二项式定理(通项公式)

1、精品文福-11-欢迎下载一、指数函数运算知识点：1整数指数幕的概念.an a a a a(n N*)n个a2 运算性质:am an amn(m,n3.注意ma 可看作a01 a（a）n可看作看bn b六、二项式定理a0 1(a 0)1a n -(a 0,nanN*)*Z), (am)namn(m,n Z)(ab)an bn(n Z), 、n(_) =abn ma =a am n =a +m4、a下 例题：Vam ( a>0, m n N,且n>1)*例1求值:SoQ3碍八例2用分数指数幕的形式表示下列各式:1) a2 <a,a32) Va 4, 'a).a a a2

2、111例3计算下歹ij各式（式中字母都是正 数）（2a廿）（6明13(2)(m"nA)8.例4计算下列各式： a 匕而60);(125 .125) 45例 5 化简:(x, y2) (x4 yj例6已知x+x-1=3,求下列各式的值:(1)x2 x(2)x' x二、二项式知识回顾1.二项式定理(ab)Coan C： an B LC：an kbk LC： bn,k以上展开式共n+1项，其中Cn叫做二项式系数,TkiknkkCna b叫做二项展开式的通项（请同学完成下列二项展开式）Coan C： an1b1 L(1)kC： ankbk(1)nC： bn, Tkik k n k k

3、 CnabC： x L C'xkC； xn(2x 1)nC°(2x)n Cn(2x)n1k n kL Cn (2x)C； 1(2x) 1nn 1 Ianx anix Ln kan kX L aix式中分别令X=1和x=-1，则可以得到Cn2n ,即二项式系数和等于2n ;偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即CnCoCn C；n mCm Ck(2 )二项式系数Cn增减性与最大值:n 1当k 时，二项式系数是递增的；当9二项式系数是递减的n当n是偶数时，中间一项C2取得最大值n是奇数时，中间两项Cn2和Cn2相等,3.二项展开式的系数 a。, aba2, a； ,an的性

4、质：f( x)= ao+aiX+a2X2+a； x3(1) 3o+3i+32+3： +3n=f(1)(2) Qo- 3i+32- 33+(-1) b=f(-1)(3) 3o+32+34+36"(4) ai+a； +a5+a71)±A61 1 10 10 * i1 64L7il 35 3? 21 7 1且同时取得最大值n+3,nXI.01式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即二、经典例题1、 “(ab)n展开式例1 求(3.x1)4的展开式;解：原式=")4=(3xA=JLC4(3X)4

5、C4(； X)3C Z(；x)2C Z (； x)ci542 12 181x84xx x【练习1】求(3、X1 )4的展开式X例2.已知在C Xn的展开式中，第6项为常数项C1O( 1产乎(1)求 n;2)求含X2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项解：(1)通项为Tr1 C： X3(1)rC；Il 2rXA因为第6项为常数项，所以仁5时，有一2=0, 3即 n=10.10 2r令3"=2,得r 2所以所求的系数为102rz3根据通项公式，由题意3Or1O,rZ10 2r3k令k(kZ),则r5,故k可以取2,0, 2,即r可以取2, 5, 8.32所以第3项，第6项，第9项为有

6、理项，它们分别为2,1.2 2-5,1.5-8,G2)( )2X2G0(-)5 C,8)(-)2'2'2【练习2】若(._x;L、n展开式中前三项系数成等差数列求：(1)展开式中含X的一次幕的项；(2)展开式中所有X的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知(3Xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x 1)n的展开式的二项式系数和大992,求(2X _1产的展开X式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项(先看例9).解：由题意知，22n 2n 992, 所以2n 32,解得n=5.55Go(2x)( -)58064.X1 10(1)(1)由二项式系数性质，(

7、2x )的展开式中第6项的二项式系数最大X设第r 1项的系数的绝对侑最大，_ T10 r 1 rr10rr 102rQri (2x)10r(-)r( 1)r210rC； oX10X2 9 Mos cc1©rr 11 r C10 2Cw11得 2crCr 1,即b2Cw Cw2(r 1)2ro83 r8得 解11-3,故系数的绝对值最大的项是第 2*4 项，丁4小3 R 4Go2x415360X .练习3已知(、X2)n(nN)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是X3(1)求展开式中含X2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项 4、求两个二项式乘积的展开式指定幕

8、的系数10： 1.例4.(X 1)(X2)的展开式中，X项的系数是解：在展开式中，X3的来源有： 第一个因式中取出X2,则第二个因式必出X,其系数为C：(2打；4 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出X3,其系数为C?(2)436644x3 的系数应为：C7( 2)6 C7( 2)41008,填 1008o5、求可化为二项式的三项展开式中指定幕的系数例5 ( 04安徽改编)(x2尸的展开式中，常数项是X解：(x x 2)3x3 区，该式展开后常数项只有一项X6、求中间项Ox厅，即20 x3,J。的展开式的中间项;解：Tr1 C0（x）i。展开式的中间项为C： （X） 5 （j） 5即：252

9、X16。n1n1n 1n1nln 1当n为奇数时，（ab）门的展开式的中间项是和。丁玄十匕丁 ；nnn当n为偶数时，（ab）的展开式的中间项是o言寸勺，7、有理项例7 （JX尸）。的展开式中有理项共有 项；解：TC（斤问新c）J当r 0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。8求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题（00上海）在二项式（X1） W的展开式中，系数最小的项的系数是解： CM、，r 5,从而可知最小项的系

10、数要使项的系数最小，则r必为奇数，且使c；为最大，由此得为 C, 1 ) 5462（2） 一般的系数最大或最小问题_1例9求（X4）8展开式中系数最大的Tk TklTk Tk1一K K29KK又TrC81.2r1,那么有项；2依k项系数最大，则有即 8l2(2)L(10 K)!(k1)!.(9K)! .2(K1)!©K)!8!KT(8K)!解得系数最大的项为第3项T37x2 和第 4 项 T47xao（3） 系数绝对值最大的项例10在（xy） 7的展开式中，系数绝对值最大项是 解：求系数绝对最大问题都可以将" （ab） n”型转化为“（a b）”型来处理,故此答案为第4项C

11、； x3y和第5项c> 2y5°9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例 11.若（2x.3 ） 4 a ax a2X2 asX3 aqX4 ，则（ae a4） 2 （8） a3） 2 的值为解： （2x . 3 ） 4 a a x a2X2 a3X3 a4X4令X 1,有(2,3)4 a. ai32令X 1,有（2、-3尸(a ao 2a.)(3i 3s)故原式=（aoa a2a3 a4) .(aa.) (aa3) =(2,3)4.( 2-J3)= (1)4【练习1若(12刈2。4 aaix2a?x 2004x2。",则（a：(aoa2L(a0a

12、 2004解：（12刈2。4a， ax2a?x. 2004x2004,令 x1,有(12) 200432a 20040,有(10) 2004ao 1故原式=(a。aia2004)2003 a0=120032004【练习2设(2x1 )6aex6.a ixa。,贝 uaaia2解:Tri C；(2x)6r(1)riaiaA iaA32a3 a4a5 a $（a a2 玄点）佝玄彳a§） =110利用二项式定理求近似值例15求0.9986的近似值，使误差小于0.001 .分析：因为0.9986=（10.002）6,故可以用二项式定理展开计算。(0.002)6解:0.9986=(1 0.002)6 = 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2T3C： .( 0.002)215 ( 0.002)20.00006 0.001,且第3项以后的绝对值都小于0.001,从第3项起，以后的项都可以忽略不计。660.998 =(10.002)1 6 (0.002) = 10.012 0.98812n小结：由(1 x)n 1 CnX CnX2 . CnXn,当X的绝对值与1相比很小且n很大时，X2,X3,.Xn等项的绝对值都很小，