FQ 由XB2 .变问法本例条件

11、不变，与 前:共线的向量有哪些？解：与心共线的向量有EF, Be Od FE,丽 DO XO DA OA规I律仿法共线向量与相等向量的判断(i)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量.(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量.(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a, b, c为非零向量，若a/b, b/c,则可推出a/ c.注意对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况.跟踪训炼:1 .已知向量XB与向量弧线，下列关于向量 XC的说法中，正确的为()a.向量位方向量XB一定同向b,向量XC向量XB,向量B定共线c.向量位方向量BC-

12、定相等D.以上说法都不正确解析：选b.根据共线向量的定义，可知 的 BC AC这三个向量一定为共线向量，故选 b.2 .如图，四边形 ABCB口 BCEDTB是平行四边形，在每两点所确定的向量中:（i）写出与Ba目等的向量;（2）写出与B供线的向量.解：（1）因为四边形 ABCB口 BCEHB是平行四边形，所以 BC AD/ DE BC= AD= DE所以BC=AD=DE故与Bj目等的向量为 AD, DE（2）与BC共线的向量共有 7个，分别是 AD Dh DA ED Afe EX CB轮任反愦达标 1 .如图，在？ABCDh 点E, F分别是 AB CD的中点，图中与 AEF行的向量的个数为

13、（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选C.图中与AE平行的向量为BE, FD, FC共3个.2 .下列结论中正确的是（）若 a/ b 且| a| = | b| ,则 a= b;若 a=b,贝U a/ b且|a| =| b| ；若a与b方向相同且|a| =| b| ,则a=b;若aw b,则a与b方向相反且| a| w | b|.A.B.C.D.解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故错误，a, b可能反向；正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等.3 .已知O是正方形 ABCD寸角线的交点，在以 O, A, B, C, D这5点中任意一点为起点， 另

14、一点为终点的所有向量中，写出：与囱目等的向量;（2）与0长度相等的向量;与口砥线的向量.解：画出图形，如图所示.（1）易知 BC/ AD BC= AD所以与BC相等的向量为AD（2）由O是正方形 ABCD寸角线的交点知 OB= OD= OA= OC 所以与Oe长度相等的向量为 BO Oc CO OA AO Od DO与DM线的向量为配配Cb强化培优通关A基础达标1 .下列命题中，正确命题的个数是单位向量都共线;长度相等的向量都相等;共线的单位向量必相等;与非零向量a共线的单位向量是a|0TB. 2A. 3C. 1D. 0解析：选D.根据单位向量的定义，可知明显是错误的；对于，与非零向量a共 a

15、 a线的单位向量是 丁或一丁，故也是错误的.lai lai4 .下列说法正确的是（）A.若a与b平行，b与c平行，则a与c 一定平行B.终点相同的两个向量不共线C.若 |a|>|b| ,则 a>bD.单位向量的长度为1解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b=0,则a与c不一定平行.B中,两向量终点相同，若夹角是0°或180。，则共线.C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小.5 .如图，在正六边形 ABCDE中，点O为其中心，则下列判断错误的是 （）B. AB/ DEa.Ab=ocC. l AD = |BED.AD=FC解析：选d.由题图可知，|AD

16、= |FC,但AD FC的方向不同，故 AD>FC,故选d.6 .设o是abc勺外心，则AO BO COn（）A.相等向量B.模相等的向量C.平行向量D.起点相同的向量O到三个顶点A, B, C的解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点 距离相等，所以AO BO 市遑模相等的向量.=± 1；=b,其中正确的有（7 .若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：| a|>| b| ；a/b；| a|>0 ；| b|A.B.C.D.解析：选B.|a|>| b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；不一定有a/b,故不正确；向量的模长是非

17、负数，而向量a是非零向量，故| a|>0正确；I b| =a -1,故不正确； 询是与a同向的单位向量，不一定与 b同向，故不正确.8 .如图，已知正方形 ABCD勺边长为2, O为其中心，则|OA=解析：因为正方形的对角线长为2小，所以|OA=J2.答案：,29 .如果在一个边长为 5的正 ABC中，一个向量所对应的有向线段为 AD其中D在边BC 上运动），则向量ADk度的最小值为 .解析：根据题意，在正 ABC中，有向线段 AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向 线段AD长度的最小值为正 ABC勺高，为平.答案：52310 已知A, B, C是不共线的三点，向量 m与向量AB1平

18、行向量，与 B是共线向量，则 m解析：因为A, B, C不共线, 所以ABWBC不共线.又m与AB, BC都共线，所以m= 0.答案：011 在平行四边形 ABC珅，E, F分别为边AD, BC的中点，如图. / /(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC共线的向量；1B F C(2)求证：BE= Ft)解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC共线的向量有：Cf BC,如 BF,色 曲 在AE EA AD DA(2)证明：在？ABC用，AD统BC又E, F分别为AQ BC的中点，所以ED统BF,所以四边形BFDEM平行四边形，所以BE触FD所以BE= FD12 .已知在四边形 ABCDf

19、r, AB/CD求AbwBo别满足什么条彳时，四边形ABCDW足下列情况.(1)四边形ABCDI等腰梯形；(2)四边形ABCDI平行四边形.解：(1)| AD=IBC,且 AteBC不平行.因为AB/ CD所以四边形 ABC四梯形或平行四边形.若四边形ABCD1等腰梯形，则| ADI = IBC, 同时两向量不平行.(2) Ah= BC 或Ah/ BC .若Ah=BC,即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABC四平行四边形.B 能力提升11.在菱形ABC由，/ DAB= 120° ,则以下说法错误的是()A.与市目等的向量只有一个(不含的B.与AB的模相等的向量有 9个(不含丽C

20、.前的模恰为DAH白、/3倍D. CBfDA汴共线解析：选 D.两向量相等要求长度(*H)相等，方向相同.两向量共线只要求方向相同或相反.D中CB D所在直线平行，向量方向相同，故共线.12 .如图，等腰梯形 ABCDK对角线 ACW BD交于点P,点E, F分别在月AD BC上，EF过点P,且EF/ AB,则（）A.AD= BCB.AC= BDC.Pfe= PFD.EP= PF解析：选d.由平面几何知识知，Ate勃向不同，故At> 画 AteBD方向不同，故Ad Bb； pEwpF勺模相等而方向相反，故pepf3；弧pF的模相等且方向相同，所以ep= pF13 .如图，在ABC43, /ACB勺平分线 CD交AB于点D若AC勺模为2, Be勺模为3, AD勺 模为1,则DB勺模为.CA D B解析：如图，延长 CD过点A作BC的平行线交CD的