北京市朝阳区六校2020届高三四月联考数学(B卷)试题(WORD版)

1、20192020学年度高三年级四月份测试题2020.4数学试卷B(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共 40分)和非选择题(共 110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分(选择题共40分)、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知命题p ： x R , ex 1 ,那么命题p的否定为(A) X0R , ex01(C)X0R, ex01(B) xR , ex1(D)x R, ex1(B) 1,2)(D) 1,2(2)设集合 A x Z|x2 3x 4 0,

2、 B x|ex2 1,则 AIB 二(A) 1,0,1,2(C) 1,0,1(3)下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是3(A) f (x) x 2(B) f (x) log1 |x|23(C) f (x) x 3x(D) f (x) sin x11(4)已知a 10g 2, b 10g020.3, c tan，贝1a , b, c的大小关系是3(A)c b a(B)bac(C)cab(D)bca(5)为了宣传今年9月即将举办的 第十八届中国西部博览会”(简称西博会”)，组委会举办了 西博 会”知识有奖问答活动.在活动中，组委会对会议举办地参与活动的15: 65岁市民进行随机抽

3、样，各年龄段人数情况如下：组号分组各组人数第1组15,25)10第2组25,35)a第3组35,45)b第4组45,55)c第5组55,65d各组人数频率分布直方图根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为(6)(7)(8)(A) 20, 0.15(B) 15, 0.015(C) 20, 0.015(D)15, 0.1516已知向量a (2,2j3),若ab= ，则b在a上的投影是3(B)34(C)(D)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为(A)(B)(C)(D)、56T已知 ABC ,则 sin A cosB ”是 ABC是直角三角形”的(A)充分而不必要条件(B)必

4、要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列an的第n项,则a。的值为(A)5049(B)5050(C)5051(D)5101(10)关于函数f (x) (x J > 1 14/41I 5 段 10 5 1 ax 1)ex,有以下三个结论:函数恒有两个零点，且两个零点之积为1;函数的极值点不可能是1;函数必有最小值.其中正确结论的个数有(A) 0 个(B) 1 个(C) 2 个(D) 3 个第二部分(

5、非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。23(11)在(x )5的二项展开式中，x的系数为.(用数字作答) x(12)已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z| 5, z Z 6,则z的实部为 ,虚部为.(13)设无穷等比数列an的各项为整数，公比为 q,且1q1 1, a1 a3 2a2,写出数列an的一个 通项公式.(14)在平面直角坐标系中，已知点A(0,1), B(1,1), P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q,则线段BQ的长度的最大值是.(15)关于曲线C:x2 xy y2 4,给出下列三个结论： 曲线C关于原点对称，但不关于 x轴、

6、y轴对称； 曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点白距离都不大于2J2 .其中，正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)一11已知：函数 f(x) cos xsin( x -) - (0)；向量 m (73sin x,cos2 x), n ( cos x,),且 0 , f (x) m n ；241 1函数f (x) sin(2 x )(0,| | 一)的图象经过点(-,-)2 26 2请在上述三

7、个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知，且函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为一.2(I)若 0一 12 ,且sin 金，求f ()的值;（n）求函数f（x）在0,2 上的单调递减区间.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（17）（本小题14分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T （单位： C）平均在36 C: 37 C之间即为正常体温，超过37.1 C即为发热.发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.1 T 38；高热：38 T 40；超高热（有生命危险）：T 40.某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗.医生根据病情

8、变化， 从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用 情况没有使用使用抗生素A”治疗使用抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（C）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用 情况使用抗生素C'治疗没有使用日期20日21日22日23日24日25日26日体温（C）38.438.037.637.136.836.636.3（I）请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值;（n） 在19日2

9、3日期间，医生会随机选取 3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“ 项 目”的检查，记 X为高热体温下做“项目”检查的天数，试求 X的分布列与数学期望；（出）抗生素治疗一般在服药后 2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.(18)(本小题15分)在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD.底面ABCD为梯形，ABPCD, AB AD ,且 AB 1, PA AD DC 2 , PD 242 .(I)求证：AB PD;(n)求二面角|P BC D的余弦值；(出)若 M是

10、棱PA的中点，求证：对于棱 BC上任意一点F ,(19)(本小题14分)22已知椭圆C:冬与1(aa2 b2点，当直线l与x轴垂直时，|AB|MF与PC都不平行.b 0)的离心率为1,过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于 A, B两23.(I)求椭圆C的标准方程；P (异于点F ),使x轴上任意点到直线 PA ,(n)当直线l与x轴不垂直时，在 x轴上是否存在一点PB的距离均相等？若存在，求 P点坐标；若不存在，请说明理由(20)(本小题15分)已知函数 f(x) ex ax2(a R).(I)若曲线y f (x)在(1,f (1)处的切线与x轴平行，求a；(n)已知f (x)在0,1上的最大值不

11、小于2,求a的取值范围；(出)写出f(x)所有可能的零点个数及相应的a的取值范围.(请直接写出结论)已 知集合 s X|X (Xi,X2,L ,Xn),Xi 0,1, i 1,2,L ,n(n 2), 对于A (ai,a2,L ,an) Sn ,B(h，b2，L,bn)Sn,定义 A与 B 的差为 A B(&bjja?ball ,| an0|)；人与8之间的距离为 d(A,B)=|a bil + 包 bJ L |a00 |.(I)若A B (0,1),试写出所有可能的 A, B;(n) A,B,C Sn,证明：d(A C,B C) d(A,B)；(出) A,B,C Sn, d(AB),

12、d(A,C),d(B,C)三个数中是否一定有偶数？证明你的结论 .20192020学年度高三年级四月份测试题数学B参考答案2020. 4第一部分(选择题共40分)选出符合题目要求的一项)C、选择题(共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，(I) A(2) C(3) C(4) A(5)(6) D B(8) D(9) B(10) D第二部分(非选择题共110分)、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)n 1 .2 (n N )(答案不唯一)(II) 80(12) 3, 4(13) an(14) 72 1(15)三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明

13、过程)(16)(本小题13分)解：方案一：选条件因为f (x)cos xsin( x )cosx(sinxcos- cos xsin -) 66、3 .sin2立sin2412x cos x - cos 2sin 21sin(2 x 2所以方案二：选条件因为m (、. 3sin所以f(x)方案三：选条件由题意可知,又因为函数1cos2 x46)3 分x,cos23 .sin2所以1cos2 21,所以xcosx)f(x)1-sin(2x ).cos x,1), 4x 1cos2 x412sin(2 x 6)f(x)1,12sin(2x 6).一、1 .小、所以 f(x) sin(2x)261

14、. 11f(x)图象经过点(一，一)，所以一 sin(2 一 ).6 2226因为I I 2,所以所以1f (x) -sin(2x -).261分3 分(I)因为01所以2,11所以 f( )f()sin 622 29分(n)由2k 2x 3- 2k ,k Z , 262_212分得一k x k ,k Z630,27-，令 k 1,得二'36所以函数f （x）在0,2 上的单调递减区间为6 3，.13分（17）（本小题14分)解：（I）由表可知，该患者共6天的体温不低于39oC ,记平均体温为x,1ox -(39.4 39.7 40.1 39.9 39.2+39.0) 39.55 C.

15、所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为 39.55oC(D)X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)30C3c2C53110P(X1)c2c2_610P(X2)一 1 _ 2C3c2C3310则X的分布列为:X012P133105103 Q 36所以E(X) 0 1011分2510 5（出）“抗生素C”治疗效果最佳可使用理由: “抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0oC又回升0.1 oC，“抗生素 C”使用期间持续降温共计1.2°C,说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗 生素C”治疗效果最佳. 抗生素B”治疗期间平均体温 39.03oC,方差约为 0.0156; “抗生素

16、 C”平均体温 38oC,方差约为0.1067, “抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素C”治疗效果最佳.114分“抗生素B”治疗效果最佳可使用理由:（不说使用“抗生素 B”治疗才开始持续降温扣 1分）自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7oC ,是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B”治疗效果最佳.|14分（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）（18）（本小题14分）解：（I ）因为平面ABCD 平面PAD,1 分平面ABCDI平面PAD

17、AD,2分AB 平面 ABCD, AB AD,3 分所以AB 平面PAD，4 分5分又因为PD 平面PAD所以AB PD(n )因为 PA AD 2, PD 2，2,所以 PA AD.由（I ）得AB 平面PAD ,所以AB PA,故AB, AD,AP两两垂直.如图，以A为原点，AB, AD, AP所在直线分别为建立空间直角坐标系 A xyz,则 P(0,0,2), B(1,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0).6分因为PA平面BCD ,所以平面BCD的一个法向量是n (0,0,1).uuruum而 PB (1,0, 2), PC (2,2,2)，设平面PBC的一个法向量为m(x,

18、y,z)uuu m PB 则由 uur m PC0, 得0,x 2z2x 2y0,取z 2z 0.1,有m (2, 1,1)8 ,分所以cos n, mn mn 1m16if10分由题知，二面角BC D为锐角,所以二面角PBCD的余弦值为.611分(m )假设棱BC上存在点F , MF/PC,设uumBFuurBC,0,1.12分依题意，可知M(0,0,1),uuuiBC (1,2,0)(1,2 ,0),13分uuur所以MF (1,2,1)uurPC (2,2,14分根据假设，有而此方程组无解，故假设错误，问题得证.15分(19)(本小题14分) 解：(I )由题意得：2b2一3, ac 1

19、a 2, a2 b2解得：a2,b、3,c所以椭圆的标准方程为:(II)依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线l : x my 1(m 0),a(Xi, y) B(x2, V2) .假设存在点P ,设P(x0,0),由题设，X0 1 ,且X0 Xi , X0 X2 .设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则kiyik2y2XiX0 , X2X04 .分因为 A(x” y。B(X2, y2)在 x my 1 上,故 X1 my1 1,X2 my2 1 .5分而x轴上任意点到直线 PA, PB距离均相等等价于“ PF平分 APB”，继而等价于k k2 0.6 分yV2X1X0X2 X0xy2 X

20、2V %(y1 幻(X1 X0)(X2 X0)8分2myy2 (1 X0)(yy2)(X1 X0)(X2 X0)22y-1、/口22联立43l 消去x,得：(3m24)y26my 9 0,x my 1有 y1y26m 3m2 4，丫伙93m2 410,分则 k1k218m 6 m 6mx0(3m2 4)(X1 xO)(X2 X0)24m 6mx0(3m2 4)( x x°)(X2 X0)即 4m mx0 0 ,故 X0 4 或 m 0 (舍).13 分 当直线l的斜率为零时，P(4,0)也符合题意.故存在点P(4,0),使得x轴上任意点到直线 PA，PB距离均相等.14分(20)(本

21、小题15分)解：(I)因为 f(x) ex ax2(a R),故 f (x) ex 2ax.1 分依题意f (1) e 2a 0,即a e .2分2eee当a 时，f(1) 0,此时切线不与 X轴重合，符合题息，因此 a - . 3分222X (n)由(1)知，f (x) e 2ax,当a 0时，因为x 0,1, e* * * * x0, 2ax 0故 f (x) 0,即 f(x)单增，因此 f(x)maxf(1) e a.依题意，当a0时，f(x)max=e a e2,所以a 0符合题意.5分当 a 0 时，f(x)ex 2a,令 f (x)0,有 x ln 2a.6分f (x), f (x

22、)变化如下:x(,ln 2a)ln2 a(ln 2a,)f (x)一0+f (x)极小值Z故 f (x)min2a 2aln2a2a(1ln 2a).7分当1 ln 2a0时，即0 a£时，f (x) 0, f (x)单调递增，2因此 f(x)max f (1) e a .依题意，令e a 2,有0 a e 2 .8分当 1 In 2a 0 时，即 a e 时，f (1) e 2a 0, f (0) 1 0, 2故存在唯一 x0 (0,1)使f (xc) 0 .9分此时有 ex0 2ax0 0 ,即 ex0 2ax0 , f (x), f(x)变化如下：10 分x(0, x°

23、;)x(x0,1)f (x)+0解法(n)当x 0,1时，f(x)最大值不小于2,等价于f(x) ex ax2 2在x 0,1上有解，显然x 0不是解，x 2 .即a在x (0,1上有解,设 g(x)贝u g (x)xe2xxxe2 x (0,1, :2ex 4-3xx设 h(x)xex 2ex 4 , x (0,1,则 h(x) ex(x 1) 0.所以 h(x)在(0,1单调递减，h(x) h(1) 4 e 0,7分所以g (x) 0,所以g(x)在(0,1单调递增，9分所以 g(x)max g(1) e 2.10分依题意需a e 2 ,所以a的取值范围为(,e 2 .12分解法三(n)由

24、(I)知，f (x) ex 2ax,exx(1)当 a £时，f'(x) e 2ax e ex, xx设h(x) e ex x 0,1, h(x) e e 0,5分所以h(x)在0,1单调递减，故h(x) h(1) 0 .所以f (x) 0,所以f (x)在0,1单调递增,因此 f(x)max f(1) e a.7-分依题意，令e a 2,得a e 2 .8分ex 2 x e 2(2)当 a 时，f (x) e ax e -x , 22设(x)ex ex2, x 0,1,2则(x) ex ex h(x) 0,所以(x)在0,1单调递增，10分e e故(x)max(1) e -

25、 2,即f(x) 2,不符合题意11分2 2综上所述，a的取值范围为(,e 2 .12分2(III )当2 0时，y f(x)有0个零点；当0 a J时，y f(x)有1个零点422当a 土时，y f(x)有2个零点；当a 3时，y f(x)有3个零点. 15分44(21)(本小题14分)解：(I) A (0,0), B (0,1)；A (0,1), B (0,0)；1分A (1,0), B (1,1)；2分A (1,1), B (1,0).3分(n)令 A ®,a2,L ,an),B (bb,L ,bn),C (g,最,L c),对 i 1,2,L ,n,当 C0时，有 |aq|bi|旧 bi | ；4分当c1 时，有 11ac|biCi|1 a (1h)|g n|.5分所以d(A C,B C) ac1|b2C2|+|a2 Q| 也 q|+L