第3节基本不等式：ab≤a+b2

1、17第3节基本不等式：相三卢考试要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题.|基砒知识修断嘉S； ；“回题教材，夯实知识梳理a+ b1 .基本不等式：.ab0 二(1)基本不等式成立的条件：a>0, b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.(3)其中al=b为正数a, b的算术平均数，泡称为正数a, b的几何平均数.2 .几个重要的不等式(1)a2 + b2>2ab(a, bCR),当且仅当a=b时取等号.a+ b 2.一 .一 .一(2)ab< a2 (a, bCR),当且仅当a=b时取等号.a2+ b2a+ b 2

2、(a, bCR),当且仅当a=b时取等号.(4)b+a>2(a, b同号)，当且仅当a= b时取等号. a b3 .利用基本不等式求最值已知x>0, y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x= y时.x+ y有最小值是_2Vp简记：积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当xy时，xy有最大值是g(简记：和定积最大).常用结论与易错提醒1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公一.、“巧出 生小 , a+b2 a2+b2 s a+b * /a2+ b2.式的逆用等，例如：ab<, Vab<-2<Af2(a&

3、gt;0, b>0)等, 同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件 .2 .使用基本不等式求最值，“一正” “二定” “三相等”三个条件缺一不可3 .连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致 .4 .基本不等式的一般形式：n(ai + a2 + a3+ - + an)>naia2 - an(其中 ai, a2, a3, an (0, +00),当且仅当ai = a2 = a3=an时等号成立).诊断自测1.判断下列说法的正误.、r,- r a + bi-,、(1)当 aR0, bR0 时，一2-n祠.()c c» a + bj 一(2)两个不等式a2+b2&

4、gt;2ab与一2一yab成立的条件是相同的.()(3)函数y= x+ 1的最小值是2.()x(4)函数f(x) = sin x+i-的最小值为4.()sin x、'(5)x>0且y>0是x+ y>2的充要条件.() y x解析(2)不等式a2+b2>2ab成立的条件是a, bCR； 不等式abqOb成立的条件是a>0, b>0.一一 1 一(3)函数y= x+-值域是( 8, -2U2, +oo),没有最小值. x一4 一(4)函数f(x) = sin x+ sn"x无取小值.(5)x>0且y>0是+y>2的充分不必要条

5、件. y x答案 ，(2)X (3)X (4)X (5)X2 .设x>0, y>0,且x + y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82解析xy< 岩2 = 81,当且仅当x=y=9时取等号.答案 C3 .若直线x+y=1(a>0, b>0)过点(1, 1),则a+b的最小值等于()a bA.2B.3C.4D.5解析 因为直线:+ b=1(a>0, b>0)过点(1, 1),所以1 + 1=1.所以a+b=(a+b)工+： = 2+a+2>2+2、他巨=4,当且仅当a=b=2时取“="，故选C.'abbaba

6、答案 C14 .右函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取取小值，则a=()X 2A.1+V2B.1 + V3C.3D.4解析 当 x>2 时，x 2>0, f(x) = (x-2) + - + 2>2A / (x 2) X- + 2 = 4, x 2.x 2当且仅当x 2=3(x>2),即乂= 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a = 3, x 2选C.答案 C5 .(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m,则这个矩形的长为 m,宽为 m时菜园面积最大.，一 、. 11 x+2y解析 设矩形的长为x

7、m,范为y m.则x+ 2y=30,所以S= xy=-x (2y)<一= 225,当且仅当x=2y,即x=15, y= 15时取等号.答案15竽6 .已知正数x, y满足x+y=1,则x-y的取值范围为,勺最小值为'J' x y解析 :正数x, y满足x+y=1,. . y= 1 x, 0<x<1, y= 1 +x,x-y=2x1,又 0<x<1, .0<2x<2, . 1<2x 1<1,即xy的取值范围为（一1, 1）.+ -= x-y +x= 1 + y+1 + 2、Rx =1+2 = 3,当且仅当 x=y= 1 时取“

8、=”x y x y x yx y21 x1+x的最小值为3.x y答案(一1, 1) 3涛点聚焦突破分类讲线.以例求快考点一配凑法求最值5 一1【例1】(1)已知x<5,则f(x) = 4x 2+i的最大值为.44x 5(2)已知正实数x, y满足xy+2x+ 3y=42,则xy+ 5x+4y的最小值为5- 4<X为因)1所以 54x>0,11贝M(x) = 4x 2+口=- 5 4x+ 5ZX+3< 2、/ (5-4x) -+3= 2+3= 1.y5 4x1当且仅当5 4x=一，即x=1时，等号成立.5 4x一1故f(x) = 4x 2+-的最大值为1.4x 5(2)

9、因为正实数x,y满足xy+ 2x+3y= 42,所以y=42-2x 一ITT >0 且 x>0，解得0<x<21.则 xy + 5x + 4y = 3x + y + 42 = 3x + 竺 "+ 42 = 3 (3 + x) + - + 3333+x3+x31>3X2A / (3+ x) 二+31 = 55,当且仅当 x= 1, y= 10 时取等号.所以 xy 33x+ 5x+ 4y的最小值为55.答案 (1)1 55规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正” “二定” “三相等” .所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式

10、求最值 时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为 常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练11 (1)函数y=(x>1)的最小值为 x 1(2)当x>0时，x+一号(2>0)的最小值为3,则实数a的值为 x I 1x2 + 2解析(1)y=二1 =(x2-2x+1) + (2x- 2) +3x 1(x 1) 2+2 (x 1) +3x- 1= (x-1)+3 + 2 >2/3+2.3当且仅当x1 = x。，即x=$+1时，等号成立.因为当 x>0,a>0 时，x+a7=x+1

11、+一，一 1>2g1,当且仅当 x+1=a- 'x+1x+1*x+1时，等号成立，又x + a=(a>0)的最小值为3,所以2g1 = 3,解得a=4.x I 1答案(1)2V3 + 2(2)4考点二常数代换或消元法求最值.一一易错警示1【例2】(1)(2020浙江”超级全能生”联考)已知正数x, y满足x + y=1,则年1 I xA.1 一一 ，一一的最小值是()1 + 2y3328B.63+2必C6 D.5(2)(一题多解)已知x>0, y>0, x+ 3y+xy= 9, WJ x+3y的最小值为解析. x+y=1,2x+ 2+ 2y+ 1= 5,不 +1

12、y = 5(2x+ 2+2y +21_12 + 4y 2 + 2x 3 + 272 221) ,2 + 2x+1+2y =5 3 + 2 + 2x+ 1+2y ,5 ，当且仅当 2x 4y + 4x4y+ 1 = 0时等号成立，故选C.法一(消元法)因为 x>0, y>0,所以 0<y<3,所以 x+ 3y =+；+ 3y= 23 + 3(y+ 1)-6)2、3 (y+1) -6=6, JM J12当且仅当币=3(y+1),即 y=1, x=3 时，(x+3y)min = 6.法二 x>0, y>0, 9-(x+ 3y) = xy=2x (3y)2 9：3y

13、 , 332当且仅当x= 3y时等号成立.设 x+3y = t>0,贝U t2+12t1080, (t-6)(t+18)>0,又 7>0,又=6.故当 x= 3, y= 1 时,(x+3y)min=6.答案(1)C (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个 量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变 形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子， 然后利用基本不等式求解最 值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基

14、本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】(1)(一题多解)若正数x, y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为(2)已知正数x, y满足2x + y=2,则当x=时，1 y取得最小值为x解析(1)法一由 x+3y= 5xy 可得;1+;3" = 1, 5y 5x1 , 33x+ 4y= (3x+ 4y)司+ 成=9+4+§+詈T+b 5(当且仅当3啜即x=1, y=时，等号成立)5 5 5y 5x 555y 5x2' - 3x+ 4y的最小值是5.法二由 x+ 3y =5xy,彳3 x=3y5y-11 . x>0, y>0

15、, . y>5,19 41°， 9y ，13 y 5 +5 + 5 4y ,13 9 5，13x+ 4y= 57h + 4y=1+4y=亏+ 5+4 y55y5v513=5,1一 ,当且仅当x= 1, y= 2时等方成立， (3x+ 4y)min=5.x, y 为正数，贝U 2x+y=2?y= 2-2x>0? 0<x<1,所以,一(22x)=1 + 2x xx2>2- 2,当且仅当1 = 2x,即x=2时等号成立. x4答案(1)5 (2)-22 2 2-2考点三一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】(一题多解)(2018全国I卷)已知函数f(x)=

16、2sinx+sin 2x,则f(x)的最小 值是 解析 法一 因为 f(x) = 2sin x+ sin 2x,所以 f' x) = 2cosx + 2cos 2x = 4cosx + 2cos x 21=4 cos x- 2 (cos x+1),.1一一兀兀 .由 f x)10得20cos x< 1,即 2kL-<x<2kTt+3，k Z,1由 f x)W0 得一1 Wcos x<2,rr冗，、冗一所以当即 2k：t+ 3&xW2kTt+兀或 2k九后x02kL3, kZ,x= 2kL-(k Z)时，f(x)取得最小值, 3Lt九且 f(x)min =

17、 f 2k L33c . a , 4343=2sin 2kL 3 + sin 2 2k 九一3 二 一 .法二因为 f(x) = 2sin x+ sin 2x=2sin x(1 + cos x) = 4sinxcosx 2cos21= 8sin2cos3x2x6x3sin 2cos 2,_ 8】2 640 . 2x6x64 3sin2x+ cos2x+ cos2x+ cos25 4 27所以f(x)2= y X 3sin22cos620 -y -2222,4当且仅当3sin2x= cos2x,即sin22 = 4时取等号，所以0&f(x)20与,所以一邛W f(x) w, 所以f(x)

18、的最小值为一室法三 因为 f(x) = 2sin x+sin 2x=2sin x(1 + cos x),所以f(x)2=4sin2x(1 + cos x)2= 4(1 cos x)(1 +cos x)3,设 cos x=t,则 y=4(1 1)(1+t)3(-1 0t& 1),所以 y J 4-(1+t)3+ 3(1 -t)(1+1)2= 4(1+t)2(2 4t),.1 .1所以当一1<t<2时，y >0 当2<t<1 时，v <0.11所以函数y= 4(1t)(1+t)3(1Wt&1)在1, 2上单调递增，在2, 1上单调递 减.所以当

19、t=2'时，ymax = I ；当 t= 土 时，ymin = 0.27c 27所以 0<y<-,即 0<f(x)2<27,所以一乎& f(x)&苧，所以f(x)的最小值为一323.法四 因为 f(x) = 2sin x+sin 2x=2sin x(1 + cos x),所以f(x)2=4sin2x(1 + cos x)2= 4(1 cos x)(1 +cos x)3<4 3 (1 cos x) + (1 + cos x) + (1 + cos x) + ( 1 + cos x) 4 27 =344 '当且仅当 3(1 cos x)

20、= 1 + cos x,-1即cos x= 2时取等号，所以0<f(x)2V多，所以乎Vf(x)V，所以f(x)的最小值为一平.答案-323 规律方法(i)三角函数式拆项时要注意满足平方关系.(2)拆项时要满足各项都相等这个条件成立.【训练3】(1)已知任0, 2,求sin2 9 cos 8的最大值.(2)已知 a, b, c为正数，且满足 abc= 1,证明(a+b)3+(b+c)3+(c+ a)3>24.解 v 9 0,万，sin2 0 cos 10,而(sin2 9 cos 胪=4 sin2 0 2sin2 0 cos2 (K：sin2 0+ sin2 升 coJ 03 44

21、221二.一 .1 cc当且仅当2sin2 8= cos 6即cos4孚,0 0, 2时等号成立.sin2 0 cos 0的最大值为2g.9(2)证明因为a, b, c为正数且abc= 1,故有(a+ b)3 + (b+ c)3+ (c+ a)33>3(a+b) 3 (b+c) 3 (c+a) 3 = 3(a+ b)(b+ c)(c+ a)>3X (2Vab)x (2弧)x (2Vca) = 24.当且仅当a=b=c= 1时，等号成立，所以(a+b)3 + (b+c)3+(c+ a)3>24.I分层限时询携基础巩固题组、选择题 1.下列不等式一定成立的是A.lg x +4 &

22、gt;lg x(x>0)B.sin x+->2(xwk& kC Z)C.x2+1>2|x|(x R)1D.x271 <1(xCR)111解析 当x>0时，x2+4>2 x 2=x,所以1g x2+4 >lg x(x>0),故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正” “二定” “三相等"，当xw k kC Z时,1sin x的正负不止，故选项B不正确；显然选项C正确；当x=0时，有, + 1 = 1, 选项D不正确.答案 C2 .(2019诸暨期末)已知a +2b=1(a>0, b>0),则2b+ 1的最小值等于(

23、)a bA.4B.22+2C.5D.272+1解析由题意得2b+1=2b+史曰=2+3+ 2>2佟a +2 = 2g+2,当且仅aba b a b . a b当a=V2b=也1时，等号成立，所以2b+ 1的最小值为2V2 + 2,故选B. a b答案 B3 .若正数x, y满足4x2 + 9y2+3xy= 30,则xy的最大值是()4一3 2 A C5-3 5-4B,D.解析 由 x>0, y>0,得 4x2 + 9y2+3xy>2 (2x) (3y) + 3xy(当且仅当 2x= 3y 时等号成立)，；12xy+3xyW30,即xy02,当且仅当x=43, y=43时

24、取等号，xy 3的最大值为2.答案 C4 .已知a>0, b>0, a+b=1+1,则1+2的最小值为()a b a bA.4B.2 2C.8D.16解析 由 a>0, b>0, a+b= 1+1=a-Tb,得 ab= 1,a b ab则1+2>2、疑=2成.当且仅当1=2 a b : a ba b即a，b=/时等号成立.故选B.答案 B5.若a>0, b>0,且a+b=4,则下列不等式包成立的是（11A.- ab 41 1 ,B-+r<1a bC.>/ab>2D.a2+b2>8解析 4=a+b12gOb(当且仅当a=b时，等号

25、成立)，即«5W2, ab<4, 4->1,ab 4,一1 1 a+ b 4选项 A, C 不成立；a + b=_ab_ = ob> 1,选项 B 不成立；a2+b2= (a+b)22ab= 16-2ab> 8,选项D成立.则ab的最小伯:为（）A. .2B.2C.2 2D.4解析依题意知a2 b>0,则%>2121当且仅当今b,即b = 2a时,成立.因为1 + 2=。茄，所以yab>2佟，即ab>2/2（当且仅当 a babi a= 24,5b = 24时等号成立），所以ab的最小值为2陋，故选C.7.已知a, b, c, d>

26、;0, a+b = c+ d=2,则(a2 + c2)(b2 + d2)的最大值是(A.4B.8C.16D.32解析 2a (a2+c2)( b2+d2)+ c2+ b2 + d2(a+b) 2+ (c+ d)2 W2一 =4,(a2 + c2)(b2+d2)< 16,当 a= d=2, b=c=0 或 b=c= 2, a= d = 0 时取到等号, 故选C.答案 C8.(2019台州期末评估)已知实数a, b满足a2+b2 = 4,则ab的取值范围是()A.0, 28 .-2, 0C.( 8, 2 U 2, +oo)D.-2, 2解析:aZ+bZMd,根据基本不等式得4= a2+b2&

27、gt;2bb|,|ab|02,一2<ab<2, ；ab的取值范围是 2, 2,故选D.答案 D9 .已知x+ y=1 + 4+8(x, y>0),则x+y的最小值为()x yA.5 3B.9C.4+ 26D.10解析 由 x+y= (+：+8 得 x+y8 = +：,则(x+y8)(x+y)= ： + ： (x+y) = 5 + x+卒5 + 2yy4x =9,当且仅当二,，即y = 2x时，等号成立，令1=乂+ y, 所以(t 8)t>9,解得t0 1或t>9,因为x+y>0,所以x+y>9,所以x+yB.的最小值为9,故选答案 B二、填空题x>

28、;0, y>0, x+2y=5, 则(x+D/y+l) 的最小值为10.(2019天津卷)设., xy>0.解析. x>0, y>0,x+ 2y=5,(x+ 1) (2y+ 1)2xy+ x+ 2y+1当且仅当2.xy="6= 2/xy+ _6= > 2f12.= 473,.、xyxy一3 .即x=3, y=1或x=2, y=2时取等号.(x+1) (2y+1)xy的最小值为4 3.答案4 31 2,11.（2020镇海中学模拟）已知a, bC（0, +oo）且a+2b=3,则a+g的最小值是 解析 因为 a,b>0,且 a+ 2b = 3,所以

29、1 + 2= 1+2b 3+2b =1 + 4+2 号+1冶a b a b 3 3333b a 3+ ?x 2、件=。+ = 3,当且仅当a = ,即a= b= 1时取等号.3.ba 3 3b a答案 3 12.（2018江苏卷）在AABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, / ABC=120°, /ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+ c的最小值为 解析 因为/ABC=120°, /ABC的平分线交 AC于点D,所以/ABD=/CBD111。=60 ,由二角形的面积公式可得 2acsin 120= 2aX1Xsin 60 + 2cX1Xsin

30、60 ；化简得 ac= a+c,又 a>0, c>0,所以 1+1=1,则 4a+c= (4a+ c) 1+' =5+' a ca c a+ 4a>5+2A/c4a=9,当且仅当c= 2a时取等号，故4a+c的最小值为9. ca c答案 913.若正数a, b满足：1 + 1=1,则d7+r9：的最小值为.a b a I b I解析 :正数a, b满足1 + 1=1, a b1 a+ b= ab,，a111b>0，b=1a>0，. .b>1, a> 1,19则KF(a-1) (b-1)二2ab ( a+ b) + 1=6（当且仅当a4=

31、鼻，b= 4时等方成立），3一 +目的最小值为6.a- 1 b- 1答案614 .（一题多解）若实数x, y, z满足x+2y+ 3z= 1, x2+4y2+9z2= 1,则z的最小值是 解析 法一 因为 1 -9z2= (x+2y)22 x 2y>(x+ 2y)2 2 -2 ,又 x+ 2y =13z,则 1 9z2>；(1 3z)2,解得一1wzw!，即 z 的最小值为一. 2939法二 由 x2+(2y)2= 1 9z2,设 x= Ri 9z2cos 0, 2y=,1 9z2sin 0,贝U 1 3zJCJrn兀, .z ，1=、1 9z2(cos 9+ sin $ =2 (

32、19z2) sin 0+ 4 ,由二角函数的有界性，得 |1 一3z|0>/2 (19z2),解得一：&zw：,即 z的最小值为一:.9391答案9能力提升题组15 .设正实数x, y, z满足x2-3xy+ 4y2z=0,则当xy取得最大值时，?十一段的 zx y z最大值为()B.1A.0 -9C.D.34解析 由已知得z= x2-3xy+ 4y2, (*)则&zxy=x2-3xy+ 4y" x , y+4y-3 x<1,当且仅当x=2y时取等号，把x=2y代入(*)得片2y2,所以x+，y-12+1<1.答案 B2a b16.(2020金华一中

33、月考)已知正实数a, b满足：a+b=1,则石马十下的最大 值是()A.2B.1+ 2C.1 +D.1 +3.22解析因为正实数a, b满足a+b=1,所以工+a2+b+b _ a+b2=2a1 aa2 + 1 a+a+ (1a)_ a+15 a2a+1. t=a+1C (1, 2),则原式=13 + 2/32V3333当且仅当t=即t=，3=a+ 1, a=V3- 1，b=2，3时取等号，故选C.答案 C 17.（一题多解）（2017北京卷改编）已知x>0, y>0,且x+ y= 1,则x2+的最小 值为,最大值为.解析 法一x>0, y10且x+ y= 1,一112jxy<x+ y= 1,当且仅当x=y= 2时取等方,从而0&xy&彳， 因此 x2 + y2 = (x + y)2 2xy = 1 2xy,1 c c所以2" +/01.法二 .x+ y=1, x>0, y>0, .y= 1-x,