第16讲：添加辅助线

1、<LJ辅助线的添加5 / 20内容分析当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅 助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中， 构造出全等三 角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题， 本节主要是对几何证 明做一总结和拓展.知识结构知识精讲模块一：根据图形补形添线1、常用的辅助线有：(1) 联结两个点得到线段；(2) 过某一点做平行线或者垂线；(3) 延长某一条线段，构造特殊的三角形.例题解析【例1】如图，已知 AD/BC, /B=/C,求证：AB=CD.( ).A.延长BA、CD交于点E;B.过点A、D作AEBC, DFXBC,垂足分别为

2、 E、F;C.联结 AC、BD;D.过点B、C作BEAD, CFXAD,垂足分别为 E、F.【难度】【答案】【解析】卜列添加辅助线不正确的是【例 2】 如图，AB=AD, BC=CD,求证：/ ABC = /ADC.【难度】【答案】【解析】BC=DE, /ABC=/AED,【例3】 如图，五边形 ABCDE中，AB=AE, 求证：/ BCD=/EDC .【难度】【答案】【解析】【例 4】 如图，AB/EF, /B+/C+/D+/E=.【难度】【答案】【解析】【例5】 如图， ABC中，点D是BC的中点，过点线于点F,且BE=CF.求证：AE=AF .【难度】【答案】【解析】D的直线交 AB于点

3、E,交AC的延长【例6】如图，已知 ABC 中，AB=AC, Z BAC=90° , BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D ,CEBD交BD的延长线于点 E,求证:【难度】【答案】【解析】BD=2CE.【例7】 如图，在 ABC中，CE是/ACB的平分线，AFLCE于点F,求证：/ CAF = /EAF+/ABC.【难度】【答案】【解析】【例8】 如图， ABC中，点D、E分别在BC、AC的延长线上，且 C是AE的中点,/B+/D=180° ,求证：AB=DE.【难度】【答案】【解析】【例9】两个全等的含 30°、60°角的三角板 ADE和三角板AB

4、C如图所示放置，E,A, C三点在一条直线上，连接 BD,取BD的中点 M,连接 ME、MC ,试判断 EMC的形状，并求证.【难度】【答案】【解析】【例10如图,求证：BE=CD. ABC 中，BD、CE 相交于点 O, /1=/2=1/A,2【难度】【答案】【解析】【例11 如图，在直角 ABC和直角 ADE中，/ C=Z E =90° , BC=DE,BF=DF./ BAE=Z DAC, BC与DE交于点F,求证:【难度】 【答案】【解析】【例12如图，已知在 ABC中，/ C=90° , / A=45° , AB=a,在线段 AC上有动点M,在射线 CB上

5、有动点N,且AM=BN,连接 MN交AB于点P.(1)当点M在边AC (与点A、C不重合)上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系 ？ 试证明你的结论.(2)过点M作边AB的垂线，垂足为点 Q,随着M、N两点的移动，线段 PQ的长能确定吗?若能确定，请求出 PQ的长；若不能确定，请简要说明理由.【难度】【答案】【解析】【例13已知：如图， 那BC是等边三角形,BD = DC, /BDC=120°, /MDN=60°,求证：C amn2 c_C ABC -3【解析】【例14如图，正方形 ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且/ EBF = 45(1)(2)求证：AE+

6、CF = EF;若Bv，BC=1 ,求BE的长.【难度】【答案】【解析】11 / 20常做辅助线：遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形.例题解析【例15 已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值范围是 【难度】【答案】【解析】【例16如图， ABC中，BD = DC=AC,【难度】【答案】【解析】E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.【例17】已知：如图， AD是4ABC的BC边上的中线，且 BE=AC,延长 BE交AC于点F.求证：AF=EF.【难度】【答案】【解析】【例18已知：如图， AD是4ABC的中线，AB = BD,点E在BD上且BE =ED.求证：AC

7、 =2AE.【难度】【答案】【解析】ABC外作正方形 ABDE和ACGF , M是BC的中点.【例19已知，如图，在，、一1 一求证：AM EF .2【难度】【答案】【解析】【例20】已知：如图，在 ABC中，BD=DC ,求证：BE+CF>EF.EDXDF .【难度】【答案】【解析】ADEFC【例21已知：如图，点 M是4ABC的边BC的中点，射线 ME、MF互相垂直，且分别交AB、AC于E、F两点，连接EF.(1) 求证：线段BE、CF、EF能够成一个三角形；(2) 若/ A=120° ,且BE=CF ,试判断BE、CF、EF所构成三角形的形状， 并证明.【难度】【答案】【

8、解析】模块三：角平分线翻折I知识精讲遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形.例题解析【例22如图，在三角形 ABC中，。是AC边上的一点，过点。作MN /BC,交/ ACB的平分线于点 巳 交/ ACB的邻补角的平分线于点 F,求证：OE=OF.【难度】【答案】【解析】【例23如图，在四边形 ABCD中,求证： A C 180 .【难度】【答案】【解析】BC>BA, AD=CD, BD 平分 ABC,【例24如图，已知 AD是那BC的角平分线，/ B=2/C.求证：AB+BD=AC.【难度】【例25如图，在四边形 ABCD中，AC平分/ BAD,过点C作C

9、ELAB于点巳并且1AE (AB+AD),求/ ABC+/ADC 等于多少度？ 2【难度】【答案】【解析】【例26 如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD、CE相交于点 O,求证：OE=OD.【难度】【答案】【解析】12/20BE=CF.【例28】过F作FH / AB,交BC于H .ADB【例27】如图所示，在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，M是BC的中点，MF/ DA交BA的延长线于点 巳 交AC于点F ,求证:【难度】【答案】【解析】已知：RtABC 中，/ACB=90° , CD，AB 于 D , AE 平分 / CAB 交 CD 于

10、 F ,22 / 20随堂检测【习题1】 如图，在 ABC中，/ A=120° /ABC=/C, BD是/ ABC的角平分线，如果将 ABD沿BD翻折过来，点A与BC边上的点E重合，那么 CDE是角形.【难度】【答案】【解析】【习题2】 如图，已知 AC=BD, Z D=Z C,求证：/ A=Z B.【习题3】 如图，在三角形 ABC中，/ABC=2/C, ADXBC,求证：AB+BD=DC.【难度】【答案】【解析】【习题4】如图，AD是 ABC的角平分线，AC=AB+BD, / C=30° .求/ BAC的度数.【难度】【答案】【解析】【习题5】以4ABC的边AB、AC为

11、边分别向外作正方形 ABDE、ACGF , DPLBC于点P, GQLBC 于点 Q,求证：DP+GQ=BC.【难度】【答案】【解析】【习题6】已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE+CF=EF,求证：/ EBF=45【难度】【答案】【解析】【习题71已知，如图，D为等边 ABC内一点，DA = DC,P为等边 ABC外一点，PC=AC,且CD平分/ BCP,求/ P的度数.【难度】【答案】【解析】【习题8】如图，在 ABC 中，AC BC , / C=90° , ADXBD 交于点 D, BD 与 AC相交于点E,当BE=2AD时，求证：BD平分 ABC

12、 .【难度】【答案】【解析】【习题9】 如图，已知在正方形 ABCD中，E是AD的中点，BF=CD + DF ,若/ ABE为求/ CBF的度数.【难度】【答案】【解析】【习题10 在 ABC中，AB=AC, 求证：BD+DC=AB .【难度】【答案】【解析】D是 ABC外一点,D在BC的延长线上且 CD=AB,【习题11 如图，在 ABC中，E是BC边上一点，点/BAE=/D, AC 平分/ EAD.求证:【难度】【答案】AD =2AE.【解析】B. AD=DC;D. AB / CE.课后作业【作业1】 如图，将 ABC的中线AD加倍到点E,联结CEB,以下结论错误的是( ).A. AABD

13、 "CD；C. CE=AB;【难度】【答案】【解析】【作业2】已知：AD是 ABC的角平分线,C=2/B,将4ACD沿AD翻折，点C落在 AB边上的 E处， EBD 是; AB、AC、CD之间的数量关系是【难度】【答案】【解析】【作业3】已知：在 ABC 中，AC=BC, / ACB=90° , AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D.求证：AB=AC+CD.【难度】【答案】【解析】【作业4】已知 ABC和 BDE均为等边三角形，求证： BD+DC=AD .【难度】【答案】【解析】【作业5】已知直角 ABC中，/CAB=90°点D、E在边BC上，/CAE=/B, E是CD的中点，且 AD平分/ BAE;求证：BD=AC.【难度】【答案】【解析】【作业6】 如图，已知点 C是AB的中点，点E在CD上，AE=BD,求证：/AEC=/CDB.【难度】【答案】【解析】BD=CE .【作业7】 已知：如图，在 ABC中，AB=AC,点D是AB上一点，E是AC延长线上一点，联结DE交BC于点M, DM=ME,求证:【难度】【答案】【解析】ABC的角平分线 AD、BE相交于点F, / C=60【作业8 已知，如图， 求证：AB =AE+BD.【难度】【答案】【解析】【作业9】 如图，已知在 ABC中，BD、CE相交于点