二次函数在闭区间的最值问题

1、闭区间上二次函数的最值问题一.定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数y = x2+4x -2在区间0, 3上的最大值是 ,最小值是 。解：函数y = x2 +4x2 = (x2)2 +2是定义在区间0, 3上的二次函数，其对称轴方程是x=2,顶点坐标为(2, 2),且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0, 3上，如图1所示。函数的最大值为 f (2) = 2 ,最小值为f (0) = -2o u 6 / i 2 3I图1例2.已知2x2 3x ,求函数f (x) = x2 + x+1的最值。一、-2 .

2、-3解：由已知2x W 3x ,可得0 W x W,即函数f (x)是/2 2 113 二次函数配方得 f(x)= x+- ( +3,其对称轴方程x = -V274向上。显然其顶点横坐标不在区间0，3 1内，如图2所方!2-331 19大值为 f _ = O4y 力 |_L _10 13 V 2图2X:31一、心:定义在区间,0, -1上的一次函数。将1./131 -,顶点坐标-，-,且图象开口2124.-O函数f (x)的最小值为f (0) = 1,最X第7页(共7页)2解后反思：已知二次函数f (x) = ax + bx + c (不妨设a 0 ),匕的图象是顶点为b4ac -b2b, b

3、 :、对称轴为x = b-、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，川上f (x)的12a 4a J2a最大值或最小值：(i)当22a. b 4ac _ bIm, n时，f (x)的最小值是f - = 4ac b , f (x)的最大值是l 2a)4af(m)、f(n)中的较大者。b .(2)当一巴吏m, n时2a4 b右 m ,由f (x)在m, n 上是增函数2a则f (x)的最小值是f(m),最大值是f (n)b右n,由f (x)在Jm n上是减函数 2a则f (x)的最大值是f(m),最小值是f (n).动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数 a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义

4、域区间是固定的，我们称这种 情况是“动二次函数在定区间上的最值”。22例3.已知x E1,且a-2之0 ,求函数f(x)=x + ax+ 3的最值。解：由已知有1ExE1, a2,于是函数f(x)是定义在区间-1, 1上的二次函数，将f(x) 配方得：a a yf(x) = +2J23- -4二次函数f (x)的对称轴方程是x = - a222 )顶点坐标为-a, 3-a-,图象开口向上124 )由a之2可得x = -a W -1,显然其顶点横坐标在区间1-1, 1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f (1) = 4 a ,最大值是f (1) = 4 + a。例4.已知二次函数f (x) =a

5、x2+4ax + a2 1在区间y, 1上的最大值为5,求实数a的值。解：将二次函数配方得 f (x) = a(x + 2)2 + a2 - 4a -1 ,其对称轴方程为 x = -2 ,顶点坐标为 (-2, a2 4a-1),图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4, 1上。若a0,函数图象开口向下，如图 4所示，当x = -2时，函数取得最大值 5即 f(2)=a2 4a1=5 解得 a =2 、10 故 a =2 J而(a =2 + J而舍去)若a a 0时，函数图象开口向上，如图 5所示，当x = 1时，函数取得最大值 5即 f (1) =5a +a2 -1 =5解得 a =

6、 1或a = -6故 a = 1(a = -6舍去)综上讨论，函数f (x)在区间-4, 1上取得最大值5时，a=2-J10或a = 1解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中,二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。三.定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例5.如果函数f (x) = (x -1)2 +1定义在区间It, t+1上，求f (x)的最小值。解：函数f (x) =(x1)2+1,其对称轴方程为x = 1,顶点坐标为(1, 1),图象开

7、口向上。如图6所示，若顶点横坐标在区间I, t+1左侧时，有1t。当x=t时，函数取得最小值f (x)min =f(t)=(t1)2+1。如图7所示,若顶点横坐标在区间函数取得最小值:f (x)min =f(1)=1。oI t+1上时，有 tM1Wt+1,即 0MtM1。当 x=1 时,1ot 1 t+1 t如图8所示,若顶点横坐标在区间匕t+1右侧时，有t+11,即t1综上讨论，f(X)min=41,0 t 1t2 +1t 0to t+l x图8例6.设函数f (x) =x2 4x 4的定义域为I -2, t 1,对任意twR,求函数f(x)的最小值 中(t)的解析式。解：将二次函数配方得：

8、f (x) = x2 -4x -4 = (x -2)2 8其对称轴方程为 x =2,顶点坐标为(2, -8),图象开口向上若顶点横坐标在区间I 2, t 1】左侧，则2 4。当x =t 2时，函数取得最小值：f (t -2) = (t -4)2 -8 =t2 -8t 8若顶点横坐标在区间I 2, t 1上，则t -22t -1 ,即3MtM4。当x = 2时，函数取得最小值：f(2)=-8若顶点横坐标在区间1-2, t 1右侧，则t 1 2 ,即t 4)综上讨论，得*(t) =，4(3Mt M4)2t -6t 1(t 0),且当x之a时，S=(x 3) +y的最小值为 4,求参数a 的值。解：

9、将y2 =4a(xa)代入S中，得一 ，2，、S = (x - 3) 4a(x - a)222=x2 -2(3-2a)x 9 -4a2-x -(3-2a) 2 12a -8a22则S是x的一数，其定义域为，对称轴W为x = 3-2a,顶泵坐标为(3 2a, 12a-8a ),图壮向上。1若 3-2a 之a ,即0 ca W1 ,则当 x =32a时，&小=12a 8a2 =4,此时，a = 1,或 a若 3 2a1,则当 x=a 时，之小=Ia(3 2a)2 + 12a8a2 = 4此时，a=5,或a=1 (因a1, a =1舍去)综上讨论，参变数 a的取值为a=1,或a=)，或a = 52例

10、 8.已知(x-1) y2 =a2(a 0),且当 x 21 + 2a 时，P = (x4)2 + y2 的最小值为 1,4求参变数a的值。解：将y2 = (x -1) 一 a2 代入 P 中,4P =(x -4)2 (x -1) -a245 Z 17+9一x 十一4 5则P是x的二次函数，其定义域为17),对称轴万程为 x = 一，顶点坐标为5生，9-a2 (,图象开口向上。一 17 , 一 92,则当x=二时，P最小=*_ a2=i,此时,55若 179,则当 x=1+2a时，P量小=勺 i + 2a 17丫+ ? a2 55415,56此时，a=2,或a = 1 （因a, a = i舍去