用空间向量解立体几何题型与方法

1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a= (ai, bi, ci).平面 a ,卩的法向量 u= (a3, b3, C3), v= (a4.b4, C4)(1)线面平行：l / a ? a丄u? a u= 0? aa3+ bb3+ oc3= 0(2)线面垂直：l 丄 a ? a / u? a= ku? a1 = ka3, b1= kb3, o = kC3(3)面面平行：a / 3 ? u/ v? u= kv? a3= ka4, b3= kb4, C3= kC4(4)面面垂直：a 丄卩? uX v? u v= 0? a3a4 + b3b4+ C3C4= 0例1、如

2、图所示，在底面是矩形的四棱锥P- ABCDK P免底面ABCD E, F分别是PC, PD的中点,PA= AB= 1, BC= 2.(1)求证：EF/平面PAB证明以A为原点，AB AD AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0) , F(0,0,1)1 1,所以 E 2 , 1 , 21uur1uuuuuuuuiuF0,1, 2 ,EF -2 , 0, 0 ,PB - (1,0 ,-1) , PD - (0,2 ,-1) , AP - (0,0,1)uuurUULTuuuAD=(020)DC-(1,

3、0,0),AB - (1,0,0).uuur1 uuuuuur uuur(1)因为EF2 AB ,所以EF / AB ,即 EF/ AB又AB?平面PABEF?平面PAB所以EF/平面PABuuuuuuuuuruuur(2)因为AP DC - (0,0,1) (1,0,0) - 0 ,AD DC - (0,2,0) (1,0,0) - 0 ,uuuuuiruuur uuur所以AP丄DC ,AD 丄 DC,即AP丄DCADL DC求证：平面 PADL平面PDC又APH AD=代 AP?平面PAD AD?平面PAD所以DCL平面PAD因为DC?平面PDC所以平面PADL平面PDC使用空间向量方法

4、证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直例2、在直三棱柱 ABC ABC中，/ ABG= 90°, BC= 2, CG= 4，点E在线段BB上, 且EB= 1, D, F, G分别为CC, CiB, GA的中点.求证：(1) BD丄平面ABD(2)平面EGF/平面 ABDx轴、y轴、z轴建立空间证明：(1)以B为坐标原点，BA BC BB所在的直线分别为直角坐标系，如图所示，则B(0,

5、0,0) , Q0,2,2) , B(0,0,4)，设 BA= a,则 A( a, 0,0),uuuuuuUUUU所以 BA = (a, 0,0) , BD = (0,2,2) , B1D = (0,2 , - 2),uuuu uuu uuuu uuuB1D BA = 0, B1D BD = 0+ 4-4= 0，即 BD丄 BA BDL BD又BAG BD= B,因此BD丄平面ABDauuur auuur(2)由(1)知，E(0,0,3), G2 ,1 , 4 , F(0,1,4)，则 EG= q,1 , 1 , EF= (0,1,1)uuuu uuuruuuu uuurB1D EG = 0+

6、 2-2 = 0 , B1D EF = 0+ 2 2= 0,即 BDL EG BD丄EF又EGG EF= E,因此BD丄平面EGF利用空间向量求空间角基础知识结合(1)可知平面 EGF/平面ABD(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a , b的方向向量分别为a , b,异面直线所成| a - b|的角为 0 ,则 cos 0 = |cos a , b> | = | 列向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n ,直线的方向向量a,设线面所成的角为0 ,则 sin 0 = |cos n, a| =| a|(3)向量法求二面角：求出二面角In| a|a I - 3的两个半平面a与卩的法

7、向量ni, n2,若二面角a I 3所成的角0为锐角，贝U cos 0 = |cos ni, n2> | =1 Ml n2| 若二面角a I 3所成的角0为钝角，贝U cos 0 = |cos ni, n2| = 巴.1 ni11 M 例 1、如图，在直三棱柱 ABC- ABC中, ABLAC AB= AC= 2, AiA= 4,点D是BC的中点.(1) 求异面直线AiB与GD所成角的余弦值；(2) 求平面ADC与平面ABA所成二面角的正弦值.解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，贝U A(0,0,0),巳2,0,0),C(0,2,0) , D(1,1,0)uu

8、uruuuu,A(0, 0,4) , G(0,2,4)，所以 A1B = (2,0 , 4) , CD=(1 , 1, 4).uuuu因为 cos A1 B ,uuuuC1DuurnA1B -utwuuuu GD18uuuu =3 ：10 uuuu uuuu | . ,| A1B | C1D|20x 1810所以异面直线 AB与CD所成角的余弦值为3 1010uuuruuuu 设平面 ADC的法向量为 n1 (x , y , z),因为 AD (1,1,0) , AC1 (0,2,4)uuuruuuu所以 n1 AD 0 , n1 AC1 0,即 x + y 0 且 y+ 2z 0,取 z 1

9、,得 x 2 , y 2,所以，m (2 , 2,1)是平面ADC的一个法向量.取平面ABA的一个法向量为 住一(0,1,0).设平面ADC与平面ABA所成二面角的大小为 0 .由 |cosn1 n20 | 0 | n1|n2|-,9X ；1-3，得 sin因此，平面 ADC与平面ABA所成二面角的正弦值为例 2、如图，三棱柱 ABC ABC 中，CA= CB AB= AA , / BAA 60° .(1)证明：AB! A C 若平面ABCL平面 AABB, AB= CB求直线 A C与平面BBG C所成角的正弦值.解(1 )证明：取 AB的中点Q连接OC OA, AB因为CA= C

10、B所以OCL AB由于AB- AA, / BAA 60 ° ,故厶AAB为等边三角形，所以 OAL AB因为O6 OA O,所以ABL平面 OAC又 AC?平面 OAC,故 AEL AQ.(2)由(1)知OC AB, 0A丄AB又平面ABCL平面AABB，交线为AB,所以OCL平面 AABB,故OA OA, 0C两两相互垂直.uuuuuu以O为坐标原点，OA的方向为x轴的向，| OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 由题设知 A(1,0,0) , Ai(0 , '3, 0) , Q0,0 , ：3),耳1,0,0).uuuruuuu uuiuuuiw则

11、 BC = (1,0 , )3) , BB1 = AA1 = ( 1, ,3 0) , A1C = (0 , , ；3).设n= (x , y , z)是平面BBCC的法向量,uuurn BC = 0 , 则 uuunn BB1 = 0.x +3z= 0 ,x+ i - 3y = 0.可取 n= ( :'3 , 1 ,1).故cosuuua n , ACuuunn AC 10=uuuu =.I nil A1C |运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标； 写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论. 求空间角应注意： 两条异面直线所成

12、的角 a不一定是直线的方向向量的夹角卩,即COS a = |cos卩|. 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求. 例 3、如图，在四棱锥 S- ABCD , ABL AD AB/ CD CD= 3AB= 3 , 平面SADL平面ABCD E是线段 AD上一点，AE= ED= 3 , SEL AD(1) 证明：平面 SBEL平面SEC(2) 若SE= 1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.所以AQ与平面BBCC所成角的正弦值为解： 证明：平面 SAD_平面 ABCD平面SADH平面 ABC9 AD，SE?平面SADSEL AD SE1平面 ABCD / B

13、E?平面 ABCD： SEI BE / AB丄 AD AB/ CDCD= 3AB= 3, AE= ED= 3，/ AEB= 30°,/ CED= 60° .BEC= 90°,即 BE! CE又 SEH CE= E,： BE!平面 SEC / BE?平面 SBE平面SBEL平面SEC 由知，直线ES EB EC两两垂直.如图，以 E为原点，EB为x轴，EC为y轴,ES为 z 轴，建立空间直角坐标系则E(0,0,0) , C(0,23, 0) , S(0,0,1) , B(2,0,0)，所uuu_ uuu-uir_以 CE= (0，- 2 3,0) , CB= (2

14、, - 2 3,0) , CS= (0 , - 2 3 ,1).设平面SBC的法向量为n= (x, y , z),uuun CB = 0 , 则 uurn CS = 0.2x-2 3y = 0 , 2叮3y + z = 0.令 y = 1,得 x =3 , z = 2 3 ,则平面SBC的一个法向量为 n= ( .3 , 1,23).设直线CE与平面SBC所成角的大小为0 ,则sinuuun CE 1 sum =70= | n| |CE|4'故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为4.例4、如图是多面体 ABC ABG和它的三视图.(1)线段CG上是否存在一点 E,使BE!平面AQG?若

15、不存在，请说明理由，若存在,请找出并证明;(2)求平面CAiC与平面AQA夹角的余弦值.解：(1)由题意知AA, AB, AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),uuiwuuuirA(0,0,2)，政一2,0,0) , C(0，- 2,0) , C( 1, - 1,2)，则 CC1 = ( 1,1,2) , A1C1 =(uuuiuuu1, 1,0) , A1C = (0， 2, 2) 设 E(x, y, z)，则 CE = (x, y + 2 , z),uuuruuu uuuuEC1 = ( 1 x, 1 y, 2 z) 设 CE =入 EC1 (入 >0),

16、x =入一入x ,则y + 2 =入一入y ,z= 2入一入z ,则 E 二 三二1 2 则E 1 +入'1 +入,1 +入'uuu2+ 入BE =寸，2入 2入1 + 1，1+ 入auuuuuuirBE A1C1 = 0 , 由 uuu uuuaBE A1C = 0 ,2+1 2+1 _1+1 + 1+ 1 0 ,2 1 2 11+ 1 +1+ 1 0,解得1 = 2,uuu uuuu所以线段CC上存在一点E, CE = 2 EC1，使 BE!平面 ACC.uuuirm- A1C1 = 0, 设平面GAC的法向量为m= (x , y , z),则由 uuum- A1C = 0

17、 ,xy=0,2y 2z= 0 ,取 X = 1,则 y= 1, z= 1.故 m (1 , - 1,1),而平面 ACA的一个法向量为 n= (1,0,0),nr n1 xf3则cos m n= | n n =3，故平面CA1C与平面AQA夹角的余弦值为 有.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正厶ABC的边长为4, CD是AB边上的高，E，F分别是AC和 BC边的中点，现将 ABC沿 CD翻折成直二面角 A- DG B(如图2).(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由;求二面角E- DF C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P,使APL DE如果存在,BP求出BC

18、的值;如果不存在,说明理由.(1)在厶 ABC中，由 E,F分别是AC BC中点，得EF/ AB 又 AB?平面 DEF EF平面DEF二AB/平面DEF以点D为坐标原点，以直线DB DC DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),Q0, 2 3 , 0) ,E(0,3 , 1) ,F(1, .3 , 0),厂uuur厂uuu=(1 , ,3 , 0) , DE = (0 ,3 , 1), DA = (0,0,2).uuu平面CDF的法向量为 DA = (0,0,2).设平面EDF的法向量为n= (x , y , z),UULT DFUULTDF n

19、= 0 ,x+ 3y = 0 ,则uult即取 n= (3, .3 , 3),DE n= 0 ,3y + z = 0 ,UUULLcos DA , n= DLL n =_21 ,所以二面角 E- DF C的余弦值为 亠弓 I DA| n|77D芝=3t 2= 0 , t =UUUUUIL存在.设 P(s , t, 0),有 AP = (s , t , 2),则 APuuu uuuBP / PC , (S 2)(2 ,;3 t)uuruuu又 BP = ( S 2, t, 0) , pC = ( s, 2 : 3 t, 0),=st ,/34 uuu 1 uuu :3s +1 = 2.3 把 t

20、 = 3-代入上式得 s= 3, BP = 3 BC ,在线段BC上存在点P,使API DE 此时，兽=3.BC 31 空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、 论证、推理，只需通过坐标运算进行判断2 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题 转化为“点的坐标是否有解，是否有规定围的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效， 应善于运用这一方法例2、.如图所示，在直三棱柱 ABG AB1C中，/ AC= 90°，AA= BC= 2AC= 2.(1) 若D为AA中点，求证：平面 BCDL平面BCD(2) 在AA上是否存在一点 D使

21、得二面角 B- CD C的大小为60 °?解：(1)证明：如图所示，以点 C为原点，CA CB CC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则q0,0,0) ，A(1,0,0) ，B1(0,2,2) ，G(0,0,2) ，Q1,0,1)，IfPlDruuiuruuuuuuu即 C.B, = (0,2,0) ，DC, = ( 1,0,1) ，CD = (1,0,1) uuuiruuruuuiruuu由 C1B1 CD = (0,2,0) (1,0,1) = 0 + 0+ 0= 0，得 C1 B1 丄 CD，即 C1B1 丄 CDuuur uuuuuuu uuu由 DC1 CD =

22、( 1,0,1) (1,0,1) = 1 + 0 + 1= 0,得 DC1 丄 CD，即 DC丄CD又DGn CB1= C，. CD!平面BCD.又CD?平面BCD二平面 BCDL平面 BCD(2)存在当AD=¥AA时，二面角 B- CD C的大小为60° .理由如下：uuuuuir设 AD= a,则 D点坐标为(1,0 , a), CD = (1,0 , a), CB, = (0,2,2),设平面BiCD的法向量为mi= (x, y, z),uuur2y+ 2z = 0,x + az= 0,令 z= 1,得 m= (a, 1, - 1).mr CB, = 0 则 uuum

23、r CD = 0uuuuurr| m- CB I 11又 CB = (0,2,0)为平面 CCD的一个法向量，则 cos 60°= uu = . 2=-,im | CB | 寸a + 2 2解得a=,2(负值舍去)，故AD= 2 =.在AA上存在一点D满足题意.建系由条件知AC丄BD>DB AC分别为x, y轴PAL面 ABCD>写出A, B, C, D坐标>空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题.解决的关键环节之一就是建立空间直角坐 标系，因而建立空间直

24、角坐标系问题成为近几年试题新的命题点.一、经典例题领悟好例 1、如图，四棱锥 P- ABCDK PA±底面 ABCD BC= CD= 2, AC= 4,n/ ACB=Z ACD=£, F 为 PC的中点，AF丄 PB3(1)求PA的长；求二面角B- AF- D的正弦值.(1)学审题一一审条件之审视图形PF= CFAF丄 PBuuuruuu设P坐标 > 可得F坐标 > AF PB = 0得P坐标并求 PA长.uuuruuiruuu(2) 学审题由 (1) t AD, AF, AB的坐标向量m ,住分别为平面FAD平面FA啲法向量uuuuuir>n1 AD =

25、 0 且 n1 AF = 0求得 n1 n2t求得夹角余弦.解(1)如图，连接BD交AC于 Q因为BC= CD即厶BCD为等腰三角形，又 AC平分 uuu uuu uuu/ BCD故ACL BD以O为坐标原点，OB, OC , AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的向，n建立空间直角坐标系 O xyz ,贝y OC= CDos = 1.而AC= 4,得 AO- AC OC= 3.又OD=3CDin n=W ,故 A(0, - 3,0) , B(V3 , 0,0) , C(0,1,0) , D-芒,0,0).zuuur因PAL底面ABCD可设R0 , 3 , z) 由F为PC边中点，知F0 , 1

26、, ?.又AF =z uuuuuur0, 2, 2 , PB = ( 3 3, - z) , AFL PB 故 AFuuuz2PB = 0，即 6- = 0, z = 2 '3(舍去-2 ,：3),uuuL所以 I PA | = 2 ,.'3.uuur luuu 厂uuur(2)由知 AD= ( ：33,0) , AB= ( ：3,3,0) , AF= (0,2 , ,：3).设平面FAD的法向量为ni=(xi ,yi ,zi),平面FAB的法向量为圧=(X2 ,y2,Z2),uuuuuir-/3xi + 3yi= 0 ,厂由 ni AD = 0 , ni AF = 0,得：因

27、此可取 ni= (3 , ：3 , - 2).2yi + 护zi= 0 ,uuuruuur>/3x2 + 3y2= 0 ,由 n2 AB = 0 , n2 AF = 0,得故可取 n2= (3 , :3, 2).2y2 + 3z2= 0 ,故二面角B- AF D的正弦值为3.、78ni n2i| ni| | n2|8从而法向量ni , n2的夹角的余弦值为 cosni , n2建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用ACL BD ,若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选

28、择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称BE例2、如图，在空间几何体中，平面ACDL平面ABC AB= BC= CA= DA= DC= BE= 2.与平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC的射影落在/ ABC的平分线上.求证：DE/平面ABC(2)求二面角E- BG A的余弦值.解：证明：(1)易知 ABC ACD都是边长为2的等边三角形,取AC的中点 O 连接BQ DO贝U BOLAC DOLAC ：平面 ACD-平面 ABC DC丄平面ABC作EF丄平面ABC则EF/ DO 根据题意，点 F落在BO上 ,/ EBF= 60

29、° ,易求得EF= DO=_ 3，四边形 DEF促平行四边形， DE/ OF/ DE?平面 ABC OF?平面 ABC - DE/ 平面 ABC 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ,可求得平面 ABC勺一个法向量为 m= (0,0,1).可得 C 1,0,0) , 00,3 , 0) , E(0,3 1,3),则 CCB = (1 ,3 , 0),uiuBE = (0 , -，3)uiuruuur设平面 BCE的法向量为 n2= (x , y , z),则可得 n2 CB = 0 , n2 BE = 0 ,即(x, y , z) (1 ,3 , 0) = 0 , (x ,|n

30、1| | n2|帀.y, z) (0 ,-1,3)=0,可取 n2= ( 3 ,3 , 1).故 cos ni , n2ni ni又由图知，所求二面角的平面角是锐角,故二面角E- BG专题训练1 .如图所示,在多面体 ABCB A B C D中，上、下两个底面 ABCD和ABCDS相平行，且都是形,DD丄底面 ABCD AB/ A Bi, AB= 2A B = 2DD= 2a.(1 )求异面直线AB与DD所成角的余弦值; 已知F是AD的中点，求证： FB丄平面BCCB .解：以D为原点，DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0) , B(

31、2a,2a, 0), C(0,2 a,0) , D (0,0 , a),F(a, 0,0) , B(a, a,a), C(0 , a, a).uuuuuuuuuuuu(1) t AB1 = ( a, a, a) , DD1 = (0,0 , a) , cos AB1uuuu,DD1uuuu uuuurAB1 DD1tWEuuuu| AB1 | I DD1 I所以异面直线AB与DD所成角的余弦值为T-3.3uuunuuu 证明：T BB1 = ( a, a , a), BC = ( 2a, 0,0),uuurFB1 = (0 , a, a),uuur uuuuFB1 BB1 = 0, uuur

32、uuuFB1 BC = 0. FB 丄 BB, FB 丄 BC/ BBQ BC= B,. FB 丄平面 BCCB .2.如图，在三棱柱 ABC A B C中，AAC C是边长为4的形，平面AB= 3, BC= 5.求证：AA丄平面ABC求二面角 Ai- BO B的余弦值;(3)证明：在线段BC上存在点D,使得A丄AB,并求豆的值BC的值解：(1)证明：因为四边形 AACC为形，所以AA丄AC因为平面 ABCL平面AACC,且AA垂直于这两个平面的交线 AC所以AA丄平面ABC 由(1)知AA丄AC AA丄AB 由题知AB= 3, BC= 5, AC= 4，所以AB丄AC如图，以A为原点建立空间

33、直角坐标系A- xyz，则耳0,3,0), A(0,0,4), B(0,3,4),C(4,0,4),uuuuA1B = (0,3 , 4),uuurAG = (4,0,0)设平面AiBC的法向量为n= (x, y, z),uuunn A1B = 0, 则 uuuun A1C1 = 0.即3y4z=0, 4x = 0.令 z = 3,则 x= 0, y= 4，所以 n= (0,4,3)同理可得，平面 BBC的一个法向量为m= (3,4,0)所以 cos n, m=富 16| n| m25'由题知二面角 A- BC- Bi为锐角，所以二面角A- BG B的余弦值为2|.25证明：设D(x,

34、 y, z)是直线BC上一点，且uuu uuuuBD = X BC1 .所以(x, y 3, z)=入(4 , - 3,4) 解得x= 4 入，y= 3 3 入，z = 4 入.uuur所以AD = (4uuu入，3 3入，4入).由ADuuuu-A1B = 0,即卩9 25入=0,解得9X= 2?因为 25c 0,1，所以在线段BC上存在点D,使得 ADL AiB.BD此时，BCC=入925.3.如图(1)，四边形 ABCDh E是 BC的中点，DB= 2, DC= 1, BC= 5, AB= AD= 2.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角 A- BD C为60°，如图(2).求

35、证：AE!平面BDC 求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.解： 证明：取BD的中点F,连接EF,AF,则AF= 1,EF=AFE= 60°由余弦定理知 AE=”2+ 1 2 2X 1X 2cos 60/ AE+ EF= aF,. AEL EF AB= AD F 为 BD中点BDLAF 又 BD= 2,DC= 1,BC= 5,.bD + dC= bC,即BDL CD又E为BC中点,EF/ CD - BDL EF 又 EFA AF= F, BDL平面 AEF 又 BDL AE/ BE EF= F,. AE!平面 BDCA0, 0，C 1,2, 0B1,-2, 0 ,1UUlUuuuD

36、1,-2,0,DB=(2,0,0),DA =设平面ABD勺法向量为n= (x, y,z),uuur2x= 0,n DB =0由uuur得13n DA =0x+y+p：=0 ,以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则11则 y = 3,又取 z =3,11 _i, 2,n= (0， 3,3) 3 UUUT2 , AC =1,2,-i3- cos n,uuurACuuur nAC=uuur =| n| AC |故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为-404如图所示，在矩形 ABCDK AB= 3店,AD= 6, BD是对角线，过点 A作AE! BD垂 足为Q交CD于 E,以AE为折痕将厶ADE向

37、上折起，使点 D到点P的位置，且PB 41.(1)求证：PC!平面ABCE求二面角E- AP B的余弦值.解：(1)证明：由已知得AB= 3 5 , AD= 6, BD= 9.在矩形 ABCD中 , / AE1 BD Rt AOD Rt BADDO ADAD= BD DO= 4， BO= 5.在厶 POB , PB= .41 ,PO= 4 , BO= 5, PO+ BO= PB , PC! OB 又 POL AE, AEH OB= 0, PC!平面 ABCE(2) T BO= 5,. AO= AB OB= 2 5.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则只0,0,4)uuuuuuPA =

38、(25 , 0, 4) , PB = (0,5 , 4).,A(2 . 5 , 0,0)n1 设n1= (x , y , z)为平面APB的法向量.则n1 uuuPA = 0 , uuuPB = 0 ,即 2,5x-4z= 0,5y 4z = 0.取x = 2 5得ni = (2 5 , 4,5).又 压=(0,1,0)为平面AEP的一个法向量,461 cos n1 , n2 > = 一，In 1| 1 n2| 诟x 161故二面角E- AP B的余弦值为*卩.ni n25.如图，在四棱锥 P- ABCD ,侧面 PADL底面 ABCD侧棱 PA= PD= 2 , PAL PD面ABC助

39、直角梯形，其中 BC/ AD ABL AD，AB= BC= 1, O为AD中点.(1) 求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2) 求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q使得二面角Q AG D的余弦值为 罟?若存在，求出QD勺值；若不存在，请说明理由.解： 在厶PAD中, PA= PD O为AD中点，所以 POL AD又侧面PADL底面 ABCD 平面PAD平面 ABC住AD PC?平面PAD所以PCL平面 ABCD又在直角梯形 ABCD ,连接 CC易得CCL AD所以以C为坐标原点，CC CD CP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系，则R0,0,1), A

40、(0，- 1,0),耳1 , - 1,0),qi,o,o), D(0,1,0),uuuuuu PB = (1 , - 1, - 1)，易证 CAL平面 PCC- CA = (0，- 1,0)是平面 PCC勺法向量， uuu uuucos PB , CCA PBn 毎 =3. 直线PB与平面PCC所成角的余弦值为-T6.| PB | CA |33uuuuuu(2) PD = (0,1 , 1) , CP = ( 1,0,1).设平面 PDC勺一个法向量为 u= (x, y, z),uuuu CP =- x+ z = 0,则 uuu取z = 1,得u= (1,1,1). B点到平面 PCD的距离为

41、d =uuurm= (x, y, z)，又 AC = (1,1,0) , AQ= (0 ,入 + 1,1 一入),u PD = y z = 0,uuu| BP u| 亞1 u|= 3 .uuu X PD(0< X <1)uuu-PD = (0,1 ,1),(3)假设存在一点Quuur则设PQ =uuuuuuuuuuuu- PQ = (0 , X，X ) = CQ CP ,- CQ = (0 ,X , 1 X), Q0 , X , 1 X )设平面CAQ勺一个法向量为uuurAC = x+ y = 0,则 uuur取 z= X +1,得 (1 入，入1,入 +AQ = X + 1y+

42、1 入 z = 0.1),又平面CAD勺一个法向量为n = (0,0,1)，二面角Q AG D的余弦值为 ,3所以|cosm n1 =晋晋=于，得3 X- 10X + 3= 0,解得X= 2或入=3(舍),PQ 1SA!底面ABCD AB垂直所以存在点Q且QD= 2.6如图，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCD!直角梯形，侧棱于 AD和 BC SA= AB= BC= 2, AD= 1. M是棱 SB的中点.求证：AM/平面SCD求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值;设点N是直线CD上的动点，MNf平面SAB所成的角为B,求sine的最大值.解：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

43、贝UA(0,0,0) , B(0,2,0),Q2,2,0), D(1,0,0),uuuuuuuuuuS(0,0,2) , M0,1,1) 所以 AM = (0,1,1) , SD = (1,0 , - 2) , CD = ( 1, - 2,0).uuuSD n=0,x-2z 0,则uuu即令z 1，贝U x 2, y1,CD n=0,x 2y 0.uuuuuuuu于疋 n (2 , 1,1). AM n 0, AM丄n.又AM平面SCD>c AM/平面 SCDA设平面SCD的法向量是n= (x, y, z),(2)易知平面SAB勺一个法向量为 m = (1,0,0).设平面SCD与平面S

44、AB所成的二面角为n 1 n1, 0, 02, - 1, 12 缶则|cos 0 I = |m| |n| =1= 1匚6 =_3，即 cos03 '平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为uuuu 设 Nx, 2x 2,0)( x 1,2)，贝y MN = (x, 2x- 3,- 1).又平面SAB的一个法向量为 n1 = (1,0,0),sin ex, 2x- 3,- 11, 0, 0：'x2+2x-3 2+-12 1x5x2 - 12x+ 10当x= 5，即 x= 3时，(sin7、如图，四边形 ABEF和四边形 ABC%是直角梯形，/ FAB=Z DAB= 90

45、6;, AF= AB=BC= 2, AD= 1, FALCD(1)证明：在平面 BCE上，一定存在过点 C的直线I与直线DF平行;求二面角F- CD A的余弦值.ti解：证明：由已知得,BE/ AF BC/ AD BEn BC= B, AM AF= A,平面BCE/平面 ADF设平面 DF(n平面BCE= l，则I过点C平面BCE/平面 ADF平面DFCH平面BCE= I ,平面DFCH平面 ADF= DF DF/ I，即在平面 BCE上一定存在过点 C的直线I，使得DF/ I ./ FAX AB FAL CD AB与 CD相交， FAL平面 ABCD故以A为原点，AD AB AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.UULTUULT DF - ( 1,0,2) , DC - (1,2,0).知得，C(1,0,0) , q2,2,0) , F(0,0,2),设平面DFC的一个法向量为 n- (x ,uuirDF - 0 ,UULT dC = 0y, z),x = 2z ,x =-2y,不妨设z= 1.则 n= (2 , - 1,1)，不妨设平面ABC啲一个法向量为 m (0,0,1).cosm n>-而帀=_-m- n16 ,十宀宀i-,由于二面角F- C