二次函数根的分布专题

1、一元二次方程根的分布专题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。 这部分知识在初中代数中虽有所涉及, 但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达 定理)的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次 方程实根分布的充要条件及其运用。.一元二次方程根的基本分布一一零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正 根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根 分布在零的两侧。设一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个不等实根为x1 , x22-b 4a

2、c 0方程有两个不等正根x1 Q x2 0 x1 x2b 0ac cx1x20a方程两根一正一负：x1 0 x2,则£ 0 a .2_b 4ac 0方程有两个不等负根：xi 0, x2 0 xi x2- 0ac 八x1x20a即时应用：2(1)若一元二次方程1)x2(m 1)x m 0有两个不等正根，求m的取值范围(2) k在何范围内取值,元二次方程 kx23kx k 3 0有一个正根和一个负根?二、一元二次方程的非零分布一一k分布设一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两不等实根为x1, x2 , k为常数。则一元二次方 程根的k分布(即"，x2相对于k的位置)如下

3、表所示：根的分布 x1 < x2 < kD k < x< < x2D x1 < k < x2图象充要条件 根的分布b<2af (k)>? b、 j - > k 2 2a?f (k)> 0 k1 < x1 < x2 < k2 k1V x1 < k2 < x2 < k3两根有且仅有一根在(Kk)内图象充要条件D > 0 f(ki)> 0 f(k2)> 0的 V/Vf K或K2Vb2aVK=0b < k1 + k22a 2/(f?f*2)= 0或?ki+ k2 一.<

4、-< k? 2 2a即时应用：(1)若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1,则求m的取值范围. 方程x2+2px+1=0有一个根大于1, 一个根小于1,求p的取值范围.二、典型例题2例 1 若一元二次方程kx (2k 1)x k 3 0有一根为零，则另一根是正根还是负根？例 2若方程x2(k 2)x 4 0有两负根，求k 的取值范围.例3.若关于x的方程x2 (k 2)x 2k 1 0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2 之间，求实数k 的取值范围例4.已知关于x的方程2x2 3x 2m 3 0的两根都在1, 1 上.求实数m的取值范围.例5.方程mX+2(m+

5、1)x+m+3=0C有一个负根，求 m的取值范围拓展提升：已知集合Ax2 (2 a)x 1 0 ,若 A x Rx 0 ,求a的取值范围一元二次方程根的分布巩固作业1.对于二次函数y22x 8x ,下列结论正确的是(A.当x 2时，y有最大值8 B.当x2时，y有最大值8C.当x 2时，y有最小值8 D.当x2时，y有最小值 82 .二次函数y x2 ax 1在区间0 , 3上有最小值一八 10A. 2B. 4C.33 .设函数f(x) 2x2 3ax 2a(x,a R)的最小值为2,则实数a的值为()D. 2m (a),当m (a)有最大值时a的值为(A.4 .函数A.43 f(x) 3,5

6、 .设二次函数A.正数2ax0f (x)2(a8. 343)x 1在区间B.2x,3a, 若 f(C.2,C.89上递减,3,0m)0,则 f(mD. 98则实数a的取值范围是(D. -2, 0D的值为()C.正、负不定，与6 .已知x1,x2是方程x( )m有关(k2)xA. 19B. 187 .设函数 f(x) ax2 bx c(aB.D.(k2 3kC.负数正、负不定，与 a有关5) 0 (k5590),对任意实数t为实数)的两实数根，则D.不存在都有 f(2 t) f (2x2x2的最大值为t)成立，则函数值f(A. f(-1)B. fC. f(2)D. f(5)8. 一兀二次方程x2，2(a 1)x (a 2) 0的一根比1大，另一根比一1小，则实数a的取值范围是 一9.函数f (x)2axax 1,若f(x) 0在R上恒成立，则a的取值范围是1), f(1), f (2), f(5)中，最小的一个不可能是(10 .函数f xax2 2ax 2 b a 0在2,3上有最大值5和最小值2,求a,b的值。11 . (1)方程x2- 2ax + 4 = 0的两根均大于1,求实数a的范围.(2)方程x2- 2ax + 4 = 0的两根一者大于1