二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方

1、第八章二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用本章主要介绍二次型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题§ 8.1二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：22(1.1)，我们通常分两步来做：首ax bxy cy dx ey f 0要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式先将坐标轴旋转一个角度以消去 xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去xy

2、项，通常的坐标变换公式为:X X cos y x siny siny cos(1.2)从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出.为了讨论问题的方便，只现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到考虑二次齐次多项式.定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：2f (Xl,X2,L5Xn)印必 242X1X2L 2ainXlXn2(1.3)如果322X2 2a23X2X3 L2a2nXaXn1222L an 1,n 1 xn 1 2an 1,

3、n xn 1 xnann xn称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型;数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即2 2 2f(Xl,X2±, Xn) djXl CI2X2L dnXn称为标准形式的二次型，简称为标准形.说明：在这个定义中，非平方项系数用24主要是为了以后矩阵表示的方便例8.1.2下列多项式都是二次型:22f (x, y) x 3xy 3yf (x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz ， 3z2F列多项式都不是二次型f (x, y) x2 3xy 3y2 2x 1f(x,y,z) 2x3 2xy

4、4yz 3z21C11 yiC|2y2L(1.4)X2 。21 V1 O22 V2LC2n%LL LXnCn2y2 Lcnn yn称为由X"X2,L,Xn到y*y2, L ,yn的一个 线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式|q0,那么线性替换(1.4)就称为非退化的在研究二次型时，矩阵是-个有力工具，因此我们先把二次型用矩阵来表示.令aij 明则有2aij xixjaj xx ajjXjXi,于是(1.3)式可以改写为f(xi,X2,L ,Xn) anxj定义8.1.3设Xi,X2,L,Xn；丸y2_L,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式a： 1X2X13： 2X2 L

5、a： n 卷 Xian1xnx1an 2xn x2annxnXi (anXia1n An)a2nXn)X2(821X1 822X2 LHnnAna11a21a12a22an1则二次型可记为aAX a21X (为,X2,L ,Xn) an1x1812Ax2a11(Xi,X2,L ,Xn)a2nannf tX Ax,a(2X322X2an2x2a12a1na21Lan1a22La2nLannXiX2MXna1nxna2n片1annAnXiX2MXn(1.5)其中A是对称矩阵称(1.5)式为二次型的矩阵形式例 8.1.4 二次型 f (x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz , 3z2

6、 的矩阵形式为f(x, y, z) (x, y, z)2y说任给一个二次型就唯一地确7E一个对称矩阵.反之,任给一个对称矩阵可唯一地确XE则其对应的二次型为：f (Xl,X2, X3, X4)X!24X-|X2对于二次型f xAx，作线性替换x6x-|X4 2X22 Cy,其中6X2X3222x2X4 3X3 4X4C|2f xTAx (Cy)TA(Cy)cnP21c22On，yCn1cn2ynyTc TACy yT(CTAC)y.把对称矩阵A称为二次型一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系f的矩阵，也把f称为对称矩阵A的二次型.称对称矩阵A的秩为二次型的秩.例8.1.5给定

7、对称矩阵13121310BCTAC厕有 bt (ctac )t样，对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型定义8.1.6设A,B是数 域P上的n阶方阵，如果有数域P上的n阶可逆矩阵C,使得CTAC B则称矩阵A与B合同，记作A;B.合同是矩阵之间的一个关系易知，合同关系具有: 则令B ,即B是对称矩阵.这反身性：即A与A合同，因为AETAE；(2)对称性：即若A与B合同，则B与A合同，因为由B CTAC,即得A(C?tbC1;(3)传递性：即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，由BC/AC和C C2 BC2,即得 C C2 BC2 (C1C2) A(GC2).这样，

8、我们就说明：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以后的讨论提供了有力的工具另外，在二次型变换时nnaiXiXiaijXiXji2j22 a11x12 aijXiXjj2nndlj Al Aj 2j2我们总是要求所作的线性替换是非退化的，因为这样我们可以把所得的二次型还原.定理8.1.7若A 与 B 合同，则 ran kA rankB .证明：因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C ,使得CT AC B由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故rankA rankB .说明：这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证这样，若B是对角矩阵，

9、则非退化的线性替换xCy就把二次型化为了标准形.因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：对于对称矩阵A,寻找可逆矩阵C,使得CTACB为对角矩阵.§ 8.2化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题.1配方法定理8.2.1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形，即只含有平方项.证明：对变量的个数n作数学归纳法.对于n 1，二次型就是f (xi) anxi2 ，显然已经是平方项了 .现假定对n 1元的二次型，定Xn) 3ij XiXj(3ij 3ji )理的结论成立再设.nnf(X1, X2, L ,i1 J1分三种情形来讨论：(l)aH(i 1,

10、2, L, n)中至少有一个不为零，例如0,这时nf(xi, X2, L , Xn) anxi2 aijXiXjJ2na11 (X1C77、dlj AIAJ j212a11 a1 jxj> aw ( axj)j22nna“ 山12+ “川 bijXiXjbi2j2这里nnbij XiXj i2j2n12a11 ( ajxj)J2nndlJAIAJ i2j2是一个关于X2,X3, L , Xn的二次型.令yiXiy2 X2LL Lyn Xn1Si 1 3,ij Xj j2nxi yi an1ai jyjj2X2 y2LLLXn yn这是一个非退化线性替换，它使 nn 2f(x*X2,L ,

11、Xn) anyibiji2j2由归纳法假定，对 bij yi y j有非退化的线性替换 i2j2C2r)ynC3nynz2 c22 丫2 c23 丫3 L z3 c32，2 c33 丫3 LLLLZn Cn2 y2 Cn3y3 L Cnnyn能使它变成平方和d2Z22 d3Z32 L dnZn2于是非退化线性替换zi y1z2c22 y2c23 y3L C2nynLL Lzn Cn2 y2Cn3y3L cnn>,n就使f(X1,X2,L ,Xn)变成f(X1,X2,L ,Xn) anZl2 d2Z22 d3Z32 L dnZn2即变成平方和了 .根据归纳法原理，2,3 ±, n

12、),不失普遍性，设所有Hi(i 1,2,L , n)都等于零，但是至少有一个的0( jai2。.令X1 Z1 Z2 X2 Z1 Z2 X3 Z3 LLL Xn Zn它是非退化线性变换，且使f (Xi,X2,L,Xn) 2ai2XiX2 L2ai2(ZiZ2)(ZiZ2) L22 2ai2Zi 2ai2Z2 L2这时，上式右端是Zi,Z2_L, Zn的二次型，且乙的系数不为零，属于第一种情况，定理成立. an a12L am0,由对称性知 a?i a3i L ani 0nn这时f(Xi,X2,L ,Xn)ajXjXj是n 1元的二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线i2j2性替换变成平方和证毕

13、例8.2.2用配方法化二次型f(Xi,X2,X3)& 2 2X225X32 2XX2 2XiX3 6X2X3为标准形，并写出所用的非退化线性替换解：由定理的证明过程，令V、 Xi X2 X3Xi yiy2 yay2 X2 ,即X2 y273 X3X3 ys得:f(X,X2,X3)yi2 y22 4y2y3 4y32上式右端除第一项外已不yi Ziy2 Z2 2Z3ys Z3再含yi,继续配方，令zi yiZ2 y2 2y3,Z3 ys得:f(Xi,X2,X3) Zi2 Z22所有的非退化线性替换为例8.2.3用配方法化二次型f (Xi,X2,X3,X4)xiXZ1Z2z2 z32Z3X

14、3Z32X1X2 XlX3X1X4 X2X3 X2X4 2X3X4为标准形，并写出所用的非退化性替换解：由定理的证明过程，令XiX2X3V2y2y3代入原二次型得:f (Yt. 乂.2这时y项不为零，于是x4V42yj 3 2y4 2 Yaf(Xi,X2,X33X4) (2yi22yy2yj。2 膜2y3 hj2屏丫 4 2y22 2 y32(yi2y34y32(yiy3尹4)12iy42(yi2y3、2y4.f (Xi, X2, X3, 2z,2 X4)1 i ya y4Ziyi 22Z2 y2Z3ys y4Z4 y42Z3其中Z4的系数为零，故没有写出为求非退化线性替换，我们可将第二个替换

15、代入第一个替换中，得Xi Zi Z2 2Z3 Z1Xo 7i 797q 7d2X3Z3Z4X4 Z4说明：在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的有时，我们在配方过程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确如 2 2 2f (搭公 2 必)2Xi 2X2 2X3 2X1X2 2X1X3 2X2X3X2)2 Xi X3)2X3)2若令yi Xiy2Xi X3ysX2 X3则 f(Xi,X2,X3) yj y22/然而,所以，此处所作的线性替换是退化的，于是最后的结果并不是所求的2初等变换法由于二次型与对称矩阵对应矩阵的方法做到，由§ 8.1我们知道,，所以能用非退化

16、线性替换化标准形的过程也可以用矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是，定理8.2.1可以用矩阵的语言描述出来定理8.2.4数域P上任意一个对称矩阵A都合同于一对角矩阵D.即存在可逆矩阵C，使di(2.i)CtAC Ddn现在我们就根据定理 8.2.4,讨论用矩阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵C及对角矩阵D.由前面的知识，我们知道，可逆矩阵C可以表示为有限个初等矩阵 Pi, P2,L,Pm的乘积，即C RP2L PmERP2L Pm(2.2)将(2.2)式代入(2.1)式，得(2.3)PmT LP2TPiTAPiP2L PmD(2.3)式表明，对对称矩阵A施行m次初等行变换及相同的m次初等

17、列变换,A就变为了对角矩阵D .而(2.2)式表明对单位矩阵E施行上述的初等列变换,E就变为可逆矩阵C.这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C及对角矩阵D,使得A与D合同的方法称为初等变换法.具体做法：对以n阶对称矩阵A和n阶单位矩阵E做成的2nn矩阵进行初等变换对A施行初等行变换对2n n矩阵施行相同的初等列变换例8.2.5已知对称矩阵111A 1 23135用初等变换法求可逆矩阵C及对角矩阵D ,使得A与D合同.A解:E0C2( 1)n2 (1)c11)nC3(1)C13 (2)r2C3 ( 2)C2所求可逆矩阵C及对角矩阵D为:10例8.2.6已知二次型co0,D0100f(X1,X2,X3

18、)2x1X22x1X36X2X3解：二次型对应的矩阵为: 于是有,011103A13 oE1 0001000121122 0313 ° 3兀1八 00 C22002。2C3 cl 110010293(4)21C3(4)C2A 10310012 0010200 061231 210 012020222201201120001故非退化线性替换为XiX300V'y2y3这样，二次型化为2 1 222yi y26y3 § 8.3惯性定理我们知道，二次型与对称矩阵一一对应,并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵 又因为合同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对 称矩阵合同的对角矩阵对

19、角线上不为零的元素 的个数是不变的，就是矩阵的秩因此，在一个 二次型的标准形中，系数不为零的项的个数 是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关至于标准形中的系数，就不是唯一确定的比 如在例8.2.6中，我们还可以进一步，令乙五胃2则二次型化为222Z1 z2 z3 .这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关F面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题设对称矩阵A的秩为r,则由定理824知,存在可逆矩阵C,使得矩阵A合同于对角矩阵D,即dictac ddr40J1,2,L,r即此时原二次型化为f (Xi,X2,L , Xn) diXi CI2X2

20、 dsXa22drXr2(3.1)在这些不为零的dj中，假设di0, d20,L ,dP0;dpi0,dp20,L0,这样在实数域内，我们令yi小必小吃 X2 ,L，ypyp1p 1 Xp 1 , yp 2d p 2 Xp 2 l则(3.1)式变为：f(X|,X2,L ,Xn) yj 鸟 222 yPypidrXr2.2yp 2L yr这就是说对称矩阵 A合同于下列对角矩阵:，其中有P个1, r p 个 1, n r个0.4 必，y22yi y2.d2X2,L drXrLyF在复数域内，我们令yi则(3.1)式变为:f (知 X2,L ,Xn)这就是说对称矩阵A合同于下列对角矩阵，其中有r个1

21、.0定义8 3 1在实数域内称" I 2正乂 匕'1， f(Xi,X2,L ,Xn) yi2 y22 L实二次型的规范形；在复数域内，称f(X1,X2,L xQ V12222yP2 y2P 1 y2P 2 L yr2 为22V2L5为复二次型的定理8.3.2 (惯性定理)设 f (X1,X2,L2 yi222 y22L2Z22L,Xn)2 yP22 Zq2元实二次型，且f可化为两个规范形y2Pi y2P 2L yr2,2Zq2L2zr规范形则必有p q.证明：用反证法.设pq,由前面知识知，Z12V2 I2Z22L2Vn22zq2 ypi2zq12Vn2l2Zq2L2yr2

22、(3.2)zr又设 x By,x CzXiyiZ1其中x2Mxr)，yM 5 ynz2M 2n于是，zCBy .令Z122znb21C11C21c12c22cn2cnyic21ylcnV1c1nc2ncnn022 y2LLLCln ynC2nyncn2 V2cnn yn因为p q，齐次线性方程组C1 V1c21ylc22 丫2 JL LLCln ynC2nyncqV1cq2y2cqn ynyPiOLLLyn00,L, yn必有非零解(n个未知数,n ( p q)个方程式).令其中一个非零解为yi ai,y2a2,L ,yPaP,yPi把这组解代入(3.2)式中的上式，得到：2222yi2 y2

23、2 L yP2y2pi2 yr222ai2 a22aP但这时Z1Z2 L Zq0,故(3.2)式中的下式为22222Z1 222q zq 1 L2zq12 zr这样就得出了矛盾.同理可证pq也不可能.是p q.证毕.说明：这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的 定义8.3.3在实二次型的规范形f (Xi, X2,L ,Xn)2 yP22ypi中，则称r是该二次型的秩，p是它的正惯性指数,q负惯性指数，22yP2L yrf的符号推论8.3.4两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数.定理835设f(XsX2_L,Xn)是一个n元复二次型，则f经过适当的非退化线性替换可以化为规范形，且

24、规范形是唯一的.推论8.3.6两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩§ 8.4 定二次型在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.所以本节主要介绍实二次型，并讨论它们的正定 性.定义8.4.1设f (Xi,X2,L ,Xn) xTAx是一个n元实二次型，如果对任意n维列向量x 0都有：(1) f 0,则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵；(2) f 0,则称f为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵；(3) f0,则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵A为半正定矩阵；(4) f 0,则称f为半负定二次型，并称实对称矩阵A为半负定矩阵；(5) f既不满足(3)，又不满足(4)，则

25、称f为不定二次型，并称实对称矩阵A为不定矩阵.例8.4.2已知A和B都是n阶正定矩阵，证明A B也是正定矩阵.证明：因为A和B都是n阶正定矩阵，所以4A, BTB,于是(A B)T AT BT A B即A B也是对称矩阵.又任意xO,有xTAxO, xtBxO,从而xT(A B)x xTAx xTBx 0即XT(A B)x是正定二次型，故A B是正定矩阵.定理843 11元实二次型f(Xi,X2±, Xn) xTAx正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.证明：设n元实二次型f (Xi,X2,L ,Xn) xTAx经过非退化线性替换X Cy化为标准形nf di yi2i1充分性.已

26、知dj 0(i 1,2,L, n),对于任意X 0有y C1X 0,故nf di y12 0i1必要性.用反证法.假设有某个dt 0,当取yt(0,L,1必Q)T时,有x C t 0，此时f xTAx tTCTAC t dt 0这与已知f为正定二次型矛盾故djO(i 1,2 ±, n).证毕.推论8.4.4实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正数.推论8.4.5实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合同于单位矩阵E .推论8.4.6实对称矩阵A为正定矩阵的必要条件是detA 0.证明：因为A为正定矩阵，由推论8.4.5, A合同于单位矩阵E,所以有可逆矩阵C使A C

27、 T EC C TC两边取行列式，有detA det(CTC) detCTdetC (detC)2 20说明：从定义可以看出，如果我们根据定义来判断二次型的正定性是比较麻烦的.所以我们下面给出一个方便判断的结论.定义8.4.7子式31i 312a21322LL3iia(2称为矩阵A(3j)nn的顺序主子式定理848 n元实二次型f(X4,X2±,Xn)式全大于零,(i1,2±,n) * ana2iaiixT Ax正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子证明：f (xi, X2,L ,xn) xTAxaqXjXji1 j1必要性已知二次型f是正定的令kkfk(Xi,X2,L ,Xk

28、) aijXXj(k1,2,L,n)i1j1则对任意的列向量(VX2±,Xk)T 0,有fk(Xi,X2,L ,xj f(Xi,X2, L ,Xk,O,L ,0)0 (k 1,2,L , n)从而fk(Xi,X2,L ,Xk)是k元正定二次型由上面的推论846知，a11312a1k32132232k0,(k1,2,L,n)3kl3k23kk2充分性已知k0(k 1,2,L ,n).对阶数n作数学归纳法当n 1时,f内凶,由1 aw 0知f是正定的假设论断对n 1元二次型成立以下来证n元二次型的情形 注意到1 3ii 0,将f关于Xi配方，得其中bj aj3liCj3111 (3nXi

29、 812X2Lan(iJ2,3,L,n)amXn)2n nbjXiXji2j2kk由3j印知叼 b 如果能证明n 1元实二次型bjXjXj是正定的，则由定义知f也i2j2是正定的.根据行列式性质，得从而Ona21ak1O12 L Oika22a2k5 naani 2,3,L ,nak2akkb22M bk2由归纳假设知n 1元实二次型例849判断下列二次型的正定性5Xi2anai2a11b2nM(k2,3±, n)b2nM 0(k 2,33)bkkbj xXj是正定的X2 5X32 4XiX2 8X1X34X2X3解：二次型f的矩阵为0,因为15 05 2所以f是正定的.例8410试

30、求t的取值范围,使下列二次型为正定二次型4X22 4 X32 3X?2tXX2 2X-|Xs 4X2X3 ;2Xi解：二次型对应的矩阵为t4 A12矩阵A的顺序主子式为t4 2 4(t 1)(t 2),111 f的正惯性指数与秩相等；0 A的特征值全为非负数；ErO(3)A合同于r，其中r为矩阵A的秩；00(4)存在实矩阵C使得A CTC；A的各阶主子式都非负，其中主子式就是指行指标与列指标相同的子式说明：仅有顺序主子式非 负是不能保证半正定性的如20 0 X1f(Xl, X2)X2 (为，X2)01 X2就是一个反例.习题八(A)1.证明：秩等于r的对称矩阵等于r个秩为1的对称矩阵之和 2.

31、设i1, i2_L, in是1, 2, L, n的一个排列，则下面两个对角阵 t 11 t 1 0t4 2 0124 00 0 0 31 t 1t2,1 2 412(t1)(t 2)i0(i 123,4)4t20,(t 1)(t 2)0为了使A正定，必须有:即有解得2t 1.最后，我们注意到正、负定二次型的关系，于是有下面的结论.定理8.4.11 n元实二次型f(xi,X2, L,Xn) xTAx负定的充分必要条件是下列条件之一成(D f的负惯性指数为n；(2) A的特征值全为负数；(3)A合同于E;(4)A的各阶顺序主子式负正相间，即奇数阶顺序主子式为负数，偶数阶顺序主子式为正数定理8.4.

32、12 n元实二次型f(xi,X2,L,Xn) xTAx半正定的充分必要条件是下列条件之一成i14.用配方法把下列二次型化成标准形i2合同。4xiX2 2xiX3 2X2X3；in) 2Xi 2xiX2 2X24X2X34X33)若可螂阵2德怒同4X伙求喙X322；A 1和B2X2X4也合同.2X3X4 ；X2X3 X2X4X3X4中用初等变换法把下列二次型化为标准 5形，并求可逆矩阵1、2)3(X122X22 X3 X42)2xiX22X1X4 2X2X3 2X2X42X3X4 ；2X12X23X32 4xiX42x1X32x2X3 ；(4)2X1X1X23X32X2X36.设A是一个2X1X

33、22X1X3X1X4 4X2X4n阶矩阵，证明8X2X3；6X3X4X T AX 0 ；(1) A是反对称矩阵当且仅当对于任一个n维向量X ,有2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X T AX 0,那么A 0.7.阶矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问如果把实n阶矩阵按照合同分类，即两个实n共有几类？8 .证明：一个秩大于1的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条件是它 的秩等于2且符号差等于零.9 .设n阶实对称矩阵A是正定的，P是n阶实可逆矩阵，证明：PTAP也是正定矩阵.10 .设A是n阶实对称矩阵，证明：A是正定的当且仅当存在n阶实可逆矩阵P ,使得A PTP.11 .设A是一个正定矩阵，证明：(D 对于任意正实数k, kA是正定矩阵；(2)对于任意正整数k, Ak是正定矩阵； 1*(3) A 1是正定矩阵；(4) A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.12.判别下列二次型是否正定：(1 ) 5xi2 8X22 5x32 4x1X2 8x