第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试 试题

1、数学竞赛 第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案1.某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本，如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本，那么将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?2.自然数的平方按大小排问:第612个位置的数字是几?3.有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂。问：可以得到多少种颜色不同的圆棒？4已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同，而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的进间相同，猫、狗、兔

2、沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发，问：当它们出发后第一次相遇各跑了多少路程？5弹子盘为长方形abcd，四角有洞，子弹从a出发，路线与边成45°角，撞到边界即反弹，如右图所示，ab=4，ad=3时，弹子最后落入b洞问：ab=1995，ad=1994时，弹子最后落入哪个洞？在落入洞之前，撞击bc边多少次？（假定弹子永远按上述规律运动，直到落入一个洞为止）。6在1，2，3，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除。1.3元钱     2.是0     3.135

3、种     4.狗跑了23437.5米；兔跑了16537.5米；猫跑了8437.5米     5.经过撞击bc边997次后，弹子落入d洞     6.1254，210，1680，532，798，13301.【解】本数是15的倍数，也是10的倍数，因而是15，1030的倍数。将每30本作为一组，原来每组分给2名女生，或3名男生。现在应分给5(23)名学生(其中女生2名，男生3名)，所以每人得：3056(本)，每人应付0.5×63(元)2.【解】1一3的平方是一位数，占

4、去3个位置；49的平方是二位数，占去12个位置；1o一31的平方是三位数，占去66个位置；3299的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一行，共占去31266272353个位置，从612减去353，还有259个位置25951×54。从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去259位置中的255个。151×15122801，从左到右的第4个位置上是0，这就是本题的答案，即第612个位置上的数是0。3.【解】每段均有3种涂法，共有3×3×3×3×3243种涂法，其中颜色两头对称的（如黄红蓝红黄）的有3&#

5、215;3×327种，而不对称的被重复计算了。所以可以得到（24327）÷227135（种）不同的圆棒。4.【解】设猫跑1步的路程为s，则狗跑1步的路程为s，兔跑1步的路程为s；设猫跑1步的时间为t，则狗跑1步的时间为t，兔跑1步的时间为t，所以猫的速度为，狗的速度为，兔的速度为，设猫的速度为1，则狗的速度为，兔的速度为，即猫、狗、兔的速度之比为9×2525×259×49225625441，即当猫跑225圈时，狗跑625圈，兔跑441圈，此时狗比兔多跑400圈，兔比猫多跑216圈，400与216的最大公约数为8，所以第一次相遇时狗比兔多跑50圈

6、，兔比猫多跑27圈，此时猫跑了225×300÷88437.5（米），狗跑了625×300÷823437.5（米），兔跑了441×300÷816537.5（米）。5.【解】设由dc边反弹，弹子撞击bc边的位置距离c点为k格，从bc边反弹后，弹子撞击ab边的位置距离b点为(1994k)格，距离a点为(k1)格经过ab边反弹后，弹子撞击ad边的位置距离a点为(k1)格，距离d点为1994(k1)格，经ad反弹，弹子撞击dc边的位置距离d点为1994(k1)格，距离c点为19951994(k1)k2格再撞击bc边的位置距离c点为k2格，即比前

7、一次的位置下移2格。第一次撞击bc边的位置离c点为1格以后每撞击bc边一次，距离增加2格，第n次撞击bc边的位置距离c点为(2n1)格，当n997时，离c点有1993格，离b点只有1格经bc的反弹，撞击ab的位置离a点为1994格，再反弹就落入d洞。答：经过撞击bc边997次后，弹子落入d洞。6.【解】是自然数，所以1995=也是自然数,即1995十a是1995×1995的约数因为1995×199532×52×72×192，它在1995与2×1995之间(不包括1995)的约数有32×1923249,7×1922527,3×72×192793,52×7×193325,32×5×