高中数学专题讲义-三角恒等变换

1、板块三.三角恒等变换典例分析题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】cos79 ° cos34o sin79 osin34 °【例2】【例3】【例4】【例5】【例6】已知cosA二10(一，2210cos(一4在平面直角坐标系中,| AB |的值是若sin已知已知两点sincoscososin(30A上10sin15o cos15o60o3 4.310C 10(cos80, sin80o)1一，贝U cos(232150°,则 cos 4 33C 10D匕10B (cos20o, sin20o),则4 3310222）0 ,则sin的值是（51725【例7

2、1若，为锐角，且满足cos , cos（5C工25【例8】已知sinA第一象限角C第三象限角（ , 一），（一 , 2 ），则22B第二象限角D第四象限角【例9】,rcc r已知向重 a (cos75 , sin 75 ) , b r - . r r (cos15 , sin15 ),那么 |a b| 的值为(【例13 已知tan（1B £ C V D 1【例 10 已知3,则(1 tan )(1 tan )()4A 2B 2 C 1D 1【例 11】sin1630sin2230 sin 2530sin3130(A 1 B 1C y【例12】已知1 tan 4 而，则tan()(1

3、tan413181322322【例14】已知sincos(0),贝 1 sin cos ()2C 45 D 4 .5A 45B 3C3D1【例15】在VABC中，sin A cosA的取值范围是()A ( 1， 2 B ( , C ( , 2D ( 1, 1222【例16 a sin70osin30o cos700 cos30o, b cos710cos30o sin71osin30 0,则 a, b 的大小关系是。【例 17 若 cos cos cos 0 , sin sin sin 0 ,则 cos( ) 【例 18 点 _tan15o1 3tan15o【例 19】3cosx 4sin x

4、 5cos( x ),贝 sin ; cos例 20 s sin7 cos15sin8 的值为。cos7o sin15osin8o【例21】函数y COSx COS(x 一)的最大值是3求22 cos()的值。4【例22】已知 (0,),且sin 3, 25【例 23 证明：cos(-) sin2【例24若，为锐角，且满足 cos4 , cos( ) "3 ,求 cos 的值。 55【例25 设 cos cos 1 ,sinsin-,求 cos( 3)的值。【例26 已知，都是锐角,coscos(小cos的值。【例27 期. . 3 右 sin xsin y 一5,cosxcosyy

5、)的值。【例28 定义 cos( 10)cos( 2。)L ncos一n为集合 1 , 2, L ,n相对于常数。的余弦平均数求集合2 c 2，0,一相对于于常数 0的余弦平均数”。【例29】已知cos(3,),求 sin()的值 3【例30 已知tan(3,求tan的值。【例31 已知一2cos(sin(3 ,求 sin2 5的值。【例32 已知(0，)且 tan(tan求2 的值【例33 已知sin(2/；，sin(3tan求 tan的值【例34 已知函数.3sin x cosx(1)当函数y取得最大值时，求自变量 x的集合；(2)该函数的图像可由sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸

6、缩变换得到?【例35 函数 f(x) 2acosxsin(x ) 2a sin2 xsin 2a sin xcosxcos 的定义域是 R，值域是2 , 2,在区间5-,上是单调递减函数，且a1212【例36 【例37 【例38 【例39】【例40 【例41 【例42 题型二:求f（x）的周期；（2）求常数a和角的值。已知都是锐角,10sin ,求10求 tan() tan(66已知 sin( x), 413求证：tan(x y)tan(y已知sin（已知tan求 sin2(已知向量)sin 3.3 tan(6)tan( 6）的值。z)tan( zx)cos2x的值。与tan是方程x2)3si

7、n( )cos(a (mcos , v3),求sin（一）的值；（2）若m6二倍角的正弦、余弦、正切公式3xcos( x)4tan(x y)tan( y z)tan(z x)。(1,0的两根,3cos2(n sin的值。）的值。),(0,一），2求实数n的取值范围。【例43 下列各式中，值为【例44 【例45 【例46 【例47 A sin150 cos15oC 1 cos30o已知xA -242r-Ocos 75A 62函数y,0)2sin2sincosx72475ox(sin直是二次方程 3）2cos215o 1tan 22.5°1 tan2 22.5o则 tan2x247cos

8、75o cos15o 的值为247cosx）的最大值为(tan1)x tantan.3例48 函数f(x) sin2x 73 cos2x的最小正周期是()。AB -C -D -【例49】已知sin（一43x) 5贝11 cos(一22x）的值为（192516251425725【例50】若12门2,则工sin 2()2A 1B -C -235【例51】如果sin2 1且 4(,一)，那么 cos sin4 22sin2 1【例 52 】若 f( ) 2一 2tan , WJ f (-)(sin cos一22A 0B 2C 2cos4的值等于【例 53 已知 cos()cos()-,则 sin44

9、44【例 54史CoJ -,则 tan2 2cos sin 3【例55 化简 cos2 75°的值是【例56 已知tan( )sin cosT 223cos2sin【例57 已知 sinxcosx310,求 4sin(x)sin( x)的值44【例58 求证：(1)sin 2x2tan x2; (2) cos2x tan x21 tan xtan2 x【例59】已知cos(0勺，求tan 2()的值。【例60 求 sin2 20o2 ocos 50sin 20o cos50o 的值。【例61】已知sincossin cos ,求 sin 2 的值。求f(x)在【例 62 已知 f(x

10、) cos4 x 2sin xcosx sin4 x。(1)求 f(x)的最小正周期;区间0,_上的最大值和最小值。2【例63】设sin22sin 2 cos cos2 1,(0 ,一)。求 sin , tan 的值。 23 .),cos(22)的值。4【例64 已知cos(-) 3(45 2【例65】已知sincos 二(02),求cos2的值。【例66】求函数ysin4 * 6 x cos6 x的最小正周期【例67 求f(x) 5 J3cos2 x J3sin 2 x 4sin xcosx( < x< )的最小值，并求出取得最 424【例68 小值时x的值。【例69若cos(4

11、5o x)4 o一 (2255o、x 315 ),2求sinx 2sin x 的值。1 tan xa ,宽AD b ,试求其外接矩形EFGH面积的最大值【例70 已知矩形ABCD的长AB 与对角线长的最大值.EAF题型三：【例71 【例72 【例73 【例74 【例75 【例76 【例77 【例78【例79】简单的三角恒等变换化简22cos2 sin 2 1的结果是（）A coslB cosl C 33 cosltan cot的值是()88A 1B 2 C 1D 3 cosl若 sin 224 ,贝11 2 cos(254）的值为（) 1r 7-17A 1B -C 1D55553_）1,则小s

12、in的值为（ 22.cos- sin 一 22设在第二象限，且sinA 1B 1C 1或1 D不能确定2若 f() 叫 Jfw _等腰三角形的顶角的正弦值为 三，则它的底角的余弦值为 131已知A是ABC的内角，且sin A cosA -，求tanA的值 5求证也cos 1)(sin cos 1) sin 2已知函数 y ”3sin2x 3cos2x。tan。2（1）求函数的增区间；（2）说出此函数与y sinx之间的关系【例80】2002年8月，在北京召开了国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个相 同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面

13、积是1，小正方形的面积是-1 ,求sin2cos2的251 2sin cos【例81】 求证： 21 tan()cos sin4【例 82 已知函数 f(x)73sin2 x sinxcosx。(1)求 f (竺_)的值；(2)设 (0, ), f(-)二 堂，求 sin6242【例83如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD辟为绿地，使其一边 AD落在圆的直径上，另两点 B,C落在半圆的圆周 上，已知半圆的半径长为 a,如何选择关于点 O对称的点A,D的位置，可以使 矩形ABCD的面积最大？3-,求 的值211【例 84 已知 tan -，tan -，02sin 2 1【例85】已知f( ) 2tan 2，求f(一)12sin cos【例86 已知函数f(x) 2asin2x