高中数学专题讲义-二项式定理-求展开式中的指定项

1、求展开式中的指定项知识内容1 .二项式定理 二项式定理a bn C0an Cn1an 1b C：an 2b2 . C；bn n N这个公式表示的定理叫做二项式定理.二项式系数、二项式的通项C：an C1an1b C；an2b2 . C：bn叫做a b n的二项展开式，其中的系数C； r 0, 1, 2, ., n叫做二项式系数， 式中的C：an rbr叫做二项展开式的通项，用Tri表示,即通项为展开式的第r 1项：Tr 1 Cnanb.二项式展开式的各项哥指数二项式a bn的展开式项数为n 1项，各项的哥指数状况是各项的次数都等于二项式的哥指数n .字母a的按降哥排列，从第一项开始，次数由n逐

2、项减1直到零，字母b按升哥排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.几点注意通项Tr1 Cnanrb是a bn的展开式的第r 1项，这里r 0,1,2,., n .二项式a b n W r 1项和b a n的展开式的第r 1项C：bn rar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的.注意二项式系数（C：）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负.通项公式是 a b n这个标准形式下而言的，如a b n的二项展开式的通项公式是Tr 11 rC；an rbr （只须把 b看成b代入二项式定理） 这与Tr 1 C：an rb是不同的，在这里对应项的

3、二项式系数是相等的都是c：，但项的系数一个是i rcn, 一个是c：,可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.设 a 1, b x,则得公式：1 xn 1 C：x C：x2 . C：xr . xn.通项是 Tr 1 C：an rbr r 0, 1, 2, ., n 中含有 Tr 1, a, b, n, r 五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素.当n不是很大，|x比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n的近似值.2 .二项式系数的性质杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算.杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各

4、数都是 1 .其余各数都等于它肩上两个数字的和.二项式系数的性质：a b n展开式的二项式系数是：C0, C；, C2, ., C；,从函数的角度看 C：可以看成是r为自变量的函数f r ,其定义域是：0, 1, 2, 3, ., n .当n 6时，f r的图象为下图：，=W20 T - IRI A - 14 -1 215 ：&；jt5 ： - T4 息 44-*-o,Qg -*这样我们利用“杨辉三角”和n 6时f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式cm C：m得到.增减性与最大值如果二项式的哥指

5、数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的哥指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.由于展开式各项的二项式系数顺次是Cni n 21, Cn, Cn13 n n 1 n 2Cn 1 2 3Cnn n 1 n 2 . n k 2 k nn1n2 nk2nk11 2 3 . k 1' Cn1 2 3k 1 k其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n, n 1, n 2, .），分母是乘以逐次增大的数（如 1, 2, 3,）.因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当 k依次取1，2，3,等值时，Cn的值转化

6、为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间.当n是偶数时,n 1是奇数，展开式共有1项,所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大,n 最大为Cn2.当n是奇数时,n 1是偶数，展开式共有1项,所以有中间两项.这两项的二项式系数相等并且最大，最大为n 1Cn"n 1Cn"二项式系数的和为2n，即C0C； C2Cr . nCn2n.奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0 C2 C4 C1 C3 C52n 17n7n 7n .7n7n7n .常见题型有：求展开式的某

7、些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题.典例分析【例1】31X6的展开式中的第四项是6【例2】方 -y= 的展开式中，x3的系数等于 【例3】A.【例4】【例5】A.【例6】【例7】【例8】【例9】【例10 3Q 51 2 Vx1 淑 的展开式中x的系数是4B.2C. 2D. 49若X 9的展开式中X3的系数是84,则a X5X a （x R）展开式中X3的系数为10,则实数a等于 x1B. -C. 1D. 22若（1 2X）n a0 &X a?X2 LanXn,则 a2的值是（）A. 84 B.84C. 280D. 280（x拒y）8的展开式中X6y2项的

8、系数是（）A. 56B.56C. 28D.28若 3x 1 5 a5X5 a4X4a,X a0,则 a2 的值为（）2A. 270B. 270xC. 90D.（1 、&）6（1 Tx）4的展开式中X的系数是 （用数字作答）在（x2 4x 2）5的展开式中，x的系数为 （用数字作答）290X【例11】在(x2 4x 2)5的展开式中，X2的系数为 (用数字作答)【例12在(x2 4x 2)5的展开式中，X3的系数为 (用数字作答)【例13】求(x2 3x 1)9(2x 1)4展开式中含x2项系数.【例14在(1 x) (1 x)2 L (1 x)6的展开式中，x2项的系数是 .(用数字作

9、答)【例15(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展开式中x2的系数等于.(用数字作答)【例16(x2工)9展开式中x9的系数是 (用数字作答)2xA. -14B. 14C. -28D. 28【例18 在(x 1)(x2)(x 3)(x 4)(x5）的展开式中，含x4的项的系数是（A.15B. 85C.120 D. 274789 .3x) (1 x) (1 x)的展开式中，含x的系数是56【例19在（1 x） （1 x） （1（用数字作答）【例20】求（1 x x2）6展开式中x5的系数.【例21（1 Jx）6（1 底）4的展开式中x的系数是 （用数字作答）【例2

10、2】在（x2 4x 2）5的展开式中，x的系数为 （用数字作答）252【例23在（x4x 2）的展开式中，x的系数为（用数字作答）【例24】在（x2 4x 2）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）【例25】求（x2 3x 1）9（2x 1）4展开式中含x2项系数.【例26在（1 x） （1 x）2 L （1 x）6的展开式中，x2项的系数是.（用数字作答）【例27(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展开式中x2的系数等于.(用 数字作答)O 1【例28 (用数字作答).(x2 ，)9展开式中x9的系数是 2x【例29】在(x 1)(x1)8的展开式中【例30

11、 【例31 A. -14B. 14的系数是()C. -28D. 28在(x(A)1)(x152)(x 3)(x(B)4)(x855)的展开式中，含(C) 120x4的项的系数是()(D) 274在(1x)5(1 x)6 (1x)7893(1 x) (1 x)的展开式中，含x项的系数是A.10B. 10C.5D. 5(用数字作答)【例32 求(1 xx2)6展开式中5x5的系数.5【例33】在二项式x2 1的展开式中，含x4的项的系数是()xA. 10B. 10C. 5 D. 5【例34(1 2x)3(1 x)4的展开式中x的系数是 , x2的系数为 1【例35】1 - (1 x)4的展开中含x

12、2的项的系数为()xA. 4B. 6C. 10D. 12_ 6_ 4例36 1 xx 1 7x的展开式中x的系数是()A. 4B. 3C. 3D. 43【例37】求1 x 1105x展开式中x5的系数;5【例38】在二项式x2 1的展开式中，含x4的项的系数是()x【例39】（x 2）6的展开式中x3的系数是（)A. 20B. 40C. 80D. 160【例40】在（1 、加）4的展开式中，x的系数为 （用数字作答）_ 3_ 3【例41】在（1 x）3 1 xx1次 的展开式中，x的系数为 （用数字作答）9【例42】x 1 的二项展开式中含x3的项的系数为（）xA.36B.84C. 36D.

13、84【例43若（x2工）6的二项展开式中x3的系数为5,则a.（用数字作答）ax2【例44 设常数a 0, (ax2 4= x）4展开式中x3的系数为3 ,则a =2【例45 已知（1 kx2）6 （ k是正整数） 8 一的展开式中，X的系数小于120,则k【例46 已知（xcos1）5的展开式中x2的系数与（x 5）4的展开式中4X3的系数相等【例47 【例48 【例49】cosA.101X210的二项展开式的第6项的系数为（B.252C.210D. 252若（x2工）6的二项展开式中 axx3的系数为5则a2，若（x m）2n 1 与（mx的取值范围是（1 2,A.（一，一2 32n1)

14、(n)m 0）的展开式中含xn的系数相等，则实数 m1)C. (, 0)D.(0,)【例50 已知ao sin x cosx dx ,贝U二 项式展开式中含x2项的系数【例51】在（ax 1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数 a 1,那么a .【例52】已知（1 kx2）6 （ k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120,则k 【例53】就百 yG）4的展开式中x3y3的系数为【例54若（1 x）n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n;【例55】（x y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 【例56】已知a为实数，（x a）10展

15、开式中x7的系数是15,则an【例57】二项式x7x4 的展开式中第三项系数比第二项系数大44,求第4项的系数.x91【例58】求x 的一项展开式中含x3的项的二项式系数与系数. xn1【例59若x 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为2x【例60 令 an 为 fn(X)(1 x)n1的展开式中含xn1项的系数，则数列1的前2009项和为 an【例61】在(ax 1)7 (a 1)的展开式中，x3的系数是X2的系数与X4的系数的等差中项, 求a的值.【例 62 已知 1 ax 5 1 10x bx2 L a5x5 ,贝1J b 【例63】在1 xn展开式中，x3与x2的系数分别为a,b,如果93,那么b的值为() bA. 70B. 60C. 55D. 40【例64若包乂 1)5的展开式中x3的系数是 80,则实数a的值是4【例65】设常数a 0,ax2 二 展开式中x3的系数为则ax2n【例66若2x - 展开式中含 工项的系数与含 4项的系数之比为5,则n等于xxx( )A. 4B. 6C. 8D. 101 【例67】设20为fn(x) (1 x)n1的展开式中含xn1项的系数，则数列 - 的前n项和为 ann【例68】已知x 2 展开式的第二项与第三项的系数比是1:2,则n 2x【例69】在(1 x2)20的展