CH1-4铁磁(4)-临界行为

1、1-4(4)-Critical Behaviorsu平均场理论的失败与临界实验规律平均场理论的失败与临界实验规律u相变与临界行为的特征之一普适性相变与临界行为的特征之一普适性u相变临界现象的特征之二标度性相变临界现象的特征之二标度性u重整化群理论重整化群理论.相变温度相变温度 附近附近()cTT一一.平均场理论的失败与临界实验规律平均场理论的失败与临界实验规律1. 平均场理论的失败平均场理论的失败 不成功不成功 需要进一步研究的需要进一步研究的0T2/31aTS11SaTMFTBloch LawMFT: mean field theory NGT: normalization group th

2、eoryCTT )(0TCp)(TTCS1/2NGT: 1/3NGT: = 1.24 (实验实验)MFT: =1CTTMFT:CTT( (实验实验) )前提：分子平均场的来源？前提：分子平均场的来源？why: ?HM海森堡量子海森堡量子理论理论重整重整化群化群自旋波自旋波TTC顺磁铁磁p/1TTcT0K比热比热: : 32 CTT2.深入实验探索深入实验探索(1) (1) 自发磁化强度自发磁化强度CCTTtT0SsMM t1213(2) (2) 磁化率磁化率0( )( )ttCTTCTT143MFT实验实验MFT实验实验( (3)3)状态方程状态方程HCMCTT34.5MFT实验实验(4) (

3、4) 比热比热CTTcAt00MFT实验实验顺磁顺磁- -铁磁相变是二阶铁磁相变是二阶- -连续相变连续相变令令: :磁化曲线磁化曲线( (5)5)关联函数关联函数定义定义: : ,()( )( )( )( )ijiijjG r rrrrr( )( )iirr代表代表 处处 对其平均值对其平均值的偏离的偏离ir( ,)ijG r r 是元是元( (自旋自旋) )磁矩的空间相关性量度磁矩的空间相关性量度ijrrr设 与 的距离为 ，由准涨落的热力学可推出1( ) rG rer是其关联效应：两个磁矩的相干是其关联效应：两个磁矩的相干( (关联关联) )长度长度2( ) dG rr CTT00MFT

4、实验实验(r=rj-ri)（d: 空间维度）空间维度）(6) (6) 关联长度关联长度0tCTT1223MFT实验实验CTTt 0, 整体关联整体关联 ！ (7)(7) 无外磁场时铁磁体的磁比热 mCT磁比热磁比热 0022HHmTGTTUC用分子场近似，计算铁磁体与磁化有关的内能用分子场近似，计算铁磁体与磁化有关的内能 : eU 无外场时（ ），磁体内仍有分子场 ，因而有磁化能,在分子场作用下，第 个原子的磁化能00HMHie jszMSjzMHgS H 设单位体积内有 个原子，则系统与磁化有关的内能 nejenU21 1/2因子是为避免重复计算原子间相互作用而引入的（HM来自各个原子） e

5、 je j220221212121sMMjzeMMMHHSngsU磁比热磁比热 20esmsdUdCMdTdT 故是对所有原子的磁化能 取平均。对于铁磁体,是对自旋取平均MHM0sM sM关系TTC1230CmTTCC1CExpt.EuSCm+CL1TTC 时，为顺磁态，时，为顺磁态， , ,得得0s0mC322222032) 1() 135TcTTcTSSSMCm（3. T=Tc 时,对上式 得 0) 1() 151) 1()SSnkTcSSSMCBm（结论结论：2）实验表实验表明，明，EuS的比热的比热 Cm+CL在在Tc点有一个对数的奇异性和一个点有一个对数的奇

6、异性和一个高温的尾部（重整化群理论可得到）高温的尾部（重整化群理论可得到）, , CL是晶格比热是晶格比热 1) 1) 分子场理论分子场理论： 在在T T=T=TC C处有一个有限的、处有一个有限的、 不连续的值（跃变），表明是二不连续的值（跃变），表明是二 级相变级相变 2TTC，但 ,由 关系由得,表明自发磁化对比热的贡献为零表明自发磁化对比热的贡献为零20esmsdUdCMdTdT 磁比热磁比热3441B ( )(21)1 /(2 )345SSSxxxSSS（20a）mCTCTT 3. 统计统计model -新的理论探索新的理论探索(1)平均场理论仅是对热力学函数的一些合理假定得出的推论

7、平均场理论仅是对热力学函数的一些合理假定得出的推论-不是统计物理不是统计物理(2) 统计物理可否解决相变问题统计物理可否解决相变问题?a)a) 统计物理的三步曲统计物理的三步曲: : 第一第一, , 求出微观体系的能谱求出微观体系的能谱- -力学或量子力学力学或量子力学 第二第二, , 对全部能谱求和对全部能谱求和- -给出配分函数给出配分函数( (慨率论中的慨率论中的特征函数特征函数) )真正意义的统计真正意义的统计 第三第三, , 建立统计量与热力学的关系建立统计量与热力学的关系, , 数学方法数学方法: :取对数取对数- -微分微分 ( )BNk TiZ Teln( )BFk TZ T

8、,VTFFSPTV 统计统计热力学热力学b) b) 统计物理可否描述相变统计物理可否描述相变? ? Suspicion:/Bk Te是光滑函数是光滑函数, , 配分求和只能是更光滑配分求和只能是更光滑, ,而相变中的物理量是连续性的尖峰而相变中的物理量是连续性的尖峰( (比热比热) )或中断或中断( (磁化强度磁化强度)?)?(1937年荷兰纪念范德瓦尔斯诞辰100年的国际学术会争论激烈 表决：赞成反对5/5)Yes: (会议主席克喇末)相变信息已包括在统计配分函数内相变信息已包括在统计配分函数内, ,只有在取了只有在取了”热力学极热力学极限限, ,” 既既, ,但但 有限有限, ,尖峰、断裂

9、的突变才显现出来。尖峰、断裂的突变才显现出来。,NV /N VWhy? 数学的启示连续的函数可能具有不连续的极限行为数学的启示连续的函数可能具有不连续的极限行为th()axaxaxaxeeyaxee1 (0)( )th()1 (0)limaxxaxx2)（3）统计）统计model 思路基点思路基点: : 完全避开第一步求微观体系能谱，而是设定一个模型完全避开第一步求微观体系能谱，而是设定一个模型给出其能谱，集中全力计算配分函数给出其能谱，集中全力计算配分函数 Haisenberg Model : :3SD 空间可连续取许多可能值空间可连续取许多可能值难解难解?!?!简简化化XY Model:

10、2Dxy平面连续取许多值平面连续取许多值Potts Model:取取N个分立有限值个分立有限值Ising ModelN=2, , 仅取两个分量仅取两个分量1920年德国楞次提出，Ising Ph.D thesis统计模型的计算结果统计模型的计算结果Only 只有只有Ising model 有解的结果有解的结果模型简单，求解难！模型简单，求解难！1D： Ising (1925), Tc=0, no phase transition 2D: Peierls, , 克喇末等（克喇末等（1941）从物理角度证明有相变，）从物理角度证明有相变， 仅求出仅求出th()21BcJ k T杨振宁杨振宁 （19

11、52年）第一个给出详细推导年）第一个给出详细推导昂萨格昂萨格 （19491949）给出严格解）给出严格解 Cp-T ( (No 解的过程解的过程) )1( ) 8M tt 3D： no solution? 二二.相变与临界行为的特征之一相变与临界行为的特征之一 普适性普适性(universality)(universality)指指: 连续相变连续相变- -二阶以上相变和一阶相变的结束点二阶以上相变和一阶相变的结束点- -临界点临界点第一类普适性第一类普适性: 顺磁顺磁- -铁磁连续二阶相变的性质与具体材料无关铁磁连续二阶相变的性质与具体材料无关! !CrBr3, EuO, Ni, 钇铁石榴石

12、钇铁石榴石, Pd3Fe完全五完全五种不同种不同铁磁性铁磁性第二类普适性第二类普适性: 连续二阶相变的性质与具体相变连续二阶相变的性质与具体相变“型式型式”无关无关! !A A） 物理量的相似性物理量的相似性结构结构合金合金铁磁铁磁铁电铁电Universality相变普适归一性：铁磁、铁电、超导、超流、气液、液晶、渗流、合金有序无序铁磁、铁电、超导、超流、气液、液晶、渗流、合金有序无序铁磁铁电气液MP（密度）（密度）HEP（压力）压力）C H=0CE=0CPmeT( (等温压缩率等温压缩率) )广延广延强度强度外场外场响响应应2)B）理论的相似性）理论的相似性铁磁居里外斯铁磁居里外斯铁电居里外

13、斯铁电居里外斯水范德瓦尔斯方程：水范德瓦尔斯方程：00effMHHHHM2BNPaVNbNk TV （b分子体积分子体积, (N/V)2a-分子间相互吸引的内压力）分子间相互吸引的内压力）（1873：荷兰莱顿博士论文）：荷兰莱顿博士论文）两个基础： 一是理论上理想气体状态方程 二是实验上安德鲁斯德（题目：论气态与液态的连续性）Landau 二阶相变理论二阶相变理论平均场之集大成平均场之集大成 与物质无关与物质无关,与相变与相变“形式形式”无关无关2460111()( )( )( )( )246F MF Ta T Mb T MC T M自由能自由能: :用热力学方法讨论用热力学方法讨论可以给出可

14、以给出TTcTTc附近所有相关物理量与温度的关系附近所有相关物理量与温度的关系即临界指数即临界指数, , , , , 连续相变的共同特征：连续相变的共同特征：（1 1）有一个临界温度Tc， Tc以下序参量M不为零，TTc M0（2）临界点TTc有对称破缺（3）临界点附近关联长度 （4）相变的临界区共性更为突出，各体系个性退居次要地位，不仅定性一致，而且定量临界指数也基本一致普适性。 但临界指数与空间维数d和序参量分量个数n有关.平均场的普适性太强，临界指数与平均场的普适性太强，临界指数与d与与n无关，不符合实验结无关，不符合实验结果果三三.相变与临界行为的特征之二相变与临界行为的特征之二 标度

15、性（标度性（Scaling ）1.1.相变临界点的物理实验结果相变临界点的物理实验结果临界乳光临界乳光 与安德鲁斯图与安德鲁斯图- -气液不分气液不分2.连续相变的物理图像连续相变的物理图像P90图: 新相长大新相长大, ,关联的增加关联的增加, ,集团的归并集团的归并每一个小斑内自旋取向基本一致每一个小斑内自旋取向基本一致!3. 3. 临界点临界点TcTc时时- -自相似自相似- -与标度不变性与标度不变性 cTT 自相似自相似- -标度不变标度不变! !谢宾斯基垫片谢宾斯基垫片谢宾斯基地毯与海绵谢宾斯基地毯与海绵标度假定标度假定1/(/)H Mh tMKadanoff 发现发现对铁磁体取对

16、铁磁体取即即: :将磁场用将磁场用 标度标度, , 将温度用将温度用 标标度度则则标度后的磁场标度后的磁场vsvs标度后的温度的普适函数标度后的温度的普适函数与物质种类无关与物质种类无关M1/t4. 临界指数的标度关系临界指数的标度关系 利用标度变换利用标度变换-归并方法归并方法D D维正方格子维正方格子, ,每边每边n n个个, ,总共总共n nD D个自旋为一个集团个自旋为一个集团, ,相相对温度为对温度为t, t, 磁场为磁场为h, h, 则每个格点的自有能为则每个格点的自有能为( , )( ,)DnnF t hnF t h,xynnttnhhnx y设：是未知幂次( ,) ( ,)Dy

17、 DnnnnnnF t hhFMnnM t hhhh 由若取若取: 0,1nnhht :( ,0)( 1,0)M ttDxMy得xnttn同理有同理有: :2(2)/D xyDxy Dy消去消去x,y22(1)2 对关联函数对关联函数,关联长度其表示为关联长度其表示为(2)2D六个临界指数并不独立六个临界指数并不独立- -四个方程四个方程- -仅有两个独立仅有两个独立临界点附近各物理量的奇异性用幂次表示已是标度性的体现临界点附近各物理量的奇异性用幂次表示已是标度性的体现, ,指数间的关联进一步揭示高度相关的物理内涵指数间的关联进一步揭示高度相关的物理内涵2.深入实验探索深入实验探索(1) (1

18、) 自发磁化强度自发磁化强度CCTTtT0SsMM t1213(2) (2) 磁化率磁化率0( )( )ttCTTCTT143MFT实验实验MFT实验实验( (3)3)状态方程状态方程HCMCTT34.5MFT实验实验(4) (4) 比热比热CTTcAt00MFT实验实验顺磁顺磁- -铁磁相变是二阶铁磁相变是二阶- -连续相变连续相变令令: :磁化曲线磁化曲线( (5)5)关联函数关联函数定义定义: : ,()( )( )( )( )ijiijjG r rrrrr( )( )iirr代表代表 处处 对其平均值对其平均值的偏离的偏离ir( ,)ijG r r 是元是元( (自旋自旋) )磁矩的空

19、间相关性量度磁矩的空间相关性量度ijrrr设 与 的距离为 ，由准涨落的热力学可推出1( ) rG rer是其关联效应：两个磁矩的相干是其关联效应：两个磁矩的相干( (关联关联) )长度长度2( ) dG rr CTT00MFT实验实验(r=rj-ri)（d: 空间维度）空间维度）(6) (6) 关联长度关联长度0tCTT1223MFT实验实验CTTt 0, 整体关联整体关联 ！重整化群理论重整化群理论1. 物理背景物理背景因在相变时体系的关联长度：因在相变时体系的关联长度： 这是一个真正的多体问题这是一个真正的多体问题一般多体一般多体： 虽然体系由大量粒子组成，虽然体系由大量粒子组成， 但可

20、能简化少体问题但可能简化少体问题 例：例： 晶格动力学：晶格动力学： 最近邻近似最近邻近似 电子能带轮：电子能带轮： 单电子近似单电子近似真正多体真正多体: : 所有粒子互相关联所有粒子互相关联, ,不可简化不可简化12121212( ,. .,.) ( ,. .,)( ,. .,)iiiiH r rrp ppr rrEr rr难解难解!统计的三步曲之一统计的三步曲之一(1) 困难困难(2) 出路出路:成也萧何成也萧何 败也萧败也萧何何标度不变性标度不变性从微观从微观 宏观宏观: : 一切尺度均是一样一切尺度均是一样, , 可以忽略其细节尺度可以忽略其细节尺度相变问题的三个特征尺度：相变问题的

21、三个特征尺度： 反映物质微观结构的晶格常数反映物质微观结构的晶格常数 a 反映多体作用范围的关联长度反映多体作用范围的关联长度 放大镜的分辨率放大镜的分辨率-细致程度细致程度 r相变点附近相变点附近: : 相变点相变点: arar r有了无限的活动范围有了无限的活动范围即即: : 无论取多大的无论取多大的r平均平均, ,只要只要 r a, , 所得结果就是一样所得结果就是一样微观尺度的运动被平均掉！微观尺度的运动被平均掉！这里：临界点关联长度取向这里：临界点关联长度取向 本事一件坏事，本事一件坏事， 现在变成了一件好事有标度不变现在变成了一件好事有标度不变 2.具体思路具体思路u重整化群方法重

22、整化群方法: : 量子场论量子场论(Feymann) (Feymann) 解决解决: : 电荷及基本粒子的高能发散电荷及基本粒子的高能发散uWilsonWilson移植移植(1971)-Noble Prize 1982 (1971)-Noble Prize 1982 重整化群重整化群- -不动点不动点 相变问题相变问题- -临界点临界点u具体具体: ,.ijijijiji jijijS SHJ S SDr最近邻交换偶极重整化变换重整化变换: :(,)lijR S S(,)lijR S SHH R R的集合构成一个群的集合构成一个群( (半群半群) ) 有有: : 单位元单位元, ,封闭性封闭性

23、, , 结合率结合率; ; 没有没有- -逆元逆元 (,)lijGG R S S物理上物理上: :求求 将将 H 的本征函数的本征函数- -本征值问题本征值问题求群求群 G 的不可约表示的生成元的不可约表示的生成元类似类似: : 球函数球函数 - -角动量角动量数学上数学上: : ,.ijijijiji jijijS SHJ S SDr实际一组实际一组: : Jij, Dij, 参数参数 确定一个确定一个H 重整变换即变换重整变换即变换JJijij,D,Dijij, , JJijij,D,Dijij,构成一个参数空间构成一个参数空间 重整变换即使参数空间的参数坐标移动重整变换即使参数空间的参数坐标移动不动点不动点相变临界点相变临界点重整变换基本步骤重整变换基本步骤: : 1. 1. 进行粗粒平均进行粗粒平均 2. 2. 将尺寸和自旋重新标度将尺寸和自旋重新标度, ,使其与原来一致使其与原来一致基本思想基本思想: : 不是去算配分函数不是去算配分函数, ,而是研究那些使配分函数保持不变的变换性质而是研究那些使配分函数保持不变的变换性质 它们构成它们构成- -半群半群( (有单位元、封闭性、结合率，有单位元、封闭性、结合率，没有逆元没有逆元) )基本类型：基本类型： 动量动量N