二元一次方程组的解法代入消元法稿

1、1 / 7 5.4 二元一次方程组的解法（1）代入消元法 上海市实验学校陈皤1课时 【教案内容】 上海市实验学校校本教材代数一下册 P18-P24 【教案目标】 1 理解代入消元法的目的一一减少未知数个数，使得二元一次方程转化为 一元一次方程；理解并掌握二元一次方程组的解法代入消元法的一般步 骤，能够准确地解二元一次方程，初步掌握整体代入消元的方法. 2. 在探究代入消元法的过程中，培养学生的化归意识一一将二元一次方程 转化为一元一次方程，有意识地将未知问题转化为已知问题来解决. 【教案重点及难点】 1. 重点：理解并掌握二元一次方程组的解法一一代入消元法的一般步骤， 能够准确地解二元一次方程

2、组. 2. 难点：化归思想的运用，初步掌握整体代入消元的方法. 【教案流程】 提出冋题，探索新知理解新知尸掌握方法掌握新知，应用方法. 【教案过程】 一、提出问题，探究解法 问题对于上节课中的二元一次方程组 10 x 5y =50,日 2x y =10, （1） 即卩 y-x=4; y-x=4; （2） 我们采用了先列举各解再取公共解的方法得到了这个二元一次方程组的 解.有何简单的方法？ 数学上，我们有一种常用的探究新知识的思想一一“化归”一一把陌 生的问题转化为熟悉的问题。我们现在还没有系统的二元一次方程组的解 法（陌生的），而我们已经有了一元一次方程的解法（熟悉的），所以只 要将二元一次方

3、程组转化为一元一次方程即可。现在的问题是如何把二元 一次方程组转化为一元一次方程？ 分析这两个方程都是二元一次方程，是一类不定方程，解是不能唯一确定 的.但是y能用x来表示；x也能用y表示。例如，由方程（2 ）可以得到 fx x 4 （3），即满足（3）的 就是方程（2）的解。由于方程组的解是两 l. y 个方程的公共解，所以，我们能把由（3）得到的 y = x，4 代入方程（1），这 时方程（1）就转化为一个关于x的一元一次方程。一元一次方程的解是能够唯 一确定的，再把解得的x代入（3）,就能得到关于y的一元一次方程，也就能 2 / 7 解得y的值 二、理解新知，掌握方法 例 1 2x10，

4、 （ y*4. （2） 解由（2）得，y =x 4 （3）, 将（3）代入（1）得，2x x 4 =10 , 解得，x =2， 代入（3）得，y = 2 4， 解得 y =6 x _ 2 经检验，原方程组的解是 2， ly = 6. 点睛像这种解二元一次方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 思考1在例1可以将方程（1）转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式 吗？ 答可以，但是比较复杂，所以，在解二元一次方程组时，一般我们选择一个比 较简单的方程（例如有一个未知数的系数是_1或者常数项是0的方程）,将这个 方程中的一个（有简单系数）未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 思考2上题中，

5、是否一定要将（3）代入（1），能不能代入（2）?请说明理 由. 答如果代入（2），则得到y，4 -y=4，即4=4，这是一个恒等式，我们都 知道，恒等式中的字母可以取取值范围内的任意值这对我们解方程组是没有 帮助的事实上，（2）和（3）是同解方程，这两个方程可以视为同一个方 程，而任何一个二元一次方程有无穷多个解. 点睛由方程（1）得到的式子一定要代入方程（2）;由方程（1）得到的式子一 定要代入方程（2）. 1 x = 2， 1 y = 6, 1. 原方程组的解是 不要写成y ly=6, （x =2. 2. 解题步骤的说明需将中文对齐. 小试牛刀用代入消元法解下列方程:3 / 7 卩卩- -

6、2八八2， 3x 5y = 28; 解由（1）得 X =2y 2 （3）, 将（3）代入（2）,得 3 2y 2 5y =28 . 解上述方程，得 y = 2 , 将 y = 2 代入（3）, 得 x=2 2 2 , 解得x =6 . 经检验，原方程组的解是 X=6， ly=2. 丄4x - y = 5, 3x2y=12; 解由（1）得，y =4x-5（3）, 代入（2）得，3x-2 4x-5 =12, 解得，x - - 2 , 5 代入（3）得，y=4 2 I5 , I 5丿 解得, x 3 =5 2 -y , , （3） 3 2x -1 -5 3y 1 2. . 分析先将原方程组转化为一般

7、形式，再按照 解先将原方程组转化为一般形式，得 由（1）得 x =75y （3）. 将（3）代入（2）得2 75y 5y=2 . 4 解得 y = 4 . 5 4 将 y =-代入（3）得x = 3 . 5 33 经检验，所以原方程组的解是 般过程求解. （1） （2） X 5y =7, 2x -5y =2. 2 5 33 5 4 / 7 x = 3， 经检验， 4是原方程组的解. 厂 5 点睛在解二元一次方程组（3）之前，先要将其整理为的二元一次方程组的一 般形式 a/ 0 y = G， 彳 ； a2x b2y 二 c2 小结二元一次方程组解法的一般步骤： 1. 将二元一次方程组化为二元一次

8、方程组的一般形式： f a-j x 0 y = &， a? x b2 y = C2 2. 从方程组中选择一种比较简单的方程（不妨记为方程（1）（例 如未知数的系数是-1或者常数项是0的方程）,将这个方程中的一个未知 数用含有另一个未知数的代数式表示出来，比如 X二心； a1 3. 用这个代数式代替另一个方程中（记为方程（2）相应的未知数 x，从而消去前一个未知数 x，得到只含有另一个未知数 y的一元一次 方程，求出未知数y的值（如果能求出）； 4. 把求得的另一个未知数 y代入原来的两个二元一次方程（一般代 入方程（1）或者x = CLb ）中，求出前一个未知数x的值； a1 f x

9、= 5. 检验后，把求出的两个未知数的值写成“ ”的形式，就是原 ly = 方程的解.5 / 7 三、掌握新知，应用方法 例2用代入消元法解下列二元一次方程组: 0.3s = 0.2t， s = 1， 0.2s 0.6t =1.1; t=1.5; 点睛 可以采用整体代入进行消元. 分析这两个问题都能够用例1中的方法来解决.但是事实上，我们可以采用整 体代入来达到“消元“的目的.0.6t=3 0.2t 2m - 3 n=2 . 7 (1H0.3S=0.2t， 0.2s 0.6t =1.1; 解把（1）代入（2），得 0.2s 3 0.3s =1.1. 解得s = 1 . 把s=1代入（1），得t

10、 =1.5 s - 1 所以，原方程组的解 ， j =1.5. 解由方程（2）得，2m-3n=2 （3）， 把方程（3）代入（1），得今5 - 2n =13， 解得n =6， 把n =6代入（3）得m =10 . 所以原方程组的解为 m=10 |n=6. （1）用X的代数式表示y ; 用y的代数式表示x. 分析这个方程组表面上看是一个三元一次方程组，我们不能确定注意 0.6t =3 0.2t . 2m -3n 5 7 2m -3n -2 2n -13, , m = 10, =0. n 注意 2m -3n = 2 . (1) (2) 2m -3n 5 7 I 2n =13, , 2m - 3n

11、-2=0. (1) x与y的值用 6 / 7 代入法消去t，就能求得x与y之间的关系. 解由题意得 2, , 3y =2t -1. (1) (2) 由（1）, 代入（2） 得 t x 2 得 t ： 3 得 3y 2 x 2 2 3y = 2 解得, 2x 2 y = 6 一 9 7 / 7 反过来，由（2），得t = 3y? i， 代入（1），得 X=3 瞥-2， 注意解决了用x表示y后，可以直接从 y 小试牛刀用代入法消求下列方程中x与y的关系: (1)八3 t，y=3 2x 或者 x 崇 3 . t =2x; 2 四、小结提高 1. 这堂课你学会了什么？ 通过消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，从而得到方程的解，消元的 方法是代入消元，有时候