二次根式计算专题训练

1、二次根式计算专题训练解答题（共30小题）1 计算：（1）；（2）（.三 + 亍）+ （.=,；.污）.(2) . = 4.丄(乙匚).2计算：（1）（"3.14 0+l 一 21 一 厂+八厂2(3)( x 3) (3 - x)(x 2)3.计算化简：（1）匚 + =+ r(2) 2 = 6 亠+3 U.4.计算(1)匚+ “ .=(号0)(畧+0) +2 gcxl)(节+卜)(寸)EX (冒博)(0)+T-9 ecxl(cxl)粵芒+EO)(04)弓爲(L) 雯 + 置OECXIO)均CXIX 詈 EXE (L) 辭 Js!«l*!逹疋>!8 计算：(1) 1+ -

2、=+ -9计算(1).二-4.丄 +.=-乙(2) (1- .) (1+ ) + (1+ 二)210.计算:(1). = - 4.：;丄+ 匚(2)匚+2 = -( .F-二)(3) ( 2 _+ -) (2 二-);(4) 】+-(二 1)0.11.计算：(1) (3 二+:市-4 )十12计算:4二+ 77 -匚+4匚；购(7+4 _) ( 7-4 _)-( 3 匸-1)13.计算题(1) Hx 下(3)( - 1- 7)(- 7+1)(5) 二十二-X下+玉14.已知:b=,求 a2+3ab+b2 的值.15已知x, y都是有理数，并且满足，求r的值.16化简：叮 a . 2 -：717

3、计算:(1) 9 二+5 = - 3;(3)(! .'0 2016 ( - 7) 2015丄18计算：，：一19.已知W匕匚+，；二:.-4，计算x- y2的值.2°已知：a、b、c是ABC的三边长，化简L,-:-21 已知 1v xv 5,化简：.- |x-5| .22. 观察下列等式： 一二 一 '； 1 1 二 _=打_ _I 十-1回答下列问题：(1) 利用你观察到的规律，化简：一 15+V23(2) 计算.=+ 1 + +1+V3 后忑 荷街:ViiWioi23. 观察下面的变形规律：；=、，二:，丄， l 厂二；解答下面的问题:(1)若n为正整数，请你猜想

4、1 =Vn+1+ Vn(2) 计算:)x(沖1 一 + + +V2+1 V3+V2 V4+V3V2016+V201524. 阅读下面的材料，并解答后面的问题:.一-：.1 '1-V3V2V3+V21= V4W3=V4+V3 （VI+V3）（V4/3）（1）观察上面的等式，请直接写出'（n为正整数）的结果 ；26 计算(1) | 二-2| -【+2 二（2）底-存质.(2) 计算(- J (- I)=（3） 请利用上面的规律及解法计算松+TfT7”+W）（苗.25. 计算:(2) 55-価 +42.27.计算込任）十庞.28 计算(1) 9+7 - 5+2 _(2) (2- 1)

5、 (2+1)-( 1-2 7)29.计算下列各题.(1) (：-妁)1&上+3 -二忑X(1) 9+7 门 - 5+230.计算(2) (- 1) (+1)-(1 - 2)2二次根式计算专题训练参考答案与试题解析解答题(共30小题)1. (2017春?钦南区校级月考)计算：(1) 不+；(2) ( ?+ 不)+ (：).【分析】(1)首先化简二次根式，进而合并得出答案；(2)首先化简二次根式，进而合并得出答案.【解答】解：(1)+=2 二+5 "=7 "(2)(下+ 不)+ (=-)=4* 岁+2"寸.；+2* '：； -!.；=6 ；+心.【点评

6、】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.2. (2017春?东港区月考)计算：(1) ( n 3.14) °+|2| + ) 2 .3(3) (x 3) (3 x) ( x 2) 2.【分析】(1)直接利用零指数幕的性质结合负整数指数幕的性质以及二次根式的 性质、绝对值的性质分别化简求出答案；(2) 直接化简二次根式，进而合并求出答案；(3) 直接利用多项式乘法以及完全平方公式化简求出答案.【解答】解: (1) ( n 3.14) 0+|-2| -+J) 20=1+2 -乙-4 二+9=12- 5 7；(2). = - 4：_ -(二-匚)=2 二-4xJ-7

7、+2 匚4=+ :;(3) (x-3) (3-x)-( x-2厂=-x2+6x - 9 -(x2 - 4x+4)2=-2<+10x- 13.【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及零指数幕的性质、负整数指数幕的性质以及二次根式的性质等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键.3. (2017春？上虞区校级月考)计算化简：(1) 匚+=(2) 2 r - 6+3.【分析】(1)直接化简二次根式进而合并求出答案;(2)直接化简二次根式进而合并求出答案.【解答】解：(1)匚+二+一7=2 匚+3 匚+2 二=5 匚+2 二；(2) 2 .r - 6+3=2X 2 二-6X+3 X 4 二3【点

8、评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.4. (2017春？兰陵县校级月考)计算(1) 匚+ “ - M(2) .宁X【分析】先进行二次根式的化简，再结合二次根式混合运算的运算法则进行求解 即可.【解答】解：(1)原式=2+4 _- 2 :=6-2 :.(2)原式=2十 3X 3 -=2匚.【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握二次根 式的化简及二次根式混合运算的运算法则.5. (2017春?黄陂区月考)计算：(1) X -+3 _X2 r(2) 2.r - 6+3 7.【分析】(1) 二次根式乘法法则即可化简求值(2)将各二次根式化为最简二

9、次根式，然后合并同类二次根式.【解答】解：(1)原式=7 +30 =37 -(2)原式=4 _-2 =+12 T=14 匚【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.6. (2017春？汇川区校级月考)计算：(1) ()2 -20+| - ' |(2) (宀!-：)X(3) 2 = - 3+r ；(4) (7+4 二)(2 -二)2+ (2+ 二)(2 -乙)【分析】(1)根据二次根式的性质即可求值.(2) 先将各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可求值(3) 化为最简二次根式后进行合并同类二次根式即可求值(4) 先将7+4二进行分解

10、，然后提取公因式，最后再化简求值.【解答】解：(1)原式=3- 1+ ='(2) 原式=(3三=24(3) 原式=4 7- 12 7+5 匚二-8 7+5 匚(4) 原式=(2+ 二)2 (2 - 7) 2+ (2+ 二)(2 -乙)=1+1 =2【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键熟练二次根式的运算法则, 本题属于基础题型.7. (2017春？滨海县月考)计算4(3) r + =-匚-“(4) (3+ ；，_?) (-")【分析】(1)利用二次根式的乘法法则运算；(2) 利用二次根式的除法法则运算；(3) 先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可;(4) 利

11、用乘法公式展开，然后合并即可.【解答】解：(1)原式=.；=6a；=:;(3) 原式=2+3- 2- 4 -=2 "-3 ;(4) 原式=3 _-3 ：+2 :- 5 -=-2 '：-".【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结 合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.8. (2017春?杭州月考)计算：(1)+ -=(2) 3.：丄+匚(二-+玉十匚.【分析】根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则计算即可.【解答】解：(1)原

12、式=+3- 2 =2 ;(2)原式=+ :- 2+=:【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解 题的关键.9. (2017春？临沐县校级月考)计算(1) 二-4+工 L 匚(2) (1 - ) (1+ ) + (1+ ) 2.【分析】(1)先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式计算.【解答】解：(1)原式=3匚-2二+=3 匚-2 二+2 匚=3 _;(2)原式=1 - 5+1+2 7+5=2+2 .【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.10. (

13、2017春？滨州月考)计算:(1) 白儿一4 一+(2) 匚+2=-(.= -二)(3) (2 -汁冒 i) (2冒 ii);(4)2V3-1汁-(1)0【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可;（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用平方差公式计算；（4）先利用零指数幕的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即 可.【解答】解：(1)原式=3 - 2 _+ -=2 _;(2) 原式=2+2-3+ -=3 '：-:;(3) 原式=12 - 6 =6;（4）原式=二+1+3 二-1=4 ；.【点评】本题考查了二次根式的混合运算： 先把二次根式化

14、为最简二次根式， 然 后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合 题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.11. （2017春?武昌区校级月考）计算:（1）（3 .r汁 r-4.丄）十"【分析】（1）直接化简二次根式进而合并，再利用二次根式除法运算法则求出答 案；（2）直接化简二次根式进而合并得出答案.【解答】解：（1） （3 ；汁，；|- 4：；）*9刃=（9 汁吋：- 2十 4 :=8 f 4甘:=2；(2)；+9 -5 讯9=4 ：+3 :- 2x2xLI=7 ，- 2 :,=5【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，

15、正确化简二次根式是解题关键.12. (2017春？孝南区校级月考)计算： 4 二+-匚+4 二；购(7+4 ") (7-4 ")-( 3 :- 1) 2.【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案； 首先利用乘法公式化简，进而合并求出答案.【解答】解：4 ：+二-_+4 -=4 二+3 - 2 匚+4 匚=7 二+2 匚；购(7+4 二)(7-4 二)-(3 - 1) 2.=49- 48-( 45+1 - 6 二)=-45+6 ".【点评】此题主要考查了二次根式混合运算，正确化简二次根式是解题关键.13. (2017春?嵊州市月考)计算题(1)不(3) (- 1-

16、 _) (-+1)(4)(5)(6)1 - 1 )V3 V12二宁二-x =+玉【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则求出答案;（2）直接化简二次根式进而合并得出答案；（3）直接利用乘法公式计算得出答案；（4）首先化简二次根式，进而利用二次根式除法运算法则求出答案;（5）直接利用二次根式乘除法运算法则求出答案；（6）直接找出有理化因式进而化简求出答案.【解答】解：（1）X甘|：；x .不=-_ '二代=2X 3X 5=30;4 J厂"=;(3) (- 1- _) (-+1)=-(1+ ) (1 - )=-(1-5)=4；=12;(5) 卞 X r + =4 -;*一

17、9;.+2 r'.(6)= u+-仝门 + -V6/2 (V6+V2) (6 W2)42【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键.14 (2017春？汇川区校级月考)已知：a=J，b< .，求a2+3ab+b2的值.【分析】根据分母有理化法则化简a、b,根据完全平方公式把所求的代数式变形，代入计算即可.【解答】解：a=_ -=2+，b=_2-，贝U a+b=4， ab=1，a2+3ab+b2= (a+b) 2+ab=17.【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握分母有理化法则、平方差公式和完 全平方公式是解题的关键.15.(2017春？启东市月考)已知

18、x,y都是有理数，并且满足求.:的值.【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形： r 2(x2+2v-17)+V2(y+4)=0，x，y都是有理数，可得.x +2y-17=0，求解并使原式y+4=0有意义即可.(x2+2y-17)+V2(y+4)=0-x, y都是有理数， x2+2y- 17与y+4也是有理数,x2+2y-17=0y+4=0解得理：有意义的条件是x>y,取 x=5，y=- 4,SlS -二-;【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解.或 是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解.16. （2016?阳泉模拟）化简:【分析

19、】分别求出=-a =，丄=-叨4，代入合并即可.【解答】解：原式=-a i+ I=（-a+1）-二.【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a>0时， =a，当a< 0 时，二-a.17. （2016?山西模拟）计算：（1）9上-3 二;（2）2_（3）（二）2016 （ - ） 2015.【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法则运算；（3） 先利用积的乘方得到原式=（岳晶）（虧-两）2015?（翻+尿），然后 利用平方差公式计算.【解答】解：（1）原式=9二+10二-12二=7 二；(2)原式=2X 2X 2X1312xix

20、t匚；(3)原式=(:+ 7)(7)2015?( ：+ C=(5 - 6) 2015?(二+井)=_(+|： J')=-【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进 行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中，如 能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半 功倍.丄18. （2016?崇明县二模）计算：.厂【分析】分别依据分数指数幕、完全平方公式、负整数指数幕、分母有理化化简 各式，再合并同类二次根式即可.【解答】解：原式+广）2- +2=3+3 - 2 二+1 - 2+ ?=4 -【点评】本题主要考查二次

21、根式的混合运算,掌握分式的混合运算顺序是解题的根本，准确运算分数指数幕、负整数指数幕、完全平方公式及分母有理化等是解题的关键.19. （2016春？天津期末）已知y= _： _+- 4，计算x-y2的值.【分析】根据二次根式有意义的条件可得:/2x-3>0l3-2z>0，解不等式组可得x的值,进而可求出y的值，然后代入X-y2求值即可.r2x-3>03-2Q0解得：x=把 x二二代入 y二.，+ 4,得 y二4,2当 x, y= - 4 时 x y2迢16= - 1县.2 2 2关键是掌握二次根式中的被开【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件, 方数是非负数.20 . (

22、 2016秋？新化县期末)已知：a、b、c是厶ABC的三边长，化简【分析】根据三角形的三边关系定理得出 a+b>c, b+c>a, b+a>c,根据二次根 式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可.【解答】解：a、b、c是厶ABC的三边长，a+b>c, b+c>a, b+a>c,二原式=| a+b+c| | b+c_ a|+| c b a|=a+b+c-( b+c a) + (b+a c)=a+b+c- b c+a+b+a c=3a+b c.【点评】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，绝对值的应用，关键是去掉 绝对值符号.21. (2016

23、春?长春期末)已知1vxv5,化简： |x 5| .【分析】直接利用x的取值范围，进而去绝对值以及化简二次根式进而得出答案. 【解答】解： 1vxv 5,二原式=| x- 11 | x 5|=(x 1) ( 5 x)=2x- 6.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.22. (2016秋？安陆市期末)观察下列等式： -= = _ 一；1' .U ' 二E ;二 _ -;+_ J. :_ 1 二_ _=打_ _I 十-1回答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简：15+23+311W101(2)计算：一=一 + 一.皿 777【分析】(1 )根

24、据观察，可发现规律;1=Vn+2WnVn+2+Vn 2，根据规律，可得答案;(2)根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化.【解答】解：(1)原式=;(5+723)(5-23)2(2)原式=伍-1、忑毛、衍云 +.+(Vio1+3VIT)(Vloi-3Vii)(-i).【点评】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母两个数的差是分母有理化 的关键.23. (2016春？固始县期末)观察下面的变形规律：=_-】，-=_ ，；V- =丁_V2+1V3+V2V4+V3V5+V4解答下面的问题：(1)若n为正整数，请你猜想1Vn+1+ Vn(2)计算：+ _ _+ )X(倂:!

25、IV2+1 v3VT V4+V3V2016+72015【分析】(1)根据题意确定出一般性规律，写出即可;(2)原式分母有理化后，计算即可得到结果.1Vn+1+Vn故答案为：.I -1;（2）原式=（逅-1） +（近-+（五-晶）+（也61& -“2015）（価血+1）=（-1）（心“、匕+1）=（心工出）2-12 =2016 1 =2015.【点评】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化规律是解本题的关键.24. （2016秋?贵港期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题： = =- 1 七：_1=；：=_-十；_；'；1=_-I-:（1） 观察上面的等式，请直接写出-（n为正

26、整数）的结果 二匚Vn+1+Vn（2） 计算（J二丄丄）（二）=1 ;（3） 请利用上面的规律及解法计算：唏+衣爲荀爲+匸01亍扁）（顾+1）.【分析】（1）利用分母有理化的方法解答；（2）根据平方差公式计算即可;（3）利用阅读材料的结论和二次根式的加减混合运算法则计算.【解答】解：（1）1=”口+1-兀Vn+lWn (Vn+1(Vn+1 Vn)故答案为：.I -1;(2)(- i) (一 J = (J川.)2-( i) 2=1,故答案为：1;(3) ( + 1 + 一+ - ) (S5+1 近冈品血0讦+也016 )=(- 1+ -：川F) (口厂-丨) = .jr： 1)+1) =2017

27、- 1=2016.【点评】本题考查的是分母有理化的应用，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键.25. (2016春?博乐市期末)计算：(2) 4 :+ 二-_+4 -.【分析】(1)先进行二次根式的合并，然后进行二次根式的化简;(2)先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式.【解答】解：(1)原式=6 - 5 -(2)原式=4 匸+3 =- 2 二+4 匚=7 _+2 _.【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化 简以及同类二次根式的合并.26. (2016春?大冶市期末)计算(1) | 二-2| - "+2 二【分析】(1)直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简求出答案;(2)首先化简二次根式进而合并求出答案.【解答