二项式定理知识点总结

1、二项式定理一、二项式定理：a b n =C0an Clab C：anJV C：bn （ N ”）等号右边的多项式叫做a b的二项展开式，其中各项的系数Ck （k =0,1,2,3n）叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n 1项（2）字母a按降幕排列，从第一项开始，次数由 n逐项减1到0；字母b按升幕排列，从 第一项开始，次数由 0逐项加1到n（3） 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a, b，等式都成立，通过对 a,b取不同 的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a = 1, b二x，则1 x n =C；xn C：xn“ C：xn（ n N ”）（4） 要注

2、意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式（a + bf展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式a b n二、二项展开式的通项：丁二C：aZbk二项展开式的通项 Tk 1二Ckan°bk （k =0,1,2,3n）是二项展开式的第 k 1项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律， 是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幕的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项 Tk1 二C：an'bk （k =0,1,2,3 n）的理解:（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中

3、共含有a, b, n,k,Tk1这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1 C： +3C； +9C+3ndC：等于()A. 4n B。3 4： Co - -1 D.4133例2. (1 )求(12x)7的展开式的第四项的系数；193(2)求(X)9的展开式中X3的系数及二项式系数+X三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即COn 1n1 2n_2kn _k .n -Cn，Cn -Cn ，Cn -Cn ， Cn - Cn ，增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二

4、项式系数最大，即n偶数：C： max ；nn卅如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即Ck max二CF二CF二项展开式的各系数的和等于2n，令a=1，b=1即cO+C； +C； =(1+1)n =2n ；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a = 1， b=-1即0 2 1 3 nC n Cn_Cn C n_211例题：写出(x-y)的展开式中:(1 )二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3 )项的系数最大的项和系数最小的项;(4) 二项式系数的和；(5) 各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1 )求多项式(印 a an)n的展

5、开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用 二项式定理展开。1例题：求多项式(X22 -2)3的展开式x(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。例题：求(1 X)2 (1-X)5的展开式中X3的系数例题:(1)如果在X 2的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。(2 )求-2 的展开式的常数项。【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知（1 -2x）7 = a0 - a1x - a2x整

6、除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为一1，若k为其他数，则需对幕的底数k再次构造 a7x7，求：(1)aia2丨 I ( 'a7；( 2)aia3a5*7 ；( 3)|a。| |ai| 11 ( | a71.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2 ）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。如证明：2>2n（n >3, nw N 取 2“ = （1 +1 j的展开式中

7、的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当n不是很大，| x |比较小时可以用展开式的前几项求（1 - x）n的近似值。例题：（1.05）2 和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了 要注意余数的范围，对给定的整数a,b（b = 0），有确定的一对整数 q和r，满足a = bq r , 其中b为除数，r为余数，r b,|b】，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数 例题：求201363除以7所得的余数的计算结果精确到 0.01的近似值是（）A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34例题：若n为奇数，则7n «

8、;：7心，C；7n， 弋：7被9除得的余数是（）A. 0 Bo 2 Co 7D.81例题：当 n N 且 n >1,求证 2 (1)n ： 3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的10在X _ 3的展开式中,x6 *的系数为A. 27C：oB.27C：oC - 9C6o4D. 9C4o已知 a b 0,b = 4a,a b n的展开式按a的降幕排列,其中第n项与第n+1项相等，那么正整数n等于A. 4B.C. 10D.11已知(.an的展开式的第三项与第二

9、项的系数的比为11 :2,则A. 10B. 11C4. 5310被8除的余数是A. 1B. 2c12D.13()3D.7()1.33D.1.34二项式 2- 41I VxA. 1B. 2C. 31 1t，其二项式系数之和为h,若t+h=2 72，则展开7.设(3x3+x2)n展开式的各项系数之和为式的x2项的系数是A. 1B. 1C. 22&在(V x-x2)6的展开式中x5的系数为D. 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7（；宵琲）n展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是10.11.A. 330B. 462C.680D. 790C.X 1)4(X -1

10、)5的展开式中,4X的系数为A. 40B. 10C.40D. 45二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为且系数最大的一项的值为则x在0 , 2 n 内的值为A.或上6312.在（1+X）5 + （1+X）6+（1+X）7的展开式中，含X4项的系数是等差数列an=3n 5 的A.第2项B. 第11项C. 第20项D. 第24项二、填空题：本大题满分 16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果 13. （x2 -丄）9展开式中X9的系数是 .2x14. 若（2x + J3 ） =a° +ax + +a4X，则（a。+a? +a4 f - +a3 f 的值为15. 若（x

11、3，x ）n的展开式中只有第 6项的系数最大，则展开式中的常数项是 16. 对于二项式（1-x） 1999，有下列四个命题:展开式中 T1000 =1000999 ；C1999X ； 展开式中非常数项的系数和是1; 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项; 当x=2000时，（1-X） 1999除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 74分.A17.三、四项的二项式系数成等差数列.（12分）若（6 x 6）n展开式中第二、<x（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么?118. （12分）已知（2x）n的

12、展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项4式系数最大的项的系数.19. （12分）是否存在等差数列 a、使a1C0n a2C； a3c2 an .Q； = n公对任意n 3 n*都成立？若存在，求出数列 'an ?的通项公式；若不存在，请说明理由.20. （ 12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占 有量比现在提高10%。如果人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩（精确到1亩）？11 ,这是21. (12分)设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值22. (14分)规定C；二一以一山1)，其中xR,m是正整数，且C0=1,m!组合数C： (n、m是正整数，且 mW n)的一种推广.3(1