高考真题——理科数学(安徽卷)精校版Word版含答案

1、普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A + B) = P(A) + P(B)如果事件A与B相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B)第卷(选择题共50分)选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.(1)设i是虚数单位，表示复数z的共聊复数，若z=l+i，则三+i2二 I(A) -2(B) -2i(C) 2(D) 2i(2) “x<0”是

2、“ln(x+I)0”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(A) 34(B) 55(C) 78(D) 89(4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线/的参数方程是= ' + L H为参数)，圆C的极坐标方程是 U = -3p = 4cos6,则直线/被圆C截得的弦长为(D) V14(B) 2V14(C)血(D) 2'2x + y - 2 < 0,(5) x , y满足约束条件卜2丁一2<0,若z=y

3、-ax取得最大值的最优解不啰：，则实数a的 2x - y + 2 > 0.值为(A)或 T2(C) 2 或 1(B) 2 或12(D) 2 或-1(6)设函数 f(x) (x£R)满足 f (x+/)=f (x)+sinx.当 OWxV 丸时，f(x)=O,则/(少£)二6(A) -(B)22(C) 0(D)-2(7) 一个多而体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(A) 21 + 75(B) 18 +V3 (C) 21(D) 18(8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 (A)24 对 (B) 30 对 (0 48 对

4、(D)60 对(9)若函数f(x) = Ml + 2x+a的最小值为3,则实数a的值为(A) 5 或 8(B) -1 或 5(C) -1 或 -4(D) -4 或 8 (10)在平面直角坐标系X。)，中，已知向量a, b, a = b =1, a七二0,点Q满足丽二、Q (a+b).曲线 C=P OP =acos6+bsin氏0WeV24,区域。=P 0<r< Vq <R, r<R.若 C n。为两段分离的曲线，则(A) l<r<R<3(B) lrV3WR(C) rl<R<3(D) l<r<3<R考生注意事项：请用0. 5

5、亳米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相对应位置.（11）若将函数/（x） = sin（2x+工）的图像向右平移夕个单位，所得图像关于y釉对称，则8 4的最小正值是.（12）数列b是等差数列，若a：+L a,+3,%+5构成公比为q的等比数列，贝lj q二.（13）设aWO, n是大于1的自然数，1 +工 的展开式为为+ */.若点a ）"=0,1,2）的位置如图所示,则A第（13）题图（14）若F,艮分别是椭圆E： N+二=1 （OVbVl）的左、右焦点，过点F,的直线交椭圆 b2E于A, B两点.

6、若|A用=3|片目，4F2，x轴，则椭圆E的方程为. 15）已知两个不相等的非零向量a, b,两组向量x” xX" xi, 和y, y： y5» y” yJ匀 由2个a和3个b排列而成.记S=xt yi+x- ys+x3 y»+xry«+xs y8, S皿表示S所有可能取值中 的最小值.则下列命题准确的是 （写出所有准确命题的编号）.S有5个不同的值若a_Lb,则Snln与|a|无关若ab,则S-与向无关若网 胴，则SQ0若例=纲，S小纲二则a与b的夹角为:三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的

7、指定区域内.(16)(本小题满分12分)设ZkABC的内角A, B, C所对边的长分别是a, b, c,且b=3, c=l, A=2B.(I)求a的值：(H)求+ 的值.(17)(本小题满分12分)甲乙两人实行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜,21则判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局中获胜的概率为一，乙获胜的概率为-，各局33比赛结果相互独立，(I)求甲在4局以内(含4局)施得比赛的概率；(II)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).(18)(本小题满分12分)设函数/(x) = 1 + (1 +)%-工2 -X3 ,其中。>0.(I

8、 )讨论/(A)在其定义域上的单调性：(II)当X £ 0时，求f(X)取得最大值和最小值时的X的值.(19)(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线与：/ =2m ( P >0)和生：A=22工(P? >0),过 原点。的两条直线人和乙，L与片,七2分别交于Aj &两点，与片，E?分别交 于B, 从两点.(I)证明：A与 (II)过。作直线/ (异于4)与E- E2分别交于G，C?两点.记AA内G与A4/2c2s 的而积分别为与s,求的值.-S）一（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱ABCD-A瓜CD中，A：A1,底面ABCD.四边形ABCD为梯形，ADBC

9、,且AD=2BC. 过A, C, D三点的平面记为a , BB与a的交点为Q.（I）证明：Q为BB：的中点：（H）求此四棱柱被平而a所分成上下两部分的体积之比；（III）若AAk4, CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面。与底面ABCD所成二面角的大小.（21）（本小题满分13分）设实数c>0,整数 >1,（I）证明：当工>一1 且XW0时，（l + x）P>l + x：1 _1 1（II）数列册满足q Ac",册.1=匚册+，17,证明：>/r+I >cp.P P普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一.选择题(I)

10、C(2) B(3) B(4) D(5) D(6) A(7) A(8) C(9) D(10) A二.填空题(II) (12) 1(13) 3(14) x2+-y2 =1(15)82三.解答题(16)(本小题满分12分)(I )因为 A = 23,所以sinA = sin28 = 2sinBcos3.22» 2由正、余弦定理得 =2。'厂+L一厂.2ac因为 =3, c = l,所以/=12, a = 243.(H)由余弦定理得cos A = "J1一匕="+I? =2bc63因为OvAv/r,所以。nA = Jl-cos? A故 sin(A +三)= sin

11、Acos£ + cosAsin£ = 2x2il + ()x = 44432326（17）（本小题满分12分）用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，人人表示“第k局甲获胜”，星表示“第攵局21乙获胜”，则 P（4） = , P（纥）=,k = 1, 2, 3, 4, 5.(I ) P(A) = P(A1A2) + P(B1A2A3) + P(AiB2A3A4)=P(A) P(4) + 尸(四) P(A2) P(A.) + P(AI )P(BJ P(4). P(A4)2，12，21,2/16=()+-X (-) +-X-X (_)-=33 333381(ID X的可能取

12、值为2, 3, 4, 5.P(X = 2) = P(A&) + P(B1B2) = P(A )P(4) + P(B1 )P(B1) =-,P(X = 3) = P(B,A2A3) + 尸(4当名)=尸(4 )P(4)P(4) + P(A)p(82)p(4)= |P(X =4) = P(A,B2A3A4) + P(BA2B3B4)=P(4)P(层)P(& )P( A,) + P(修)P(& )P(B3)P(B4)= 一， 81P(X = 5) = 1 - P( X = 2) - P( X = 3) - P( X = 4)=.81故X的分布列为p59291() iT881E

13、X = 2x- + 3x + 4x + 5x =-.99818181(18)(本小题满分12分)解：(I) /1)的定义域为(一8,)，/V) = 1+«-2a-3x2/ 八 出1 一4 + 3-1 + J4 + 3”令/(x) = 0,得玉=,£ =;，内士所以尸(x) = -3(x - . )(x - x2)当 XV或 时，f x) < 0 ：当为<x<w 时，f x) > 0 .故/(X)在(-O。,内)和(,+S)内单调递减，在(%,9 )内单调递增.(II)因为 >0,所以内0,占>0.当时，x2>,由(I)知，/(x)在

14、0,1上单调递增，所以/(X)在X = 0和X = 1处分别取得最小值和最大值.当 0 v。v 4 时，x2 < 1»由(I)知/(x)在0,超上单调递增，在/，11上单调递减， 所以/(x)在x =占=-4 + 3"处取得最大值.又/(O) = 1J=，所以当0<4Vl时，/(X)在X = 1处取得最小值：当4 = 1时，/(X)在X = 0和X=1处同时取得最小值：当lva<4时，/(外在x = 0处取得最小值.(19)(本小题满分13分)(I )证：设直线乙的方程分别为>'=占，=(卜,的工0)，则y = k1x,得 2/V=2P1x/

15、J 4底；、kJ八=占乂y2 = 2p?x.得4年T)同理可得8笔普，B,").故 A4 =A)，所以 AV A2B2 Pi-(II)解:由(【)知4月 A2%,同理可得5© 82c2, G4C2 A2,所以 AA8G AA2B2C2,又由(i)中的AX="中3；知工= =市,2 a2B2 Pl故显=4.S? P2(20)(本小题满分13分)(I )证：因为 8。 AA1, BC/ AD BCC BQ二 B , ADnAA=A, 所以平而Q8C 平而A/。，从而平而ACD与这两个平面的交线相互平行，即QC 4。，故AQBC与 必。的对应边相互平行，于是bQBC s

16、 A4mO ,所以丝="="=_1,即。是B芯的中点.BB. AA. AD 2(H)解：如图1,连接。力，QD,设4%=/?,梯形ABCD的高为"，四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积分别为匕:和8C = a,则AO = 2a.图1Vo a kd=-u ' 2a h d = -ahd , 。-小,03 231 a + 2al1- J -(-/)- - ahd,J乙乙*所以 二 Vqtmo + Vq-abcd =三 ahd , 3又 V、bw】dabcd =-cthd »所以Vt =匕阳G5.WD 一437-ahd- - ahd21211=aha

17、,12w V 11故=咋 7(HI)解法1如图1,在A4OC中，作AE_LDC,垂足为E,连接A,E, 又 DELAA：,且 AAGAE=A.所以DEL平面AEA：,于是DE_LAE所以/AEA：为平面a与底面ABCD所成二面角的平而角.因为B(:AD, AD=2BC,所以= 252雨.又因为梯形ABCD的面枳为6, DC=2,所以Sm”=4, AE=4.于是 tanNAEq =M=1AE故平面a与底面ABCD所成二面角的大小为巳.4解法2如图2,以D为原点，加，函分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.因为Sq8Q="*,2sin6 = 6,所以。=/一, ，血02sin <

18、;94从而 C(2cos82sina。)，A(,0,4).sin 0»i 4所以 OC = (2cos6,2sin 00), DA.=(0,4).sin。设平面AlDC的法向量 =(x,y,l),.4DA. - 77 =x + 4 = 0,/曰 .八八由1sin6得工=一5111 9，y = cos0 1DC - n = 2xcos6 + 2ysin6 = 0.所以 =(-sincosl).又因为平面ABCD的法向量加=(0,0,1),g、in'm 也所以cos< /?,m >= , ,= 同网2故平面a与底面ABCD所成二面角的大小为. 4<21)(本小题

19、满分13分)(I)证：用数学归纳法证明当 =2时，(1 + x)2 = + 2x + x2 > + 2x,原不等式成立.假设p = k(kN2,keN")时,不等式(1 + x)k > 1 + kr成立，当 =% + 1时,(1 + x)z =(1 + x)(l + x)k >(1 + x)(l + kx)= + (k + )x + kc > 1 + (攵 + )x.所以=左+ 1时，原不等式也成立.综合可得，当x>1,XHO时，对一切整数 >1,不等式（l + x）, >l+x均成立.I（n）证法1：先用数学归纳法证明% >/.£2当 =1时，由题设q >c?知4“ >C0成立.假设=攵（kNl/eND时，不等式4成立.由 a9 = !明 +，心，易知，afl > 0,” e N. .P P当"=%+ 1时，祗=3 + £"7=1 + _1(二一1). 4 P PP11c由% >cp >0得一iv一一一（r-i）<0.P PF由（