第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试 试题

1、数学竞赛 第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试及答案1.摄制组从a市到b市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到c市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从c市到这里路程的三分之一就到达目的地了。问:a、b两市相距多少千米？2问：（a）1995年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（b）1996年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？3 甲、乙、丙三个班人数相同，在班之间举行象棋比赛，将各班同学都按1，2，3，编号。当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒，在甲、乙两班 比赛

2、时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙两班比赛时，有9台是男、女生对垒试说明在甲、丙两班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24。什么情况下， 正好是24？4用0，1，2，3，4五个数字，组成四位数，每个四位数中的数字不同（如1023，2341），求全体这样的四位数之和。5某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人，春节分橘子25箱，每箱橘子不超过60个，不少于50个，橘子总数的个位数是7，若每人分19 个，则橘子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完，问这时大班每人分多少橘子？小班有多少人？6一个圆周上有12个点，以它们为顶点连三角形，使每个点恰

3、是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交。问有多少种连法？1a，b两市相距600千米 2（a）1995年共有53个星期日，全年有五个月有五个星期日。（b）1996年共有52个星期日，全年只有四个月有五个星期日。 3略 4259980 5大班每人分得18个橘子；小班有25人。 6共有55种不同的连法1.【解】如图所示。设小镇为d点，傍晚到达e点，f为ab中点。ad是ac的三分之一，即dc2ad，eb是ce的二分之一，即ce2eb，所以dedcce2(ad十eb)已知de400，所以adeb4002200，从而ab400200600(千米)答：a、b两市相距600千米【注】本题中，“计划上午比

4、下午多走100千米”这一条件是多余的2.【解】(a)1995年1月1日是星期日，1995年全年有365天，每7天有且仅有一个星期日752364，因此，从1995年1月2日到1995年12月31日。这364天中有52个星期日，加上1995年1月1日这个星期日，共是53个星期日。最小的月有28天，最大的月有31天，因此无论哪个月都最少有4个星期日，最多有5个星期日。531245，因此，1995年中有五个月有五个星期日。(b)1995年1月1日是星期日，经过364天后，1995年12月31日也是星期日。所以1996年1月1日是星期一。1996年是闰年，2月有29天，经过364天后，1996年12月3

5、0日是星期一，所以1996年全年共有52个星期日，全年只有四个月有五个星期日。3.【解】我们可以把乙班同学分成三部分，第一部分为与甲班相同编号的同学异性者（由题设可知这部分乙班同学为15人），第二部分为与丙班相同编号的同学异性者（由题设可知这部分乙班同学为9人），其余为第三部分。设a同学属于第三部分，他与甲班相同编号的同学通性，与丙班相同编号的同学也为同性，所以，与a相同编号的甲班和丙班同学必为同性。由此可知，甲、丙两班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24。只有当与乙班第一部分相同编号的丙班同学均与乙班同学同性，并且与乙班第二部分相同编号的甲班同学也均与乙班同学同性时，甲、丙两班比赛中，男、

6、女生对垒的台数正好是24。4.【解】千位数字是1的有43224个(因为百位数字可从0、2、3、4中选择，有4种，百位确定后，十位有3种选择，百位，十位确定后，个位有2种选择)。千位数字是2、3、4的也有24种。百位数字是1的有33218个(因为千位数字可从2、3、4中选择，有3种。千位确定后，十位数字也有3种选择(可以为0)，千位、十位确定后，个位数字有两种选择)百位数字是2、3、4的也有18个。同样，十位数字、个位数字是1、2、3、4的也各有18个因此，所求的和是(1000200030004000)2418(1234)(110100)2599805.【解】第一步，估计全园人数的上界因为小班人

7、数少于中班27人，最多为26人所以大班最多为32人，全园人数最多为26273285(人)。第二步，计算中班每人分得的橘子数假如大班每人拿出一个橘子，小班每人多分一个橘子，全园小朋友每人分得橘子一样多，还余6个因此19中班每人分得橘子数14.6所以中班每人分得橘子数只可能是15，16，17，18。橘子总数的个位数是7，(橘子总数6)的个位数字是1，所以(全园人数中班每人分得橘子教)的个位数字是1。因此，中班分得橘子数不能是15，16，18，只能是17。第三步，计算全园人数85全园人数73。再由(全园人数17)的个位数字是1，可知全园人数的个位数字是3，从而：全园人数83(人)第四步，计算小班人数

8、大班人数小班人数832756(人)，大班人数一小班人数6(人)所以小班人数25(人)答：大班每人分得18个橘子，小班有25人。6.【解】我们采用递推的方法(1)如果圃上只有3个点；那么只有一种连法(2)如果圆上有6个点，除点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法,表1:共有3种连法(3)如果圆上有9个点，考虑所在的三角形此时，其余的6个点可能分布在所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上。在表2中用“”号表示它们分布在不同的边所对的弧。如果是情形，则由(2)，这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法。表2共有12种连法。(