分式运算中的技巧与方法解析

1、三、先约分，后通分分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值2(27 + 6工 + 3)忒+1产 s+ 2)(无+ 3)分式运算中的技巧与方法通分一、 整体通分法将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解”,. _ a2 a2 t a2a2-(a2-1)1例 1.化简：a-l=(a+l)=-=二a-1a-a-1a-1a-1 a-l二、逐项通分法112/? 4b3(a + b)-(a-b) 2b 4/?3 2b 2b 4Z?3a-b a + b a2+b2 a4-b4 - a2-b2a2+b2 a4-b4 a2-b2 a2 +b2 a4-b4_ 2b(a2 +b2)-lb(a2 -b2)

2、4/?3 _ 4/?34/?3 _= TP 瓦万=冠方-”才一112481 T = =gl-a 1 + a l + a 1 + al-a分组计算技巧122111224412a-2 + a+1 - a-1 - a+2 =( a-2 - a+2)+( a+1 - a-1)= a2-4 + 42T =(a2-4)(a2-I)1111+-x2 + x x2 + 2x + l x2 +3x + 2 x2 + 4x + 3 a2 + 6a a2 4 + a2 + 2a 标+4。+ 4x+1x2-2x，+3x+2 + x2-4a(a + 6) + (a + 2)(a-2) _a + 6 a-2 _2a +

3、4a(a + 2) (a + 2 a + 2 a + 2 a + 2x+1Q-2)1 x x+1(x+l)(x+2) + (x-2)(x+2) = x+2 + x+2 = x+22ab2 -(c-a)2c2 -(a-b)2 a2-(b-c)2(a + b)2-c2 (b2 + c2)-a2 (c + a)2-b2 -四、化简：分子2分母次数，先化简x2 3x+3 x2 5x+7。2-3%+2)+1 ( - 5x+6)+lx2-3x+2 - x2-5x+6 - x2-4x+3 _ x2-3x+2 x2-5x+6 - %2-4x4-311一工= 1+ x2-3x+2 -1-x2-5x+6 -x2-

4、4x+3= (x-l)(x-2)- (x-2)(x-3)- (x-l)(x-3) =(x-l)(x-2)(x-3)/- &2b2 软y r一 b? 3a+ + 3处 2萨 + a% + 状a3b + ab3 + 2a2b2a3b -b4 芯 a2 - 2ab + b2 ag + b)0_b)(a-b)5a3 + a2b + ab2 = a-b _ a_ab(a + b)2 b(a - b)(a2 + ab + b2)a2 - 2ab + b2 , b b裂项相消技巧利用1 _ 1_1 n(n +1) n n +111 11=tn a = -b;-2 2y-x= 10nx =打代入 F 2 ax

5、+zby2317yX-y a-设值代入1、已知土Y=工，求证：a b cab + bc + cabc【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到 =X, Z = X,代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。 aa当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件设e = t = a b cbc则(1) y = xf z = x aa(2)设/ =)=工=& 则 x=ak y=bk z=cka b c(3)设2 = ?=工=* 则 +)+ = . 其中a + b + cWO则 x=ak y=bk z=ck a b c a+b+c代人得xy+ yz + zx _ akbk+bkck+ ckak _ a

6、b + bc+ca 2_2 _ ab+bc+ca ab+bc+ca ab+bc+ca a22、己知a + cb计算(4+ /?)(b + C)(C + 4)abc解：设+ = ： = + =k,则 b+c=ak； a+c=bk： a+b=ck；把这 3 个等式相加得 2(a+b+c)= (a+b+c)k abc若 a+b+cXO,则匕2. + “)(5)()若 a+b+c=O, a+b= -c,又；a+c=bk 则 k=-1c ? ” =k3所以当k=-l时,原式=-1/当k=2时，原式=8abc3、若= =有=不,且x+y + z = 14,求x,y,z值x + 8 y+13 z + 133

7、 = - =- nx + 8 =丫 + = z + = k,x + 8 = 3k,y+ 13= 4k,z +13 = 5%,代入x+ y + z = 14x + 8 y+13z + 13345K=4,x=4,y=3,z=7._1_1_,1-,1-,巧用x+x ：对于含有x+x的式子，要注意：(1?2 = 丁 +尸2(J+-)2-(x -)： = 41已知x，-3x+l=0,求x+的值。1 _L 解：由 x3x+l=0,两边同除以 x (xWO),得 x-3+ x =0,即 x+ x =3 所以 x+ 丫2 = (x+ x ) =-2=3=-2=7已知 a2-5a+l=0,计算 a4+-如果*+

8、5 =凡求* + 3工15 + = / 6/ +9。2 -2.已知x+g = y,且+4/+x+l = 0,求 丫 值y=-3 或 y=2巧用倒数如果m0, n0, mVn,mVxVn,那么他们的倒数关系上4，-m 11 m x n1、已知a-3a+l=0,求J的值。 a +12、已知/3a+l=0,求的值。 八1解：由已知得a+=3所以巴二6+与=(a+i) -2=32=7 aa-n-n/74 4-17争=/d十月卜一1 十点) = 3X0 3) = 18.S,求s的整数部分.11FH1990 1991 19921999设= m1990 1991 19921999a4+ =(a2+ )2 2

9、=527/ a一xlOVmV一xl0(机有 10项)J 199V, vi99.9所以 199 19991990mab .a + b4、解方程g1兽=6b + cac _ 3a + c 4f 115、已知一 + 丁 a b1 1116 b c 9-a+b 1 11,=+=-ab b a 2be c ba+c 1 1 4 , _ = + =- ac c a31,11 分 abc,求-的值。a c 15 ab+ac + bcB + A =2C + B = 56 三式相加A+B+C=-一46C+ A = -(a = -3= 2,x 3.abc _1180ab + ac + be 1 1 1 31 +

10、Hc b a333336、比较大小：求证33331 3331巧用因式分解.,、1 u cibc例 1 已知 a+b+c=O, 计算一；+ + ；2a + be 2b + ac 2c + ab解: =5, x+y=5xy.2x-5xy-v2y _ 2(x+ y)-5xy _2x5xy-5xy _ 5xy _ 5 -=x+2xy + y(x+ y) + 2xy5xy + 2xyIxy 7的值为则44y2 + 6y-l的值为（） = 二 4y2 + 6y-l 2-121解：由已知一；二一得 2y+3y+7=82y+3y=l, 4y+6/2 所以2y- + 3y + 7 43、已知/一工一1 = 0,

11、/ + 2/+1+1 = ?x5 + 2x2 + x+l = x3 -x2 -x+3x2 -3x-3 + 5x+4= x(x2 -x-l) + 3(x2 -x-l) + 5x + 4,.组 1 a/5 .- 13 5y/5=5x+4由已知得xl,2=代入后224、已知/7-2 = 0,斜4-2炉 + 3/ x+l = ?由 X2jc2 = 0 可得篇=2 或工=-L当 1=2 时，原式=16 16 卜122 I 1 = 11；当 x= 1 时，原式= 1 + 2 + 3 + 1 + 11 = 8.5、证明： 若 a+b+c=0,则 + -一尸 + Ar = 0.b- +c-a c +a-b a

12、 +b-c用a=-b-c代入b? + / - /中的a,得到-2bc用b=-a-c代入片+/中的b,得到-2ac原式= +_+_ = 竺竺 = 0-2bc - 2ac - 2ab - 2abc用c=-a-b代入/+ 一c?中的c,得到-2abr- ,、y+zx+z x+yy + z x+z x+y6、已知：xyz 丰0,x+y+z=0,计算+-+=-3.x y zxyz7、已知 b=a+l,c=a+2,d=a+3,求一Hy + - -H上；的值.a+d a+b+c b+c+d a+a【解析】仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替：a=a,b=a+l,c=a+2,d=a+3

13、a b c d aa+1a+2a+31F 1 =111a + d a + b+c b + c + d a + d a + a + 3 a + a + l+a + 2 a + l + a + 2 + a + 3 a + a + 3aa + 1 a + 2 a + 3a + a + 3a + 1 a + 2,115=111=11=1+1=-2a+ 3 3a+ 3 3a+ 6 2a+ 32a+ 33(a +1) 3(+ 2)3 3 31、先化简代数式(旦 十?14-，然后选取一个合适的。值，代入求值. (a + 2 a-2) a解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”，解题时必须明确“合适”在题中

14、的含义,即选取的。的值不但要使原 式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式=9- 2) + 2(+ 2)(2 一 4)二一 2) + 2(。+ 2)=片+ 4 .由题知，。的值不能取2和-2,所以当。二0时,原式=4.(4 + 2乂”2)r* Ay + 4 广一2x I2、在解题目：“当x = 1949时，求代数式-+ 1的值”时，聪聪认为x只要任取一个使原式有意义x- -4x+2 x的值代入都有相同结果.你认为他说的有理吗？请说明理由. 解：聪聪说的有理.x2 -4x+4 x2-2x 1 ,；4-+ 1-4x+2 x(X*-1=1(x+2)(x-2) x(x-2) x x x只要使原式有意义，

15、无论X取何值，原式的值都相同，为常数1.说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.3、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题.=1= =若11HH的值为，求的值 1x222x3 2 33x4 3 4 . 1x3 3x5 5x7(2n-1)(2/? +1)35An 11111 八 1、 1 11、 1/1I,11 、解:1-+ +=- (1 ) H () H () + H()1x3 3x5 5x7(2n-l)(2n + l) 232 3 52 5 72 2/7-1 2n + l11 7=(1 -) = -r 由:; 解得=17经检验 =17 是

16、方程的根，；. =1722 + 1 2n + l 2n + l 354、错在以偏概全不为何值时，分式1-4?有意义？错解当3 + 10，得天当,原分式有意义. Ail解析上述解法中只考虑分母没有注意整个分母，1-5犯了以偏概全的错误.1 * 0正解二+1=0,得天一1,由 X+1,得.当且二一1时，原分式有意义.5、错在计算去分母计算4+1 .错解原式gi)g+i)一/d解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.(以 1)(以+ 1)a-l-a21=-I 一 I ZZ 一=一 ，正解原式d+1“+1+1d+1.11c4 32a+ 3ab 2bA6、已知：一一丁 =

17、 3,求分式的值.a ba-ab-b【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较及杂，会增加我们化简的负担。将条件化简成乘积形式，得 上且=3,再将分式稍化简变为处世可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项, ab(a-b)-ab中 j 小魅 ki q z.2a + 3ab-2b 2(a-b) + 3ab -6ab + 3ab 3所以可以用ab代替b-ab-a-3ab =/=-a-ab-b (a-b)- ab - 3ab-ab 4, 门, ab+bc + ca . _7、己知 a+b+c=0,a+2b+3c=0,且 abcWO,求的值.b这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以

18、用一个字母表示其它字母，对己知条件变形得到方程组a+b+c=Oa+2b+3c=0用c代替a、b代入到分式中，原式二主二与Q 21 4第/8、已知：8。+ 6b + 25 = 0,求、的值.a -ab + 4b【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式a2 +b2 -3a + 6b+25 = (a-4)2 +(b+3)2 =0 其中(。一4尸之0 (b + 3)2 0 所以(。-4下=0 (b + 3)2 =02abcbe+ ac- ab得。=4力=-3再带入原式很容易求出解。已知 =a, = b,= c,且abc w 0.求证x = x+y x+zy + Z/9、【解析】已知条件是上的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将旦=。改写成L = T=J_ + J_的形式， x+yx+ ya xy x y使得x、y相互独立，简化已知条件。写出变化后的形式1 = - +- = - + -a x y b x z c y z111 Z1 1. Z1 1. 2 11 2 k