上海市虹口区2016届高三数学三模试卷理(含解析)

1、2016 年上海市虹口区高考数学三模试卷(理科)yn+1)的一个变换，我们把它称为点变换.已知P1(1, 0), P2(X2, y2), P3经过点变换得到的一组无穷点列，设an=y .+ .4 -则满足不等式一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分1.设集合 M=x| _ 0,3_X2.在 ABC 中，tanA=-42i3.已知复数z=hr(iN=x|2x 1 ，贝UMA N=贝Vsin2A=为虚数单位)，表示 z 的共轭复数，则 z?4.若等比数列an的公比 q 满足|q| 22016 的最小正

2、整数 n 的值为3(1 )求 a, b 的值及 f(x)的解析式;(2 )设 g (x)=，若不等式 g (3x) - t?3x 0 在 x 0 , 2上有解，求实数 t 的取值x范围.21.如图，在直四棱柱 ABCD- ABQD 中，底面 ABCD 为菱形，AC=4 BD=2,且侧棱 AA=3.其 中 O 为AQ 与 BD 的交点.二、选择题(本大题共 4 题，满分 20 分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5 分，否则一律零分15.关于三个不同平面a,3, 丫与直线 I，下列命题中的假命题是()A.若a丄3，则a内一定存在直线平行于3B.

3、若a与3不垂直，则a内一定不存在直线垂直于3C. 若a丄 丫，3丄Y, a A 3=l，则 I 丄丫D.若a丄3，则a内所有直线垂直于3=3,则实数 a 等于()A- 1 B. 1C. 2D.17. 在锐角厶 ABC 中，B=60 ,A. ( 0, 12) B .-, 12)44丨：；-|=2，则：的取值范围为(C. (0, 4D. ( 0, 218.在平面直角坐标系中，定义两点P (X1, y1) 与 Q(X2, y2)之间的直角距离”为: (P, Q) *1已知 P (1,2已知 P, Q用|PQ|表示-X2|+|y1- y2| .现给出2), Q(cos0, sin0) (0 R),则

4、d R三点不共线，则必有d (P,Q) +d(Q, P,Q 两点之间的距离，则|PQ|警 d( P,Q)；(P, Q)为定值；R) d ( P, R);22 0)在区间-1, 3上的最大值为 5,最小值为19.已知函数 f( x)=JT9 It.的图象过点7-：和点 一.-.丄zJ的图(x)4(1) 求点 B 到平面 DAC 的距离；(2) 在线段 BO 上，是否存在一个点 P,使得直线 AP 与 CD 垂直？若存在，求出线段 BP 的长；若不存在，请说明理由.2 2 2,222设椭圆 C: 土 +务=1(ab0),定义椭圆 C 的“相关圆” E 为：x2+y2_乡口若 a2b2a2+ b2抛

5、物线 y2=4x 的焦点与椭圆 C 的右焦点重合，且椭圆 C 的短轴长与焦距相等.(1) 求椭圆 C 及其“相关圆” E 的方程；(2) 过“相关圆” E 上任意一点 P 作其切线 I，若 I 与椭圆 C 交于A B两点，求证：/ AOB为定值(O 为坐标原点)；(3) 在(2)的条件下，求 OAE 面积的取值范围.23.若数列 An： ai, a2,，an(n N , n2)满足 ai=0, |ak+i- ak|=1 ( k=1, 2，n 1),则称A为 L 数列.记 S (An) =ai+a2+an.(1 )若A为 L 数列，且 a5=0，试写出 S (A)的所有可能值；(2 )若A为 L

6、 数列，且 an=0，求 S (An)的最大值；(3) 对任意给定的正整数 n (n 2),是否存在 L 数列 A,使得 S (A) =0?若存在，写出满足条件的一个 L 数列 An；若不存在，请说明理由.52016 年上海市虹口区高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分1+工1.设集合 M=x| 一 0 , N=x|2x 1，贝 U MA N= 0 , 3).3_x-交集及其运算.分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出M 与 N,找出两集合的交集即可.

7、解：由 M 中不等式变形得：(x 3) (x+1)w0，且 3 x丰0,K xv3，即 M= 1, 3),2x 1=20,即 x 0,c xJc【考点】【分析】【解答】解得：-由 N 中不等式变形得:N=0,+8),则 MnN=0 , 3), 故答案为：0 , 3).22.在 ABC 中，tanA=，贝 U sin2A=4三角函数中的恒等变换应用.【考点】【分析】由题意得 A 为钝角，且 sinA=sin2A .【解答】解： ABC 中,3tanA=,434 sinA=, cosA=求55 sin 2A=2s in AcosA= 2i3.已知复数 z=”詁：:;(i 为虚数单位)，表示 z 复

8、数代数形式的乘除运算.的共轭复数，则 z? = 1【考点】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z,再由【解答】2!2i解：z=TT=(i+V5i)(i-V5i厂42V5+2i V3 , 1 z?=二)2+(*)S故答案为：1 .4.若等比数列an的公比 q 满足 |q|v1，且 a2a4=4, a3+a4=3,贝U(a1+a?+aj = 16【考点】等比数列的通项公式.67【分析】由等比数列通项公式列出方程组， 求出首项和公比，由此能求出【解答】 解：等比数列an的公比 q 满足|q| 1, 且 a2a4=4, a3+a4=3,(3引q二4由|q| 1,解得：灯-,-X2tx则;(a1+a2

9、+an)故答案为：16.8(1-丄)2n=r I.竝TOO丄=16.5.若函数 f (x) = (x - a) |x| (a R)存在反函数f-1(x)，则 f(1) +f-1(- 4) =- 1【考点】反函数.【分析】根据 f(x)存在反函数 f-1(x)，得出 f (X)是定义域上的单调函数，求出 a 的值 以及 f ( x)的解析式，即可求出 f (1) +f-1(- 4)的值.【解答】解：T函数 f (x) = (x - a) |x|= “ 三一x +axTx0 时，不符合条件， a v 0,且厶 0 a :山，-芯门故答案为：(-R,-2一)14在平面直角坐标系中， 定义 nr：,

10、丁 为点 R( xn, yn)到点R+1( xn+1,如二 5%yn+1)的一个变换,我们把它称为点变换已知P1( 1 ,0),P2( X2, y2), P3( X3,加,是经过点变换得到的一组无穷点列，设 an=dFLFF/,则满足不等式 +32+an 2016 的最小正整数 n的值为 11【考点】进行简单的合情推理.【分析】根据条件即可求得点 P1, F2到 P7的坐标，从而可以求出向量：-，：,:.I的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a=1 , a2=2 , a3=4 , a4=8 , a5=16 ,从而便可看出数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，从而可求出前 n 项和

11、为 2n- 1,从而可以得到 2n 2017 ,这样便可判断出最小正整数n 的值.【解答】 解：由条件得，P1(1, 0) , P2(1 , 1) ,P3(0 , 2) ,P4(- 2 , 2),P5(- 4 , 0),P6(- 4, - 4), P7(0, - 8)；-aE；”/广(0 , 1) ? (- 1 , 1) =1, a2-?匕= (- 1, 1) ? (- 2 , 0) =2a3=一： ：？；：1=( -2,0)?(-2,-2)=4,a4=：j；f?-=(-2,-2)?(0,-4)=8 ,a5=.d?W=(0, -4)?(4, -4)=16,数列an是首项为 1,公比为 2 的等

12、比数列； a1+a?+an= =2n- 1 ,1-2由 a1+a2+an 2016 得,2n- 1 2016; 2n 2017;10 11/ 2 =1024 , 2 =2048 ,满足 a1+a2+an 2016 的最小正整数 n=11,故答案为：11.15二、选择题(本大题共 4 题，满分 20 分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5 分，否则一律零分15.关于三个不同平面a,3, 丫与直线 I ,下列命题中的假命题是()A.若a丄3,则a内一定存在直线平行于3B.若a与B不垂直，则a内一定不存在直线垂直于3C. 若a丄 丫，3丄Y, a

13、A 3=l，则 I 丄丫D. 若a丄3，则a内所有直线垂直于3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明.【解答】 解：对于 A 假设a A 3=a,则a内所有平行于 a 的直线都平行3，故 A 正确； 对于 B,假设a内存在直线 a 垂直于3,则a丄3,与题设矛盾， 故假设错误， 故 B 正确; 对于 C,设aAY=c,3AY=d,在丫内任取一点 P,作PML c于点 M, PN 丄 d 于点 N, 则 PM 丄a, PN 丄3,且 PM PN 不可能共线.又 I ?a ,I ?3 , PM! I , PIN! I .又 PMAPN=P P

14、M?Y, PN?Y,I 丄丫 .故 C 正确.I)对于 D,假设a A 3=a,则a内所有平行于 a 的直线都平行3,故 D 错误.16.若函数 y=f (x)的图象与函数 y=3x+a的图象关于直线 y= - x 对称，且 f (- 1) +f (- 3)-3,则实数 a 等于()D. 4A.- 1B. 1C. 2【考点】 反函数.【分析】 设(x, y)为函数y=f (x)的图象上的一点，则关于直线y= x 对称的点为(y,-x).代入函数 y=3x+a可得：f(x) =a-log3(- x).即可得出.Jff 1 -【解答】 解：设(x, y)为函数 y=f (X)的图象上的一点，则关于

15、直线y= - x 对称的点为(-y,-x).代入函数 y=3x+a可得：-x=3-y+a，- y+a=log3(- x),即 f(x) =a- Iog3(- x).f (- 1) +f (- 3) =3,. a - 0+a - log33=3，解得 a=2. 故选：C.17.在锐角厶 ABC 中，B=60 ,| ：；-|=2，则：；？的取值范围为()A. (0, 12) B .-十 12) C. (0, 4D. (0, 2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】以 B 为原点，BA 所在直线为 x 轴建立坐标系，得到 C 的坐标，找出三角形为锐角 三角形的16A 的位置，得到所求范围.【解答】

16、解：以 B 为原点，BA 所在直线为 x 轴建立坐标系， B=60, p-】-,|=|1=2 ,-C(1, Vs),设 A (x, 0)17ABC 是锐角三角形， A+C=120 , 30vAv90,即 A 在如图的线段 DE 上(不与 D, E 重合),1vxv4,则沽-M=x2 X= (X - . )2-金的范围为(0, 12). 故选：A.J_ _ La_ |_7 .-1B Dl2 A3E4 x18.在平面直角坐标系中，定义两点P(xi, yi)与 Q (X2, y2)之间的直角距离”为：d(P, Q) =|xi- X2|+|yi- y2| .现给出下列 4 个命题：1已知 P (1,

17、2), Q( cos20, si n2B) (0 R),则 d (P, Q)为定值；2已知P, Q R三点不共线， 则必有 d (P, Q) +d (Q,R) d (P, R);3用|PQ|表示 P, Q 两点之间的距离，则|PQ|2 24若 P, Q 是椭圆 一 - =1 上的任意两点，贝Ud (P, Q)的最大值为 6.54则下列判断正确的为()A.命题，均为真命题 B .命题，均为假命题C.命题，均为假命题 D .命题，均为真命题【考点】进行简单的合情推理.【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可._ 2 2 2【解答】解：已知 P

18、( 1, 2), Q( cos0, sin0) (0 R,则 d (P, Q) =|1 - cos0|+|2 -sin0|=sin0+2 - sin0=2 为定值；故正确，2已知 P, Q R 三点不共线，设 P (1, 0) , Q( 0 , 0), R( 0 , 1),则 d ( P , Q =|xP-xd+|yP-yo|=1 ,d (Q, R) =|xQ-XR|+Q-yR|=1 .d (P ,R)=|XP-XR|+|yP-yR|=1+1=2 ,此时 d(P, Q) +d (Q,R) =d (P , R);18 d ( P , Q +d (Q, R) d (P , R)不成立，故错误，19

19、3若|PQ|表示P、Q 两点间的距离，那么|PQFJ 匕|匸.,严 4P, Q)=|xix2|+|yi- y2|,2 2 2/2 (a+b)( a+b),十I尹-厂|x 1 - X2l+|y1 -y2|，即：|PQ| d ( P, Q),2 24若 P, Q 是=1 上的任意两点，d ( P, Q)的最大，设 P ( cosa, 2sina), Q(-54塔cosa , -2sina );贝Ud(P, G)=|x1-X2|+|y1-y2|=2(Jgeosa+2sina )=6sin( a+0 ),则 d ( P, Q的最大值为 6;故正确，I 1故选：D 三、解答题(本大题共 5 题，满分 7

20、4 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.象；已知点 P (0, 5),若函数 y=g (x)的图象上存在点 Q 使得|PQ|=3，求函数 y=g (x) 图象的对称中心.【考点】函数 y=Asin(3x+ $)的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图 象.【分析】(1)利用条件求得 m n 的值，可得函数的解析式，从而求得它的最值.(2)根据 g(x)的解析式，点Q( 0,2)在 y=g(x)的图象上，求得$的值，再利用正 弦函数的图象的对称性，得出结论./ /I *【解答】 解：(1)易知 f (x) =msin2x -TT兀 lrosin-r-一ncos=V

21、3?，解得亍 4兀4兀乃- nc os- 2:工1._:二 x-_ 2_ In 二:一.故函数 f(x)的最大值为 2,最小值为-2.则|PQ| d ( P, Q)=d ( P, Q),故正确,2m cos2i:n sin2i(1)求函数 f (x)的最大值与最小值；(2)将函数 y=f (x)的图象向左平移 $ (0V$v n)19.已知函数 f(x)=的图象过点 I 厶.和点-312个单位后，得到函数y=g (x)的图ncos2x，则由它的图象过点可得;(2 )由(1)可知:r 二丄 d；.20Ov? n ,故： ：0)在区间-1, 3上的最大值为 5,最小值为 1.(1 )求 a, b

22、的值及 f(x)的解析式；(2 )设 g (x)=匚，若不等式 g (3x) - t?3x 0 在 x 0 , 2上有解，求实数 t 的取值x范围.【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)解关于 a, b 的方程组，求出 a, b 的值从而求出函数的解析式即可；=x2- 2x+2 (2)由(1)可得 g (x) =x+- 2,XX于是题设条件得 3x+ .一- 2 - t?3x 0 在 x0 , 2上有解，3即t2J-2、：+1=2+在x0,2上有解， 令=u . , 1，: x 0 , 2,1 2 1 1则 t 0)及条件，可得 *f (3) =3a+b=5f(l)

23、=b-,b=2.故 f(x)解得 a=1:一：.由21【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(1)用向量法，找出平面上一点Di 与此点 Bi 相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离.(2)由题意设： - I ，可求 I-.的坐标，若忑.三亍可得厂?E 玩=0,解得 入的值，即可得解.【解答】(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，每小题.解：(1)由于菱形的对角线互相垂直平分，故以 AC 与 BD 的交点 O 为原点，以射线 OA OB OO 分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标 系.由已知条件，相关点的坐标为A

24、 (2,0, 0), B (0, 1 , 0), C (- 2 , 0 , 0) , O ( 0 ,0 ,3),B (0 , 1, 3) , D (0, - 1, 3).*设平面 DAC 的法向量为二-4x=0- 二n-ADj=-2K- y+3z=0事T.因-.-：!. UIF * f f故点 B 到平面 DAC 的距离为(2)设：l- - - i , 则由=二，；u. - I. 得 /!- _：.由 一 i” I；,丄 1-ZAXn* AC=令 z=1,则：! 0,即为 1+2k2m.4kmQ_ Q设 A (Xi, yi), B (X2, y2),贝UXi+X2_ - , XiX2_- ,1

25、+2/l+2k2 2可得 y$2_( kxi+m) ( kx2+m)_k2XiX2+k(X1+X2)+mf_k2?- +kn(l+2k2由1与圆x2+y2=相切，可得d.-，化为命心o_2 _ n _ 9.2则，：$?: _xiX2+yiy2_0,即/ AOB_90 .l+2k2” 口 ：仁，当且仅当 4k2_，即 k_ :时，丨二：丨、二 dKN因此SAOAB的取值范围为.23.若数列 An： ai, a2,an(n N , n2)满足 ai_0 , |ak+i- ak|_i ( k_i , 2,n- i), 则称A为 L 数列.记 S (An) _ai+a2+an.(i )若A为 L 数列，且 a5_0，试写出 S(A)的所有可能值；(2 )若A为 L 数列，且 an_0 ,求 S (An)的最大值；l+2kl+2k2综上所述/ AOB=90 为定值;(3)由于-应I 卡雹丨，求SAOAB的取值范围，只需求出弦长 |AB|的取值范围. 当直线 I 的斜率不存在时，可得|AB|_ -, SAAO3当直线 I 的斜率存在时，|AB|_？.；g 2),是否存在 L 数列 A,使得 S (An) =0?若存在，写出满足条件的一个 L 数列 A;若不存在，请说明理由.【考点】数列的应用.【分析】(I)根据题意，ai=a5=