线段的垂直平分线

1、线段的垂直平分线宛平中学 韩群一、教学目标：（1）知识与技能：1、理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理， 并能利用它们来进行证 明或计算。2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。（2）过程与方法：通过动手操作、猜想，逻辑证明、应用的过程，学会研究问题的一般的数学 方法，初步渗透集合的观点和用交轨法确定某一个点的位置，体会数学从生活中来，到生活中去。（3）情感态度与价值观：了解数学和生活的紧密联系，增强运用数学的能力。数学问题源于生活实践， 反过来数学又为生活实践服务，热爱生活、热爱数学。二、教学重点、难点：重点：线段垂直平分线定理及其逆定理的推导及应用。难点：定理及逆定理的

2、区别和联系。三、教学过程（一）生活实例设疑导入：1、浦东新区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C之间修建 一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相 等？（留有悬念，暂时不解决，学习了今天的内容，你就可以做城市规划师啦！）（二）新课动手操作：作线段AB的中垂线MN ,垂足为C;在MN上任取一点P,连结PA、 PB;量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得出什么规律？学生得到：PA=PB PiA=PiB、 由学生归纳成命题，老师给予纠正，使 规范。请同学们在课堂练习本上做线段 AB的垂直平分线 MN在MNk任取一点P,连结PA、PB,量出PA

3、=?, PB=?观察这两个值有什么关系？通过学生的观察、分析得出结果 PA=PB,再取一点P，试一试仍然有 P A=P B,引导学生猜想 MN上 的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题（用幻灯展示）。命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命 题才能作为定理。我们来证明这个命题的正确性： 已知：如图，直线 MNLAB,垂足为C,且AC=CB.求证：PA=PB（由学生完成）证明：: PC! AB （已知） 丁 / PCAN PCB （垂直的定义） 在 A PCAffi A PCB中PC -

4、 PC 2PCA = /PCB 、AC = BC A PCA A PCB（SAS 即：PA=PB（全等三角形的对应边相等）。性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 注：点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 可见，定理是证明两线段相等的依据。反过来，如果PA=PB RA=PB,点P, Pl在什么线上？过P, R做直线MNi AB于C,可证明A PA RPB Pi （SSS 得至ij /APP=/BPP MN等腰三角型A PAB的顶角平分线.MN AB的垂直平分线（等腰三角形三线合一性质）（启发学生叙述）.P, Pi在AB的

5、垂直平分线上，于是得出上述定理的逆定理逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。注：点P在线段AB的垂直平分线上 一PA=PB和一条线段两个端点距离相等的/点，在这条线段的垂直平分线上。 /A、 C / B可见，逆定理是证明点在直线上的依据.P1N点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB我们知道，任何图形都是由点构成的，因此图形可以看作是点的集合。由上述定 理和逆定理，线段的垂直平分线可以看作是符合什么条件的点的组成的图形？ 用集合的观点描述线段的垂直平分线：线段的垂直平分线可以看作是和这条线段 的两个端点的距离相等的所有的点的集合。（三）辨析（内化熟悉定理和逆定理）一

6、、判断题：1、如下图直线MN垂直平分线段AB ,则AE=AF。ME=NE 。2、如下左图线段MN被直线AB垂直平分，则03、如上右图PA=PB,则直线MN是线段AB的垂直平分线（四）、证明举例:例1:已知，如图A ABC中，边AB, BC的垂直平 分线相交于点P,求证：PA=PB=PC证明：二点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB(同理PB=PCPA=PB=P C由例题PA=P（C知道点P在AC的垂直平分线上,所以三角形三边的垂直平分线交于一点 P,这个点到三个顶点的距离相等。例2、已知：在A ABC中，ON是AB的垂 直平分线，OA=O C求证：点。在BC的垂直平分线上。证明：连结OB: O

7、N是AB的垂直平分线（已知） . OA=OB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）v OA=OC（已知）. OB=OC（等量代换）点。在BC的垂直平分线上（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）现在我们来看课前的问题，请同学们思考:浦东新区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修实际问题数学化建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的 距离相等？求作一点P,使它和已 ABC的三个 顶点距离相等.此题就是刚刚的例1,其实P点是三角形三边垂直平分线的交点。由于三角形三 边的垂直平分线交于一点，因此只做两条边的中垂线

8、即可。我们再看另一个实际问题：在沪宁高速公路L的同侧，有两个化工厂 A、B,为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医 院的院址应选在何处？院址应同时满足两个条件：（1）在公路L上；（2）到A、B两厂的距离相等。 解决问题的关键在于满足条件（2）.两个条件同时满足的点就是 P实际问题数学化:、/如图，在直线L上求作一点P,使PA=PB./>BPL/PA=PB数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务五、小结：本节学习了线段垂直平分线定理与逆定理，定理是证明两线段相等的依据, 而逆定理是证明点在直线上的依据.六、补充练习：1、已知：AABC是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，ABCD的周长为24cm,ABC腰长为14cm,求底边BC的长。ED_LAC 于