高中数学 1.5.1(1.5.2)曲边梯形及汽车行驶的路程(2课时）课件 新人教A版选修2-2

1、1.5 1.5 定积分的概念定积分的概念 一般地一般地, ,如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间I I上的图象是上的图象是一条连续不断的曲线一条连续不断的曲线, ,那么就把它称为区间那么就把它称为区间I I上的上的连续函数连续函数. .aboxyaboxy 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连在直角坐标系中，由连续曲线续曲线y y= =f f( (x x) )，直线，直线x x= =a a、x x= =b b及及x x轴所围成的轴所围成的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这

2、条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）看作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形

3、的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近近似为似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。然后用矩

4、形面积代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？ 以直代曲以直代曲 Oabxy)(xfy Oabxy)(xfy例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形的面积。的面积。 n1n2nknn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解: :把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后

5、在每个分点作底边的垂线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把然后把这些小矩形的面积加起来这些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值得到一个近似值: :2xy 因此因此, , 我们有理由相信我们有理由相信, , 这这个曲边三角形的面积为个曲边三角形的面积为: :lim111lim1261.3nnnSSnn n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy 小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 有理由相信，分有理由相信，分点越来越密时，即分点越

6、来越密时，即分割越来越细时，矩形割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲面积和的极限即为曲边形的面积。边形的面积。（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 （4 4）取极限取极限 oxy(3)(3)求和求和1.5.21.5.2汽车行驶的路程汽车行驶的路程1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSD1nS-D1n2n3njn1nnnn-01snD11snD31snD11nsn-D31snD上图中上图中: :所有小矩形的面积之