一、正项级数及其审敛法 ppt课件

1、一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、小结二、小结 思索题思索题第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 常数项级数都有哪些方式呢？ 常数项级数有下面几种方式。常数项级数 正项级数 交错级数恣意项级数普通项级数1.正项级数的定义假设级数1nnu那么称之为正项级数.满足, ) , 2 , 1( 0nun 本质上应是非负项级数收敛 1nnu2.正项级数收敛的充要条件正项级数Sn 有界.它的部分和数列 正项级数的部分和数列是单调添加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必有界级数能否收敛？1121nn该级数为正项级数, 又有nn21121(n =1, 2, )故 当

2、n 1 时, 有nkknkknS1121121即其部分和数列 Sn 有界, 从而, 级数. 1211收敛nn解解21121121n1211n 例13. 正项级数敛散性的比较判别法且 0 un vn ( n = 1, 2, ) , 11nnnnvu 与设有正项级数 . , (1)11收敛则收敛若nnnnuv . , (2)11发散则发散若nnnnvu大收小收, 小发大发.判别级数13sin2nnnx的敛散性. ( 0 x 0 ) 的敛散性.当 p1时, P 级数为调和级数:, 11nn它是发散的.当 0 p 1 时, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 项 7151413121111pp

3、pppnpn而12121213121ppppp对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：ppp1519181 pppp41414141ppp715141ppp1519181ppp818181 2112141pp3 112181pp故当 p 1 时, P 级数收敛.综上所述: 当 p 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散. ,数的每一项均级数加括号后生成的级于是 P , 121 1应项为公比的等比级数的相小于以pr4.比较判别法的极限方式;, 2 , 1( 0 ,nvn且设和为两个正项级数 ,lim ). 0则若开始或从某一项nnnvuN . , 0 ) 1 (11具有相同的敛散

4、性与时nnnnvu. , 0 )2(11收敛收敛时nnnnuv. , )3(11发散发散时nnnnuv , 11nnnnvu 与设有正项级数判别级数1221nan的敛散性 ( a 0 为常数).由于111lim22nann( 即 = 1 为常数 )又11nn是调和级数, 它是发散的,1221nan发散.解解原级数故 例4 . ! )2(! ! 2! 1 1的敛散性判别级数nnn解解! )2() ! ( ! )2(! ! 2! 1 nnnnnun) 12()2)(1(21nnnnvnn)2)(1(21,211)2)(1(21lim 2nnnn而,210 即由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：

5、. , )2)(1(2111从而原级数收敛收敛nnnvnn 例55.达朗贝尔比值判别法 , lim , 11则存在极限为正项级数设nnnnnuuu(1) 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.判别级数122nnnx的敛散性, 其中, x 0 为常数.222)1(21) 1(limlimnxnxuunnnnnn即 = x2 , 由达朗贝尔判别法：解解记，22nxunn那么2222) 1(limxnxnn 需求讨论 x 的取值范围 例6当 0 | x | 1 时, 1 时, 1, 级数发散.当 | x | =1 时, = 1, 但原级数此时为1212

6、21nnnnnx这是 n = 2 的 P 级数, 是收敛的.综上所述, 当 0 1 时, 原级数发散.)0( . ! 1xnnxnnn的敛散性判别级数解解这是一个正项级数:),0( ! xnnxunnn! ) 1(! ) 1(limlim111nxnnnxuunnnnnnnn,11limexnxnn1)( ; , 0 原级数收敛时当ex1)( ; , 原级数发散时当xe , 1)( 时当ex , , 1euun 又故 . , 0lim ,原级数发散从而nnu 单调添加有上界,以 e 为极限. 1, 11e1nnnnuu 例7 . 2lim nnn求 , 2 ,2 1而为正项级数则级数令nnnn

7、nnu 1),21 ( 212 2 ) 1(limlim11即nnnnnnnnuu由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛. 由级数收敛的必要条件得 . 02lim nnn 例8解解6. 柯西根值判别法 , lim , 1则极限为正项级数设nnnnnuu(1) 1 ( 包括 = )时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.)0( . 1 12aaannn的敛散性判别级数解解 . , 21 , 1 1显然是发散的原级数为时当na , 11lim1lim , 10 22aaaaaannnnnnn时当 , 11111lim1lim , 1 22aaaaaannnnnnnn时当 .