必修五解三角形练习题

1、一.选择题（共10小题）1 .在 ABC中，sinA=sinB是4ABC为等腰三角形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .在 ABC中，a=x, b=2, B=45°,若这样的 ABC有两个，则实数x的取值范 围是（）A. （2,+oo）B.（0,2）C.（2,2/2）D.2）3 .在锐角 ABC中，若C=2B,则目的范围（）bA.一 B. -C. （0, 2）D.-二4 .在 ABC中，下列等式包成立的是（）A. csinA=asinB B. bcosA=acosBC. asinA=bsinBD. asinB=bsinA5 .已知在 A

2、BC中，若a cosAbcosB=ccosC则这个三角形一定是（A.锐角三角形或钝角三角形B.以a或b为斜边的直角三角形C以c为斜边的直角三角形D.等边三角形6 .在 ABC中，若 cosAsinBncos （B+C） sinC=0,则 ABC的形状是（A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形7在ABC中,内角A' B' C所对的边分别为a, " c,且警吟型,则/B为（A.7TR兀B.D.17 / 16c,|a=V3, b=1,则角 Bc nB-C.D.8 .在 ABC中，已知sinA=2sinBcosC则该三角形的形状是（B.直角三角形A

3、.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形9 . ABC的内角A、R C的对边分别为a、b、10.在 ABC中，a=x, b=2, B=45°,若此三角形有两解，则x的取值范围是(D. 2<m<2V3A. x>2B. x<2二.填空题(共1小题)11.(文)在 ABC中，/A=60°, b=1, ABC的面积为返，贝忆_时比2 sinA-FsinB+sinC 的值为.三.解答题(共7小题)12.在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知ab, c=/3, cos2A-cos2B= ： ；sinAcosA- :;sinBcos

4、B(1)求角C的大小；(2)求 ABC的面积的最大值.13 .在 ABC中，角A, B, C所对边分别为a, b, c,已知bccosA=3, zABC的 面积为2.(I )求cosA的值；(H )若 a=2/5,求 b+c 的值.14 .在 ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且 二= coeC Za-c(1)求角B的大小；(2) ABC的外接圆半径是行，求三角形周长的范围.15 .在 ABC中，(2a c) cosB=bcosC(1)求角B的大小；(2)求 2cos2A+cos (A- C)的取值范围.16 .已知a, b,c分另1J为 ABC三个内角A, B, C的对边长，且(

5、2c- b) cosA=acosB (1)求角A的大小；(2)若a=2,求 ABC面积S的最大值.17 . zABC的三内角A, B, C所对边长分别为a, b, c, a2 - b2=bc, AD为角A 的平分线，且4 ACD与ABD面积之比为1: 2.(1)求角A的大小；(2)若 AD/，求 ABC的面积.18 .在 ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且(2a+c) cosBnbcosC=0(1)求角B的大小.(2)若 b=-/15, a+c=4,求 ABC 的面积.(3)求y=sin2A+sin2C的取值范围.必修五 22222练习题参考答案与试题解析一.选择题（

6、共10小题）1 .在 ABC中，sinA=sinB是4ABC为等腰三角形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】先根据sinA=sinB时，则有A=B,推断出三角形一定为等腰三角形，进 而可知sinA=sinB是4ABC为等腰三角形的充分条件；同时 ABC为等腰三角形 时，不一定是 A=B,则sinA和sinB不一定相等，故可推断出 sinA=sinB>AABC 为等腰三角形的不必要条件.【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B,则 ABC为等腰三角形，故sinA=sinB 是 ABC为等腰三角形的充分条件，反之,当 ABC为等腰三角形

7、时，不一定是A=B,若是A=Cw 60时，贝U sinAwsinB,故sinA=sinB是 ABC为等腰三角形的不必要条 件.故选A.【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断.解题的时候 注意条件的先后顺序.2 .在 ABC中，a=x, b=2, B=45°,若这样的 ABC有两个，则实数x的取值范 围是（）A.（2,+8）B.（0,2）C.（2,2）D.（匹，2）【分析】先利用正弦定理表示出x,进而根据B=45可知A+C的值，进而可推断 出若有两解，则A有两个值，先看A< 45°时推断出A的补角大于135°,与三角 形内角和矛盾，进而可知

8、 A的范围，同时若A为直角，也符合，进而根据 A的 范围确定sinA的范围，进而利用x的表达式，求得x的范围，【解答】解：由正弦定理可知求得x=2/2sinAsinA sinBA+C=180 - 45 =135°有两解，即A有两个值这两个值互补若 A0 45°则由正弦定理得A只有一解，舍去.,.45<A< 135°又若A=90°,这样补角也是90度，一解，A不为90°所以学<sinA< 1= x=2 2sinA- 2<x< 2 二故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题.考查了学生推理能力 和

9、分类讨论的思想的运用.3.在锐角 ABC中，若C=2B,则存的范围（）bA.6 B.2） c（0, 2） D. |（四，2）【分析】由正弦定理得卷邛g星喈WssB,再根据 ABC是锐角三角形, b ginfi ginB求出B, cosB的取值范围即可.【解答】解：由正弦定理得卷异三衅,=ABC是锐角三角形, b sirft sinB一三个内角均为锐角，即有 0<B< 0<C=2B<, 0< l C- B=tt-3B<222解得看<8<子，又余弦函数在此范围内是减函数.故 卒<cosB<L. 雨"<明故选A【点评】本题考

10、查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是B角的范围确定不准确.4 .在 ABC中，下列等式包成立的是()A. csinA=asinB B. bcosA=acosB C asinA=bsinB D. asinB=bsinA【分析】直接利用正弦定理判断选项即可.【解答】 解：由正弦定理可知：csinA=asinB即sinCsinA=sinBsinB不何成立.bcosA=acosB 即 sinBcosA=sinAcosB 不何成立.asinA=bsinR 即 sinAsinA=sinBsinB 不包成立.asinB=bsinA 即 sinAsinB=sinBsinA 恒成立.故选：D

11、.【点评】本题考查正弦定理的应用，基本知识的考查.5 .已知在 ABC中，若a cosAbcosB=ccosC则这个三角形一定是()A.锐角三角形或钝角三角形B.以a或b为斜边的直角三角形C以c为斜边的直角三角形D.等边三角形【分析】利用正弦定理，和差化积公式 可得cos (A- B) =cosG A=B+C,或B=A+C, 再由三角形内角和公式可得 A=-L,或B=E,即可得答案.22【解答】 解：在 ABC中，若acosA+bcosB=ccosC: sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC . sin2A+sin2B=sin2c 2sin (A+B) cos (A-B) =2s

12、inCcosC cos (A- B) =cosC .A B=G 或 B- A=C,即：A=B+C,或 B=A+C.再根据A+B+C=tt,可得：A丹，或bJ"故 ABC的形状是直角三角形.故选：B.【点评】本题考查正弦定理，和差化积公式，三角形内角和公式，得到 cos (A-B) =cosC是解题的关键，属于基本知识的考查.6 .在 ABC中，若 cosAsinBncos (B+C) sinC=0,则 ABC的形状是(A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简即可.【解答】 解：: cosAsinE+cos (B+C) s

13、inC=0,cosAsinB- cosAsinC=0即 cosA (sinB- sin。=0,则 cosA=0或 sinB- sinC=0,即aL或b=g2则 ABC的形状等腰或直角三角形，故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，解题的关键是正确三角函数的诱导公式进行化简，属于基础题7 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且回区=注，则 a | b/8为()A. - - B.C. - - D.3643【分析】通过正弦定理及电立越咨l求出tanB的值，进而求出B的值. a b【解答】解：由正弦定理得：而日也延二小，两式相乘得tanB*, si nA sinB a b

14、由于0<B<砥从而B二一. a故选：A.【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.8.在 ABC中，已知sinA=2sinBcosC则该三角形的形状是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状.【解答】 解：因为 sinA=2sinBcosc 所以 sin (B+C) =2sinBcosC所以 sinBcosC- sinCcosB=0 即 sin (B-C) =0,因为A, B, C是三角形内角，所以B=C.所以三角形是等腰三角形.故选：C.【点评】本题考查两角

15、和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力.9. ABC的内角A、B C的对边分别为a、b、c，A*,bfVs, b=1,则角 BA. B. C.D.工或36&&6【分析】由正弦定理可得，可得的桢二西汕sinA sinBab< a可得从而可求B.【解答】解：由正弦定理可得,注意不要漏掉了大边对则x的取值范围是（【点评】本题主要考查例正弦定理在解三角形中的应用, 大角的考虑，不然会错写完B或器.6610.在 ABC中，a=x, b=2, B=45°,若此三角形有两解,A. x>2 B. x<2C. 2<工<2& d, 2&l

16、t;x<2V3【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要 使三角形两个这两个值互补先看若 A<45°,则和A互补的角大于1350进而推断 出A+B> 180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出 45 <A< 135°若A=90,这样 补角也是90°, 一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系 求得a的范围.【解答解：注=.二班 slnA sinBa=2 2sinAA+C=180 - 45 =135°A有两个值，则这两个值互补若 A045°,则 C&

17、gt; 90°,这样A+B> 180°,不成立,.45<A< 135°又若A=90,这样补角也是90°, 一解所以乌< sinA< 1a=2 二sinA所以2<a<2技故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用. 考查了学生分析问题和解决问题的能 力.二.填空题（共1小题）11 .（文）在 ABC中，/A=60°, b=1, ABC的面积为堂，贝，.,尸2 sinA+sinB+sinC的值为 2 .【分析】先利用面积公式，求出边a=2,再利用正弦定理求解比值.【解答】解：由题意，喙二乂匕X1乂由16。&

18、#176;c=2a2=b2+c2- 2bccosA=3a=:一；a+b+ca c.二:-VsinAfsinBI-sinC sinA -故答案为2【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公 式，求出边，再利用正弦定理求解.解答题(共7小题)12 .在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知ab, c=/3, cos2A-cos2B= : ；sinAcosA- :;sinBcosB(1)求角C的大小；(2)求 ABC的面积的最大值.【分析】(1)利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角 的范围求出角C;(2)由余弦定理和条件列出

19、方程化简， 利用基本不等式求出ab的范围，代入三 角形的面积公式可求出 ABC面积的最大值.1+节2B 哼啦山手曼池，【解答】 解：(1)cos2A- cos2B=/sinAcosA正sinBcosB.Kc05gA2则 cos2A- cos2B=/3l (sin2A sin2B),即- -；sin2B cos2B= :_；sin2A- cos2A,二 sin=sin. aw b,且 A、BC (0,兀),:A* B，则 需二-金四二 66；二"，解得 A+B=n;, 68JC=l A- B=-;3(2)由(1)知,由余弦定理得，c2=a2+b2 - 2abcosC,贝 3=a2+b2

20、 - ab,即 a2+b2=ab+3>2ab,解得ab<3,. ABC的面积 S="absinC= ab0-, 乙44故 ABC的面积的最大值是举.4【点评】本题考查了余弦定理，二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形 的面积公式，基本不等式求最值问题，注意三角形内角的范围，属于中档题.13 .在 ABC中，A A, B, C所对边分别为 a, b, c,已知 bccosA=3, zABC的 面积为2.(I )求cosA的值；(H )若 a=2s,求 b+c 的值.【分析】(I)利用三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出.(II)利用余弦定理及其(I)的结

21、论即可得出.【解答】解：(I);ABC的面积为2, .Lbc：sinA=2,.二 bcsinA=4.: bccosA=33sinA=4cosA又 sin2A+cos2A=1,联立，解得cos2A=. cosA>0, ；A为锐角,从而cosA.(n )由余弦定理得 a2=b2+c2 - 2bccosAa=2 匚，由(1)知 cosA=1,b'+ c Jbc=20,又由(I )得 bc=-=-=5, cos A(b+c) 2-2bc-今n=20.(b+c) 2=36.= b+c>0,b+c=6.【点评】本题考查了三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了推理

22、能力与计算能力，属于中档题.14 .在 ABC中，A A、B、C的对边分别是a、b、c,且注生J_. cosC 2a-c(1)求角B的大小；(2) ABC的外接圆半径是L,求三角形周长的范围.【分析】(1)已知等式右边利用正弦定理化简，整理后求出 cosB的值，即可确 定出B的度数；(2)利用正弦定理化简a+b+c,将B度数及表示出的C代入，利用两角和与差 的正弦函数公式化为一个角的正弦函数， 根据正弦函数的值域即可确定出周长的 范围.【解答】解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：cosB = b =鱼我, cost? 2a-c 2sinA-sinC整理得：sinBcosC=2sinAcosB

23、 sinCcosB 即 2sinAcosB=sinBcos+CosBsinC=sin B+C) =sinA,sinAw0,cosB,2则B工；3(2):ABC外接圆半径R?,由正弦定理得：a+b+c=2RsinA2Rsin2RsinC=sinAsinB+sinC=+sinA+sin(23-A) =£1+Jlsin (A+-),则三角形周长范围为(、后，学.【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域 与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.15.在 ABC中，(2a-c) cosB=bcosC(1)求角B的大小；(2)求 2cos2A+cos (A- C)

24、的取值范围.【分析】(1)利用正弦定理与两角和的正弦即可由( 2a- c) cosB=bcosC求得osB=j-,从而可求 ABC中角B的大小；(2)利用二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换可将2cosA+cos (A-C)转化2coSA+cos (A-C)的取值范围.【解答】 解：(1)二.在4ABC中，(2a c) cosB=bcosC由正弦定理 产 = J=_£_得：(2sinA- sinC) cosB=sinBcosCsinAsinBsinC为1+sin (2A+),再由0VA<2三与正弦函数的单调性即可求整理得：2sinAcosB=sin(B+Q =sin (兀A) =

25、sinA,: sinA>0, cosB卷，B (0,兀)，(2) v B三，故 A+C=-, 332coWA+cos (A - C)=1+cos2A+cos (2A)=1+cos2A- -cos2A+sin2A221=1cos2A+sin2A22.JTl=1+sin (2A+-),v0<A<-,- 1<sin (2A仔)< 1, 0< 1+sin (2A$) <2.即2cos2A+cos (A-C)的取值范围是(0, 2.【点评】本题考查正弦定理的应用，突出考查二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换，求得2cos2A+cos (A- C) =1+sin (

26、2A+)是关键，也是难点，考查转化与运算能力，属于难题.16.已知a, b,c分另I为 ABC三个内角A, B, C的对边长，且(2c b) cosA=acosB(1)求角A的大小；(2)若a=2,求 ABC面积S的最大值.【分析】(1)利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱 导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数.(2)利用正弦定理，结合辅助角公式，表示出面积，即可求ABC面积S的最大化【解答】 解：(1)利用正弦定理可得(2sinC- sinB) cosA=sinAcosB则 2sinCcosA=sin(A+B) =sinC,(5 分)(2)

27、由sinfi sinC sinA7日 4/3 .43行£工咄，c=:JJsinC ,所以 一一，.,：U.- ：, J：'zlO0u1_273=一二in二二匚二二sin(2B92 431si n E二("sin2B-rc：os2B)小.=<2B工<不士yj.ABC面积S的最大值为网3 - - 12分3【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特 殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.17. 4ABC的三内角A, B, C所对边长分别为a, b, c, a2- b2=bc, AD为角A 的平分线，且 ACD与AABD面

28、积之比为1: 2.(1)求角A的大小；(2)若 AD=/3,求 ABC的面积.222 12【分析】(1)由a2-b2=bc得-+； 二手 ,由正弦及余弦定理化简整理2 at2ac可得A=2B,由AD为角A的平分线，且&acd： Saabd=1： 2,解得外，平近b , 由正弦定理可得cosB,即可求得B, A的值.(2)由已知可求BD, CD, AC,根据三角形面积公式即可得解.【解答】(本题满分为12分)2222解：(1)由a2-b2=bc得已上空工上工，2ac 2ac由正弦及余弦定理得：co曲笑曲虱式,(2分)2sinA可得：2sinAcosB=sin+sin (A+B),整理得 sin (A- B) =sinB,即 A=2B,