材料力学孙训方习题答案

1、f=kx*2，试做木桩的后习题2-2 一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力 力图。解：由题意可得:ifdx0F,有1kl3 F,k 3F/13,3,Fn(xi)%Fx2/13dx F(xi/1)3习题2-3石砌桥墩的墩身高1 10m,其横截面面尺寸如图所示。荷载F 1000kN ,材料的密度2.35kg / m3,试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为:N (F G) F Al g2-3图一一一2一 一一 一 - 一 一1000 (3 2 3.14 1 ) 10 2.35 9.83104.942(kN)墩身底面积：A (3 2 3.14 12) 9.14(m2)因为墩为

2、轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。N 3104.942kNA 9.14m2339.71kPa0.34MPa习题2-7图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。2-7图解：取长度为dx截离体(微元体)O则微元体的伸长量为:d( l)FdxEA(x)工 dx 二工0 EA(x) E 0 A(x)r 1121d2 d1 d1 x , 212A(x)d2 d1d1 2x2122 d2 d1d1u2, d(-1x )212dud2 d11 dx21dx3du,巫d2 di A(x)因此,2ld2di2- udu2l (du) (di d2)( j1 F , F 1 dxdx 0 EA(x) E

3、 0 A(x)2Fl I du、.(2 )E(d1 d2) 0 ui2Fl 1 1 2Fl1E(di d2)u 0E(did7) d2 didiFTx 万 02Fl 11E(di d2)d2 d1 d1 d1 l -2l 222Fl 2_2E(d1 d2)d2 d14FlEd1d2习题2-10受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,，试求C与D两点间的距离改变量CD °解:F /AEFEA式中,(a )2(a )24aF4EaF4EaF4EJ(2a)2 (4a)2<145a12' '-2232"145CD (3a')(4

4、a，) ira，-,_14512 4E1.003 4E(CD) C D CD (a a)12习题2-11图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆 1, 2, 3材料相同，其弹性模量 22E 210GPa,已知 l 1m, A1 A2 100mm , A3 150mm , F 20kN。试求 C点的水平位移和铅垂位移。2-11 解：（1）求各杆的轴力以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。因为AB平衡，所以变形协调图由对称性可知，CH 0 ,NiN2 0.5F0.5 20 10(kN)X 0, N3 cos45o0,（2）求C点的水平位移与铅垂位移。A点的铅垂位移:1iN1lEA110000N100

5、0mm210000N/mm2 100mm20.476mmB点的铅垂位移:l2N2lEA210000 N 1000mm_2210000N /mm2100mm0.476mm1、2、3杆的变形协(谐)调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件,并且考虑到AB为刚性杆，可以得到C点的水平位移：CHCHAH BH l1 tan 450.476(mm)C点的铅垂位移：C1i 0.476( mm)习题2-12图示实心圆杆 AB和AC在A点以钱相连接，在A点作用有铅垂向下的力F 35kN。已知杆 AB和AC的直径分别为 d1 12mm和2 15mm ,钢的弹性模量E 210GPa。试求A点在铅垂方向

6、的位移。解：（1）求AR AC杆的轴力以节点A为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件得出：X 0： NACsin30o NAB sin 45o 0(a)Nac 2NABY 0 ： NAC cos30o NAB cos45o 35 03Nac 2NAB 70(b)(a) (b)联立解得:NAB Ni 18.117kN； Nac N225.621kN(2)由变形能原理求 A点的铅垂方向的位移221N2l1 N；l2-F A 22EA1 2EA，221 (Ni21i N2l2)A F EAEA2式中，l11000/sin 45o 1414(mm)； l2 800/sin30o 1600(mm)22

7、2 2A10.25 3.14 12113mm ; A 0.25 3.14 15177mm_22_故:1.366(mm)1181171414 256211600)35000 ( 210000 113210000 177 )习题2-13图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d 1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝 产生 的线应变 为 0.0035,其材料的弹性模量E 210GPa,钢丝的自重不计。试求：(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律)；(2)钢丝在C点下降的距离；(3)荷载F的值。解：(1)求钢丝横截面上的应力E 210000 0.0035

8、 735(MPa)(2)求钢丝在C点下降的距离AC和 BC各 3.5mm。Nll2000l 一 一 735 7(mm)。其中,EAE2100001000 cos0.9965122071003.5 1000oarccos( ) 4.78673390 1003.51000 tan 4.7867339 o 83.7(mm)(3)求荷载F的值以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得:Y 0： 2N sina P 0P 2Nsina 2 Asin_20_2 735 0.25 3.14 1 sin4.78796.239(N)习题2-15水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载

9、F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量 E=210Gpa 求：(1) 端点A的水平和铅垂位移。(2) 应用功能原理求端点 A的铅垂位移。解：(1)二占13fdxF,有一 kl3F03k 3F/l3l 233FN(x1)o3Fx /l dx F(x1 /l)oFN 3 cos450Fni F2 FN3Sin45o F 0F 0.45 FN1 0.15 0F160KN,F1401KN,F1 0KN ,由胡克定理,(2)11l2Fn11EA1FN21EA260 107 0.15_ _ 9_ 6210 109 12 10 640 1

10、07 0.15_ _ 9 _ _ 6210 10 12 103.874.76从而得，Axl2 4.76,Ayl2 21i 3 20.23()V F Ay F1 l1+F2 l2 0Ay 20.33()习题2-17简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆 AB的长度可随夹角 的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：(1)两杆的夹角；(2)两杆横截面面积的比值。解：(1)求轴力取节点B为研究对象，由其平衡条件得：Y 0Nab sin F 0sinN ABX 0N abcosN BCN

11、BCN ab coscos F cot sin2-17(2)求工作应力N abAb AabAab sinN BCBCABCF cot(3)求杆系的总重量W V( aab l AB ABC l BC ) °是重力密度(简称重度，单位:3kN / m )。(aabcosABC l )l( aabcosABC )(4)代入题设条件求两杆的夹角条件：ABN abaabFaab sinaabFsinBCN BCABCF cotABC,F cot条件：W的总重量为最小。1W1(Aab-cosAbc )l (AabcosAbc )最小值。Fl 1 cos2sin从W的表达式可知,dW 2FI dc

12、oscos2 cosF cot )2Fl 1FL(Jsin cos2 cossin 2cossin角的一元函数。当 W的一阶导数等于零时，W取得2sin sin 2(1 cos )cos2 22 .0sin2 2sin2 23 cos2 cos2 2 02sin2 22 _3cos2 cos 203 cos21 , cos20.33332 arccos( 0.3333)109.47°,54.74o54o44aab_F_sinAABABCsinF cot"TTsin cotcos因为:3cos22 cos22 cos(5)求两杆横截面面积的比值F cotncoscos所以:.

13、3习题2-18一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力170MPa ,试选择AC和CD的角钢型号。解：(1)求支座反力由对称性可知,RA RB 220kN()(2)求AC杆和CD杆的轴力以A节点为研究对象，由其平衡条件得:2-18RaNaccosRa 220Nac 366.667(kN) sin 3/5以C节点为研究对象，由其平衡条件得：X 0Ncd N AC cos 0220NcdNac cos 4/5 293.333(kN)3/5(3)由强度条件确定 AG CD杆的角钢型号AC 杆：N AC366667 N22AAC Ac7N2156.86mm2 21.569cm217

14、0 N/mm2选用 2L80 7 (面积 2 10.86 21.72cm2)。CD杆：Ncd 293333 N22Acd 2 1725.488mm17.255cm170N/mm2选用 2L 75 6 (面积 2 8.797 17.594cm2)。习题2-19 一结构受力如图所示，杆件AB CD EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力170MPa ,材料的弹性模量 E 210GPa ,杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D C A处的铅垂位移D、 C、 A。D C A解：(1)求各杆的轴力3.2Nab - 300 240(kN) 40.8Ncd -300 60

15、(kN)4M F 0Ngh 3 300 1.5 60 1.2 02-191Ngh -(450 72) 174(kN) 3Y 0Nef 174 60 300 0Nef 186(kN)(2)由强度条件确定 AG CD杆的角钢型号AB 杆：八 Nab 240000 NAAB2170N/mm选用2L 90 56 5 (面积2CD杆：ANd60000NCD 170N /mm2选用2L 40 25 3 (面积2EF杆：A N ef 186000 NAEF2170N /mm2选用2L 70 45 5 (面积2GH杆：八 Ngh 174000NAGH2170N/mm2选用2L 70 45 5 (面积2. 2.

16、_21411.765mm14.12cm7.212 14.424cm2)。,2 2352.941mm3.529cm,一 2、1.89 3.78cm )。，一 ，一 2 一 一 21094.118mm10.412cm5.609 11.218cm2)。 2 21023.529mm10.353cm5.609 11.218cm2)。(3)求点DC A处的铅垂位移l ABN ABl AB240000 3400lCDEAabNcD l CDEAcd210000 1442.460000 1200210000 3782.694 2.7(mm)0.907(mm)lEFN EFl EFEAef186000 2000

17、210000 1121.81.580(mm)l GHNGH lGHeagh174000 2000210000 1121.81.477(mm)EG干的变形协调图如图所示。D lGH l EF lGH1.8d 1.4771.580 1.4771.831.54(mm)D l CD1.54 0.907 2.45(mm)l ab 2.7(mm)习题2-21 (1)刚性梁AB用两根钢杆AG BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为 d1 25mm和d2 18mm ,钢的许用应力 170MPa ,弹性模量解:210GPa。试校核钢杆的强度,f算钢杆的变形lAC、 lBD及A、B两点的竖向位

18、(1)校核钢杆的强度求轴力N ACN BC4.51.51001004.566.667(kN)33.333(kN)计算工作应力N ACACAac66667 N220.25 3.14 252mm2135.882MPaN bd33333 NBD-1IZ-22ABD0.25 3.14 18 mm2-21131.057MPaD 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170MPq即 AC ACBD，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。(2)计算l AC、 l BDl ACN AC l ACeaac66667 2500210000 490.6251.618(mm)l BDN BD l BDEAbd3

19、3333 2500210000254.341.560(mm)(3)计算AB两点的竖向位移lAc 1.618(mm),b lBD 1.560(mm)习题3-2实心圆轴的直径d 100mm，长l 1m,其两端所受外力偶矩 M e 14kN m,材料的切变模量G 80GPa。试求：(1)最大切应力及两端面间的相对转角；(2)图示截面上 A B、C三点处切应力的数值及方向;(3) C点处的切应变。解：(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角maxWpMeoWp32式中，WD d3 3.14159 1003 196349(mm3)。3-2 p 1616故:maxMeWp14 106N mm196349m

20、m371.302MPa式中,14Ip 一 dp 32144一 3.14159 1004 9817469(mm4)。故:14000N m 1m0.0178254(rad) 1.02°92124GI p 80 10 N /m 9817469 10 m p(2)求图示截面上 A B、C三点处切应力的数值及方向b max 71.302MPa ,由横截面上切应力分布规律可知:1b 0.5 71.30235.66MPa, A、日C三点的切应力方向如图所示。2(3)计算C点处的切应变C 35.66MPa43 3 一 4.4575 10 40.446 10 3G 80 103 MPa习题3-3空心钢

21、轴的外径 D 100mm,内径d 50mm。已知间距为l 2.7m的两横截面的相对扭转角1.8°,材料的切变模量 G 80GPa。试求:(1)轴内的最大切应力;(2)当轴以n 80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。解；(1)计算轴内的最大切应力IpWp321D4(14)式中,16D3(14)3.14159 1004 32133.14159 100316(1(1d/D。_440.54) 9203877(mm4)。0.54) 184078(mm3)T lGUGI p1.83.14159/180 80000N /2 mm9203877 mm42700mm8563014.45N mm

22、8.563(kN m)maxT 8563014.45N mmWp184078mm346.518MPa(2)当轴以n 80r / min的速度旋转时，轴所传递的功率NkNkT Me9.549 勺9.549勺8.563(kN m)n80Nk 8.563 80/9.549 71.74(kW)F均为，已习题3-5图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力知轴材料的许用切应力40MPa，试求：(1) AB轴的直径；(2)绞车所能吊起的最大重量。解：(1)计算AB轴的直径AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：Me Me0.2 0.4 0.08(kN m)M e主动轮 2Me右

23、 0.16(kN m)扭矩图如图所示。由AB轴的强度条件得:3-5maxMe右 w716Me 右d33 16M e右,16 80000N mm3.14159 40N/mm221.7mm(2)计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等:M e主动轮0.2M e从动轮0.35M eM动轮0.350.200.16 0.28(kN m)由卷扬机转筒的平衡条件得:P 0.25 Me从动轮，P 0.250.28 P 0.28/0.25 1.12(kN)习题3-6已知钻探机钻杆(参看题 3-2图)的外径D 60mm,内径d 50mm,功率P 7.355kW,转速n 180r/min ,钻杆入土

24、深度l 40m,钻杆材料的G 80GMPa ,许用切应力40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ;(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；(3)两端截面的相对扭转角。解：(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mNkMe 9.549 k nc 7.3559.549 1800.390(kN m)设钻杆轴为x轴,则:Mx 0ml Me,M e 0 390e 0390 0.00975(kN/m)l 40(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆扭矩图T (x) mx0.39x400.00975x o x 0,40T(0) 0； T(40) M

25、e扭矩图如图所示。强度校核，max 此Wp.1式中，Wp D (1)p 16M e 390000N mmmax3W 21958mm p因为 max 17.761MPa ,0.390(kN m)1050 “a3.14159 601 () 21958(mm )166017.761MPa40MPa，即max ,所以轴的强度足够，不会发生破坏。(3)计算两端截面的相对扭转角40 T(x)dxGI,1式中，Ip p 321,50 ”D4(14 )3.14 1 59 604 1 ( )4 658752(mm4)326040 1T (x) |dx0 GIpGIp400.00975x2 400.00975xd

26、x 6212-40080 106kN/m2 658752 1012m4 20.148(rad) 8.5°习题3-8直径d 50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶M e 6kN m ,而在圆杆表面上的 A点将移动到 A点，如图所示。已知 s AA1 3mm ,圆杆材料的弹性模量E 210GPa,试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G 间存在如下关系：G解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩:T Me 6kN m。设O,O1两截面之间的相对对转角为，则 sT l 2 sGI P d14144Ip d 43.14159 504613592(mm4)3-8p 3232T l d21

27、p s6 106 N mm 1000mm 50mm2 613592mm4 3mm81487.372MPa 81.4874GPaEE210由 G 得： 1 1 0.2892(1)2G 2 81.4874习题3-10长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者 d的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为 D,内径为d。，且一0 0.8。D试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（max ）,扭矢IT相等时的重量比和刚度比。解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。maxWp式中，Wp D3(14),故:p 1616Tmax,空_ 34D (1 0.8 )

28、27.1TD3D327.1T n3-10(1)求实心圆轴的最大切应力max工，式中，WpWpp-d3，故:16max,实16T16T,3, 3 ddd316T D 3,(一)d27.1T16T1.69375 ，1.192(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比W空0.25 (D2 d：) lW实0.25 d2 l(Dd)2(1 0.82)D 220.36()20.36 1.1922 0.512d(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比1_ 4_4_ 4D4(1 0.84) 0.01845 D432-d432GIp空GU0.01845 D40.03125 d40.5904(：)40.5904 1.19240

29、.03125 d41.192习题3-11全长为l ,两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩 M ,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体 dx,则其两端面之间的扭转角为：, M edx d GIp式中，Ip d4p 32r ririri xrid2 di x2ldidid4d2 di(Txdi)4dud2 djdxldx M edx0"Gi7M e"G"1dxMeGd232dx""ddu di32M e i0u4，du d2 di32MelGa di)1 du0 u432M elGa di)l du0

30、u432MelGa3 032Mel3 G(d2di)d2dixl3di032Mel3 G4di)id3idi332Mel3 G(di d2)di3d2333di d232Mel di23 Gdid? d；3 3did2习题3-12已知实心圆轴的转速300r/min，传递的功率 p 330kW ,轴材料的许用切应力60MPa80GPa。若要求在2m长度的相对扭车t角不超过 i°,试求该轴的直径。解:T lGIPMelGIpii80式中,9.549 nNkk 9.549330300i0.504(kN m); Ipd4。故:32i80M elGd432180M elGI p32 180M

31、el2G32 1 80 1 0.504 1 06 N mm 2000mm3.142 80000N / mm2111.292mm取 d 111.3mm。习题3-16 一端固定的圆截面杆AB承受集度为m的均布外力偶作用,如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。.2 /解：dV T (x)dx2GI2 2 ,m x dxG L 32_2 216m x dxd4d4G,x2dx02 316m l3 d4G2. 3m l6 d4G322. 3 m l 西3-16习题3-18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d10mm,材料的许用切应力500MPa ,切变模量为 G弹簧的有

32、效圈数为n 。试求:(1)弹簧的许可切应力;(2)证明弹簧的伸长16Fn /、/ 22、一r(R R2)(Ri R2)。Gd4解：(1)求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上:剪力Q F扭矩T FR最大扭矩：TmaxFR2maxQTmaxA Wpp4F 16FR216FR2d2d3d3(1)，4R2Fd3口16R2(14R23.14 103mm3 500N/mm2957.3N10mm 、16 100mm(1)4 100mm因为D/d 200/10 20 10,所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时Fd33.1

33、4 103mm3 500N / mm216R2(116 100mm981.25N（2）证明弹簧的伸长4R2器（RiR2)(R2R2), 1 外力功：W -F 2dUT2(R d2GIp2 n (FR)2(R dF22GIp2GIp 0R3dF22 n0R1一3d2 nF2R； R44GIpR2RiF2R； R44GIpF n R；R142GI p R2 Ri16F n 2gt(RiR；)(RR2)习题3-19图示矩形截面钢杆承受一对外力偶M e 3kN m。已知材料的切变模量G 80GPa，试求:(1)杆内最大切应力的大小、位置和方向;(2)横截面短边中点处的切应力;(3)杆的单位长度扭转角。

34、解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向由表得长边中点处的切应力，在上面，由外指向里(2)计算横截面短边中点处的切应力MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上(3)求单位长度的转角单位长度的转角习题3-23图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求:(1)最大切应力之比;(2)相对扭转角之比。解：(1)求最大切应力之比开 口 ,max,开口MeItIt依题意:2 ro4a ,故:It4a 3max,开口MeMe4a 33Me4a 2闭口:M emax,闭 口2AoM e 2a2max,开 口max,

35、闭口3Me4a 22a23a2-(3)求相对扭转角之比开口:It2 ro4a开口闭口:闭口Ts4GAoMeS4GAoM e 4a-Z4- 4GaM eGa3开口3MGa3闭口4GaMe3a2厂4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩a (5) =h (4)Frb2a q°aMi 11 q03q0a 0 a q°aFS2 21q0a 2q0 a0,M2 2 q°a11 q°a122a 1q0 2a 22a4 -q0a3b (5) =f (4)GItMeGh3M4Ga4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图a （ 5） =a （ 4）

36、b （ 5） =b （ 4）f （ 5） =f （ 4）4-3 试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力 e 和 f 题）e）f）h）4-4b）4-5b）4-4 试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。4-5 根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。4-6 已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。4-104-6 （ a）4-7（ a）4-7 根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。4-8 用叠加法做梁的弯矩图。4-8 （ b）4-8（ c）4-9 选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。4-9 （ b）4-9c)4

37、-14 .长度l=2m的均匀圆木，欲锯做 52=的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零， 现将圆木放在两只锯木架上， 一只锯木架放在圆木一段， 试求另一只锯木架应放位置。x=4-184-19M=30KN4-214-234-254-284-294-334-364-355-25-35-75-155-225-23选22a工字钢5-246-41A 6Fl/(2 3.3)EA)6-127-3-55mpa。 -55mpa7-4习题7-3 一拉杆由两段沿 m n面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于0 600范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应为许用拉应力

38、的3/4 ,且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F,试问角的值应取多力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力解:大?0； xcos2 x sin 22A cos 22A2coscos2 2A，,F max,NF 1 cos 2AF 2一 cos2AA2cosx ysin 22x cos2 sin 22A4卜1.5 A F. ? F max,Tsin 21.5 Asin 2（°）102030405060Fmax,N（ A）FmaxT （ A）由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看

39、出，当600时，杆能承受最大荷载，该荷载为:Fmax 1.732 A7-6习题7-7试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。解：（1）求计算点的正应力与切应力My 12My 12 10 0.72 106 N mm 40mmIzbh380 1603 mm410.55MPa*QSzTZb3310 10 N (80 40) 60mm 0.88MPa134一 80 160 mm 80mm12(2)写出坐标面应力X (,)Y (。,)(3)作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与 x轴的夹角作应力圆

40、如图所示。从图中按比例尺量得：10.66MPa0.06MPa4.7507-7习题 7-8各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求:(1)指定截面上的应力；(2)主应力的数值；(3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。习题 7-8 (a)解：坐标面应力：X (20, 0); Y (-40, 0)600。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：口°25MPa ,1?0026MPa ；120MPa ,340MPa ；000。1201201303单元体图应力圆(圆)主单元体图习题 7-8 (b)解：坐标面应力：X (0,

41、 30); Y (0,-30 )300 o根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：60026MPa , 600 15MPa ； 1 30MPa ,3 30MPa ；0450。单元体图应力圆(圆)主单元体图习题 7-8 (c)解：坐标面应力：X (-50, 0); Y (-50, 0)300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：Rn050MPa , Rn0 0 ；2 50MPa ,3 50MPa。60760应力圆(圆)主单元体图单元体图习题 7-8 (d)解：坐标面应力：X (0,-5

42、0); Y (-20, 50)00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：0450 40MPa , 45010 ； 1 41MPa ,2 0MPa ,3 61MPa ； 039 35。单元体图应力圆(圆)主单元体图习题7-10已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。平面应力状态下的两斜面应力应力圆解：两斜面上的坐标面应力为：A (38, 28), B (114, -48)由以上上两点作出的直线 AB是应力圆上的一条弦，如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于

43、C点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C ( x,0 )则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等性质，可列以下方程：(x 38)2 (0 28)2 (x 114)2 (0 48)2解以上方程得：x 86。即圆心坐标为 C (86,0)应力圆的半径：22r .(86 38)2 (0 28)255.570主应力为：1 x r 86 55.57 141.57MPax r 86 55.57 30.43MPa（ 2 ）主方向角（上斜面 A 与中间主应力平面之间的夹角）（上斜面 A 与最大主应力平面之间的夹角）（ 3 ）两截面间夹角： 习题 7-14 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求

44、主应力及最大切应力。 习题 7-15 （ a ） 解：坐标面应力： X（70， -40） ， Y（30， -40 ） ， Z（50， 0）单元体图 应力圆由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交轴得圆心C （50, 0）应力圆半径： 习题 7-15 （ b ） 解：坐标面应力： X（ 60 ， 40） ， Y（ 50， 0 ） ， Z（ 0 ， -40 ）单元体图应力圆由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 轴于C点，0（=30,故应力圆圆心C（ 30 ， 0）应力圆半径： 习题 7-15 （ c ） 解：坐标面应力： X（ -80 ， 0 ） ， Y（ 0 ， -50 ） ， Z（ 0，

45、 50 ）单元体图 应力圆由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为0,半彳仝为50,作应力圆得习题7-19 D=120mm d=80mm勺空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩，如图所示。在轴的试求扭转力中部表面A点处，测得与其母线成方向的线应变为。已知材料的弹性常数 偶矩。解：方向如图习题7-20在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上k点处沿450方向的线应变为45。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b, h, a,d,l。试求集中力偶矩M e。解：支座反力:RaMe丁 ；RbMelK截面的弯矩与剪力:MkRAaaM elRaMelK点的正应力与切应力:0；1.5 QkA3Me2Al故坐标面应力为:0) , Y (0,3M e2Altan2 0045450450Me122Hx y)4(最大正应力 1的方向与1( 13Me2Al3Me2Al)2EAl 4503(1)2Ebhl3(1)0453M e2AlX正向的夹角)，故3M e2EA1(1)习题7-22已知图示单元体材料的弹