生活中的优化问题举例

1、§ 1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标:1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学过程： 一创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们 利用导数，解决一些生活中的优化问题.二新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以 下几个方面：1、与几何有关的最值问题

2、；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数 关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立 适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个 过程中，导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路：三.典例分析例1 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如 何设计海

3、报的尺寸，才能使四周空心面积最小？128解：设版心的咼为 xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为x128S(x) (x 4)(2) 128x求导数，得512S (x)2 厂。x512令S (x)2 厂 0,解得x十口宀丄128128于是宽为x 16x 16(x8,x0。16舍去)。)时，S (x) >0.16dm，宽为当 x (0,16)时，S'(x)<0 ；当 x (16,因此，x 16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

4、(1) 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是430.820.83r2几r 6y f r0.2 -rrr ,033令fr 0.8(r22r)0解得r 2 ( r0舍去)当r0, 2 时,fr0

5、；当r2, 6 时，fr 0 当半径r 2时,fr0匕表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r 2时，fr0匕表示f r单调递减,即半径越大，禾U润越低(1)半径为2cm时，利润最小，这时 f 20,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.(2)半径为6 cm时，利润最大.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当r 3时，f 3 0，即瓶子的半径为 3cm 时，饮料的利润与饮料瓶 的成本恰好相等；当r 3时，利润才为正值.当r 0, 2时，f r 0 , f r为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利

6、润越小，半径为2cm时，禾U润最小.例3 .磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit )。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得 小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为 R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域.(1) 是不是r越小，磁盘的存储量越大

7、？(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？ 解：由题意知：存储量 =磁道数x每磁道的比特数。设存储区的半径介于 r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最外面的磁道R r不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大m。所以，磁盘总存储存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达(1)它是一个关于r的二次函数, 储量越大.(2)为求R r 2 r 2 f (r)xr(Rm n mn从函数解析式上可以判断，不是r)r越小，磁盘的存因此(r)f (r)的最大值，计算乙R mnR2f (r)解得rf (r) 0.2rR时2时，

8、Rr -时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为f (r)0 ；当rRR 时，f(r) 0.R2mn 4例4 .汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量 w (单位：L)与汽车的速度v (单位：km/h )之间有- 定的关系，汽油的消耗量 w是汽车速度v的函数.根据你的生活经验，思考下面两个问题:(1 )是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？(2) “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率(单位：L/m )就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G ,其中，w表示汽油消耗量（单s位：L）, s表示汽油行驶的路程 （单位：km ）

9、这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”， 就是求G的最小值的问题.通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中， 汽油平均消耗率 g （即每小时的汽油消耗量，单位： L/h ）与汽车行驶的平均速度 v （单 位：km/h ）之间有如图所示的函数关系g f v .从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们首先需要将问题转化为汽 油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位： L/h ）与汽车行驶的平均速度 v （单位： km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题.w解：因为 G W上 g s S vt这样，问题就转化为求 g

10、的最小值从图象上看，g表示经过原点与曲线上点的直线的vv斜率进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为90 km/h .因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小， 此时的车速约为90 km/h 从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即f 90 ,约为L.例5 .在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少?X(0 x 60).V (x)60x3x2(0 x 60)令 V (x)60x“，解得 x=0 （舍去），x=40

11、,并求得 V(40)=16 000由题意可知是最大值.答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2 x)cm，则得箱子容积V(x) (60 2x) x (0 x 30).(后面同解法 一，略)由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小， 所以最大值出现在极值点处.当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 00016 000cm 32事实上，可导函数V(x) x2h60x2 x3260-2x-X都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最 值点，不必考虑端点的函数值 .例6 .圆柱形金属饮

12、料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用 的材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为R,则表面积S=2 冗 Rh+2 ttR2由V=冗R2h，得hVR2，VS(R)= 2 ttR7+ 2R2令 s (R)辺2 +4R2TtR2 =ttR=02V +2 冗 R2R解得，R=,从而h=2即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？2提示：S=2 Rh + 2 R2S 2 R2 h =2 RV(R)= SR2= -(S 2 R2)R -SR R

13、32 R222 2 2V'(R)=O S6R 6 R 2 Rh 2 R h 2R.例6 .在经济学中，生产 x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x) - C(x)称为利润函数，记为 P(x)。(1 )、如果C(x) = 10 6x30.003x2 5x 1000，那么生产多少单位产品时，边际C (x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)(2 )、如果C(x)=50x + 10000，产品的单价 P = 100 0.01x，那么怎样定价，可使 利润最大？变式：已知某商品生产成本 C与产量q的函数关系式为 C=

14、100+4 q，价格p与产量1q的函数关系式为 p 25 -q 求产量q为何值时，利润 L最大？8分析：利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.11 2解：收入Rq p q 25 q825q q ,8利润L R12C 25q -q812(100 4q)-q221q 100 (0 q 100)8L丄q214令L 0，即210,求得唯一的极值点 q 84 +4答：产量为84时，利润L最大一例7 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD的面积为定值S时，使得湿周时的高h和下底边长b.解：由梯形面积

15、公式，得2込AD=h + b,3hcos30CD=由得b=S h1 3S=(AD+ BC)h,其中 AD=2 DE+ BC, DE=h,BC=b2 32 3、3-h 2b)h ( h b)h331.S=(222- h ,AB= CD. .= 厂 h x2+ b -.3.334.3h,代入Jl=33VStVS斗h2"=需，当 h<VS时，vs2V3 1-h= 4时，l取最小值，此时 b=S4 331'= 32=0,S -3 uhh 3g 3 时,l'>0.匸AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此例8 .已知矩形的两个顶点位于 x轴上，另两个顶

16、点位于抛物线 y = 4 x2在x轴上方 的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长.【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x >0 , y >0 ,则另一个在抛物线上的顶点为（一 x, y）,在x轴上的两个顶点为（一 x, 0 ）、（ x, 0）,其中0 v xv 2 .设矩形的面积为 S,贝U S = 2 x （4 x2）, 0 v xv 2 .2由 S'（x）= 8 6 x2= 0,得 x= :3，易知34x =是S在（0, 2）上的极值点，3即是最大值点，2 a所以这种矩形中面积最大者的边长为一-/ 3和3 3【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题

17、意所给的变量制约条件应用题的分析中 如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值.练习：1 : 一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费 40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店 分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少?【解】假设每次进书 x千册，手续费与库存费之和为 y元,由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即-，故有2y = 150 X30 + x X40 ,x2y =45002x+ 20 ,f(15) > 0,令 y = 0 ,得 x= 15，且 y"=,x所以当x=

18、 15时，y取得极小值，且极小值唯一,故 当x= 15时，y取得最小值，此时进货次数为空 =10 （次）.15即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少.2 :有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲 城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为 每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足 B点之间的距离为x千米，总费用为y元,则 CD = x2 402 .y = 500 (50 x)+ 700 x21600=25000 500 x + 700、x 1600 ,y'= 500 + 700(x2 + 1600)2 - X2.x21600令y '=0，解得x=50. 6答：水厂距甲距离为350 竺卫千米时，总费用最省.【点评】当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x