二阶线性微分方程的解法

1、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如y py qy f(x) (1)的方程称为二阶常系数线性微分方 程淇中p、q均为实数厅(x)为已知的连续函数.如果f(x) 0,则方程式(1)变成ypy qyO我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程，把方程式 (1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1 .解的叠加性-xyi与y2是式(2)的两个解，则y CiyiC2y2也是式(2)的解，其中C1,C2是任意常数.证明因为yi与y2是方程(2)的解,所以有yi pyi qyi 0 y2 pyz qy2 0y Ciyi C2y2代入方程(

2、2)的左边，得(Ciyi C2y2) p(Ciyi C2y2) qCiyi C2y2) =Ci(yi pyi qyi) C2(y2py2 qy2)0所以y CiyiC2y2是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有Ci,C2两个任意常数，但它不一定是方程式 (2)的通解.2,线性相关、线性无关的概念及yi，y2，yn，为定义在区间I内的n个函数，若存在不全为零的常数knynO,则称这nki,k2, ,kn,使得当在该区间内有kiyik2 y2个函数在区间I内线性相关，否则称线性无关.例如1, cos2x,sin2x在实数范围内是线性相关的，因为1 cos2

3、 x sin 2 x 0又如x2在任何区间（a内是线性无关的，因为在该区间内要ki k2X ksx2 0必须 ki k2 ks 0.对两个函数的情形港门常数,则yi,y2线性相关，若网常数,则y2yiV线性无关.3 ,二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果yi与y2是方程式（2）的两个线性无关的特解，则yCiyiC2y2（Ci（2为任意常数）是方程式（2）的通解.例如，y y 0是二阶齐次线性方程,yi sin x,y2 cosx是它的两个解，且如tanx常数，即yi多线性无关，所以丫2y Ciyi C2y2 Cisin x C2cosx（Ci,C2是任意常数）是方程yyO的通解.由于指数函数

4、ye，（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因根据指数函数的这个特点,我们用y 来试着看能否选取适当的常数使y ex满足方程（2）.将yex求导，得rx 2rxy re, y r e把y,y,y代入方程（2）得（r2 prq）erXO因为erx 0,所以只有r 2 pr q 0c .只要r满足方程式（3）, y ex就是方程式（2）的解.我们把方程式（3）叫做方程式（2）的特征方程，特征方程是一个代数方程其中r 2j的系数及常数项恰好依次是方程（2） y ,y,y的系数.p p2 4q特征方程（3）的两个根为n,22因此方程式（2）的通解有下列三种不同的情形门）当。时，门J2是两个不相等的实

5、根p p2 4q p p2 4qrl2，22yi e5y2 * x是方程（2）的两个特解，并且网egx常数，即V?yi与y2线性无关,根据定理2,得方程（2）的通解为y Cie c2ex2（2）当p2 4q 0时J1J2是两个相等的实根.nr2p,这时只能得到方程（2）的一个特解yieix,还需求出另2一个解V2，且V2常数，设V2 u（x）,即yi yirixy2 e1 u（x）ri2u).y2 erlx(u riu),erlx (u 2qu*2, y2,y2代入方程（2）,得erix (u22ni n u】nfu nul on整理，得rx mte irixp 1 Fu(2门 p)u (nP

6、 门 q)u0,所以u(2n p)u (npn q)u 0因为门是特征方程（3）的二重根，所以2ri nn c0, 2n从而有uO因为我们只需一个不为常数的解个解，不妨取ux,可得到方程（2）的另yzxerix那么，方程（2）的通解为cierlx C2 xerlx(Ci C2x)erlx.2当P24q 0时，特征方程（3）有一对共规复 根门 i, 2 i （0）于是利用欧拉公 式X(iy】 e , y2 e isin 把 eixcosx x yi,）xV?改写为yix 6x e ix ee x cos x isin x)y2 e xxe ixe ex (cosx isin x)yi,y2之间成

7、共规关系, 取yi = (yi y2)e cos x,2y2 2% (yiy2)e x sin x方程(2)的解具有叠加性，所以, y2还是方程(2)的解，并且Xy2e xSinx fan X常数,所以方程(2)的通解为e cos xy1y e x (Cicos x Czsin x)综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下： (1)写出方程(2)的特征方程2r pr q 0(2)求特征方程的两个根门E2(3)根据门42的不同情形，按下表写出方程(2)的通解.特征方程样prqO的wwn,r2方程y py qy 0的通解两个不相等的实根nr2rixr2Xy Cie 1 C2e 2两个相等的

8、实根nr2y (Ci C2X)erlx一对共轨复根n,2 iy e x (Ci cos x C2 sin x)例1求方程y 2y 5yo的通解.解：所给方程的特征方程为r22r501 2im12i所求通解为e x(Cicos2x C2 sin2x).2例2求方程d s2 2ds0满足初始条件St6 0 4,sdt 2 dt的特解.解所给方程的特征方程为2r 10ri通解为(Ci C2t)e t将初始条件Sw4代入，得Ci 4,于是S(4 C2t)e1对其求导得S (Cz4 Cztje，将初始条件S恒2代入上式，得C2所求特解为(4 2t)et例3求方程y 2y3y 0的通解.解所给方程的特征方

9、程为r 2 2r 3 0其根为门341所以原方程的通解为y Cie3x C2ex二、二阶常系数非齐次方程的解法1 ,解的结构定理3设y是方程(1)的一个特解,Y是式(1)所对应的齐次方程式 (2)的通解，则yYy是方程式(1)的通解.证明把y Y y代入方程(1)的左端：(Yy)p(Yy)q(Yy)二(Y pY qY) (y py qy)=Of(x)f(x)yYy使方程(1)的两端恒等，所以y Y y是方程(1)的解.定理4设二阶非齐次线性方程(1)的右端f (x)是几个函数之和，如ypyqyfi(x)f2(x)而yi与V?分别是方程y py qy fi(x)与 y py qy的特解，那么yi

10、y2就是方程(4)的特解,非齐次线性方程(1)的特解有时 可用上述定理来帮助求出.2.f(x)exPm (x)型的解法f (x) e xPm(x),其中为常数,Pm(x)是关于x的一个m次多项式.方程(1)的右端f(x)是多项式Pm( X)与指数函数e X乘积的导数仍 为同一类型函数，因此方程(1)的特解可能为y Q(x)e5其中Q(X)是某个 多项式函数.把 y Q(x)exv Q(X)Q (x)exy 2Q(x)2Q(x)Q(x)ex代入方程(1)并消去ex,得2Q (x) (2 p)Q(X)( 2 p q)Q(x) Pm(x)(5)以下分三种不同的情形，分别讨论函数Q(x)的确定方法：2

11、(1)若不是方程式的特征方程r2prqO的根，即22 p q 0，要使式(5)的两端恒等，可令Q(x)为另一个m次多项式Qm(X)：Qm (x) boblX b2X2bniXm代入(5)式，并比较两端关于x同次募的系数，就得到关于未知数bo；bi, ,bm的m 1个方程,联立解方程组可以确定出bi(i 0,L ,m) ,从而得到所求 方程的特解为V Qm(x)e x2(2)若县皓7平后程r2 pr q 0的单根,即q 0, 2 p 0,要使式(5)成立,则Q (x)必须要是m次多 项式函数，于是令Q(X)xQm(X)用同样的方法来确定Qm(x)的系数bi(i 0,1, ,m),(3)若是特征方

12、程r 2 p r q 0的重根，即2 p q 0,2 p 0.要使(5)式成立，则Q(x)必须是一个m次多项式，可令Q(X)x2Qm(X)用同样的方法来确定Qm(X)的系数.综上所述，若方程式(1)中的f(x) Pm(x)ex,则式(1)的特解为yxkQm(x)ex，是特征方程2.其中Qm(X)是与Pm(X)同次多项式入按不是特征方程的 根的单根或是特征方程的重根依次取01或2.例4求方程y 2y 3e 2x的一个特解.解 f(x)是 pm(x)e X 型，且 Pm(x) 3, 2对应齐次方程的特征方程为2r o，特征根根为n 0,=2是特征方程的单根，令xboe 2x,代入原方程解得故所求特

13、解为例5求方程y 2y (x l)ex的通解.解先求对应齐次方程2y0的通解.特征方程为r 2 2rlq齐次方程的通解为(Ci C2x)ex.再求所给方程的特解X 1由于1是特征方程的二重根，所以x2(ax b)ex把它代入所给方程，并约去ex得6ax 2b比较系数，得y x2(6xl2)ex62所给方程的通解为yyy (Ci C2X1 x2 1 x3)eX263. f (x) Acos x Bsin x 型的解法均为常数.Bsin x (7)f (x) Acos x Bsin x,其中 A、B、此时,方程式(1)成为y py q Acos x这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式

14、（7）的特解 y也应属同一类型，可以证明式（7）的特解形式为y xk (acos x bsin x)其中a, b为待定常数.k为一个整数.当i不是特征方程r 2 pr q 0的根，k取0;当i不是特征方程r 2 pr q 0的根，k取1;例6求方程y 2y 3y 4sin x的一个特解.解 L ii不是特征方程为r2 2r 3 0的根，k 0. 因此原方程的特解形式为y acosx bsin xy acosx bsin x于是y asin x bcosx将y,y,y代入原方程，得4a2b02a 4b 424解得a2,b45524原方程的特解为：y cosx sin x55例7求方程y 2y 3y ex sin x的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y.对应的齐次方程的特征方程为r22r30n lj2 3Y Ciex C2e3x再求非齐次方程的一个特解y.由于f (x) 5cos2x e x，根据