2020破解中考数学压轴题12讲

1、2020破解中考数学压轴题12讲（后六讲）， 中考生必看！ 中考压轴题第1讲第2讲第3讲第4讲第5讲第6讲第7讲 第8济第9讲 第1。讲 第11讲第12讲目录动点产生的相似三角形问题因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的直角三角形问题因动点产生的平行四边形问因动点产生的面积问题因动点产生的相切问题因动点产生的线段和差问题由比例线段产生的函数关系问题代数计算及通过代数计算进行说理问题图形的平移图形的翻折I形的旋转动点产生的线段和差问题课刖导学线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间,线段最短”.两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问胸，关键是指出一匏对称 粕“河流

2、"（如图I）.三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题，关键是指出两条忖称轴”反射豌面” （如图2）.两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时，网 条线段差的最大（G就是第三边的K.如图口. 4号内的差的最大值就是/从 此时点在 的延长线上，即尸.第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短二如图4,正方形49c2）的边长为4,月£平分N8/Ct交从？干£.煎P在/E上,点。在 月8上，那么MQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作J牛喝水”问题，4£是河流，但是点0不确定

3、啊.第一步，应用”两点之间,线段最城，加图3.设点后关于“河流.d£”的对称点为八 那么此刻PF+P。的最小值是线段FQ.第二步，应用“垂线段最短”.如图6,在点。运动过程中，尸。的最小值是垂线段这样,因为点4和河流是确定的.所以点尸是确定的，于是垂线段尸”也是确定的.图4图5图6例502014年湖南省郴州市中考第26题己知抛物线ynad+b+c经过山一 1,0）、仇2,0）, 00, 2）三点.（1）求这条抛物线的解析式：（2）如图1点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点尸运动到什么位置时， 四边形的面积最大？求出此时点的坐标：（3）如图2设线段/C的垂直平分线交汇轴于点

4、63;,垂足为。，M为抛物线的顶点, 那么在直线DE上是否存在一点&，使CUG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标； 若不存在,请说明理由.思路点拨1 .设交点式求抛物线的解析式比较葡便.2 .连结。尸，把四边形月SPC的面枳分割为三个三角形的面枳和.3.第C3）题先用几何说理确定点G的位1L.再用代数计算求解点G的坐标.图文解析（1）因为抛物线与x轴交于小一 1.0）、仇2,0）两点，设尸心+1）（/-2）.代入点qo,2）,可得a=-i.所以这条抛物线的解析式为:=一（戈*加1为与工十？.（2）如图3,连结。H设点尸的坐标为3/+“+2）.由于 $UO=1 54poe=K. S，O

5、B= x2 +五+ 2所以 S RUSJB4WV=因此当）=1时.四边形的面积最大，最大直为4.此时/1,2）.（3）第一步，几何说理，确定点G的位置：如图4,在CMG中，CM为定值，因此当GC+GM最小时，的周长最小.由于G4=GC,因此当GW+G”最小时,GC+G”最小.当点G落在，例上时，G4+GM最小（如图5）.z4 y第二步，代数计算，求解点G的坐标：如图 6, AC = V5 co4/（MO= 42 =,所以 4E= V.4Q =2 , £（±0）。A E zl （J 。522I qI n如图7.由）=一1+工+2 = - 与2+一，得河（二、了1 a31由.4

6、(一1,0)、Af(gq).得直线儿忱的解析式为J = j工;彳作GHLr轴于，.设点G的坐标为(工孑门玄.由于 WnNGE=gn/CO = 2,所以也=2. g|J EH=2G/I.2 EH 2考点伸展第(2)题求四边形月8PC的面枳.也可以连结6c (如图8).因为8c的而枳是定值，因此当P05的面枳限大时，四边形吧的面枳也最大.过点尸作X轴的垂线,交CB干F. QQ群450116225四为与户8F有公共底边产产，高的和等于C、B网点间的水平距离，所以当PF 炭大时，PCS的面枳最大.设点内(*.-必+工+2).尸(*.-x+2).那么尸产=-F+2x.当无=1时，FP最大.此时尸(1,2

7、).例512014年湖南省湘西州中考第25题如图1抛物线_F=d+k+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O,点b（2,-g）杯 点。（一3. 3）均在抛物线上，点尸（0,二）在尸轴匕 过点（。匕作直线/与x轴平行.44（1）求抛物线的解析式和直线6c的解析式，（2设点是线段灰?上的一个动点点。不与仄C市合，过点。作m轴的垂 线,与抛物线交于点G，设线段GQ的长为力，求人与工之间的函数关系式，并求出当x为 何值时.线段G。的长度最大，最大长度人的值是石少？（3）若点打小）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结尸产并延长，交抛物线于 另一点。,过点9作 0U,垂足为5,过点。作RV_L/,垂足为M

8、 试判断尸NS的形状， 并说明理由：（4）若点/（一2川在线段8c上,点”为抛物线上的一个动点，连结才F,当点M在 何位置时 M产+M4的值最小.请直接写出此时点M的坐标与MF+.K4的最小值.思路点拨1,第（2）题用x表示G、。两点的纵坐标，GD的长就转化为关于刀的二次函数.2 .笫（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线的距离等于它与点尸间的距离.3 .第（4）题要先过两步说理，得到MF+M4的最小值是点d到，的垂线段K.图文解析（I）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以，=疗.代入点。一3,3）,得。二所以抛物线的鼾析式为）二4设直线。C的解析式为=*+/ 代入（2,-士）、。-3,一3%

9、得."" = 一§，3fb=-3.解得丘=；,b=-2.所以直线AC的解析式为j = ；x-2.（2）由于点0、G分别在直线8c和抛物线匕 所以。（工："一2），G（r-；.d）.所以 h=GD=（H-）2+ ”.333212因此当X = _2时.方取得最大值最大值为空. 212(3)如图2,设点(0士)为.设直线尸0的解析式为尸h-L44联立直线产S少二米-：与抛物线9二 -；/，消去人御"？4tr-'=0.所以足,工=一2 它的几何意义是hihw=2. 44乂因为户=.所以H=HSHN.所以竺1=竺.2HN HF所以3i/l=3n/

10、2.所以N】 = N2.乂因为N1与N3互余,所以N2与N3互余.所以是直角三角形.考点伸展第(3)题也可以通过计算得到PF=RM同理得到0尸=。£这样我们就可以根据”等 边对等珀”及“两直线平行，内错粕相等二存到NWC=90.应用这个结论，就容易解答第(4)数如图3.作M£JJ于£那么MF=M%.当的值最小时，MF+M的值也最小.当4、“、E三点共线时,A/E+IM的值最小,最小值为d从而AE的最小值为点A到/的垂线段，即AE±l时/£最小乂如图4%.由比例线段产生的函数关系问课前导学一)图形运动的过程中.求两条线段之间的函数关系，是中考数学

11、的热点问题.产生两条线段间的函数关系.常见的情况有两种.一是勾股定理，二是比例关系.还仃 一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.由勾股定理产生的函数关系.在两种类型的题目中比较常用.类型一.已知“边角边二 至少一边是动态的，求角的对边.如图I,已知点工的坐标 为(3.4),点8是轴正半轴上的一个动点，设。5=即/8=力那么我们在直角三角册.48 中用勾股定理，就可以得到)，关于x的函数关系式.类型二.图形的翻折.己知矩形O月6C在坐标平面内如图2所示, 46=5,点O沿直线 上尸翻折后,点。的对卜点。落在彳夕边上,设)=x, OE=y,那么在直用三角形/EO中 用勾股定理就可以得到y关乎

12、上的函数关系式.由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用.一是由平行线产生的对线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例.一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形,根据 要求写册定义域.关健展寻找比例关系，唯点是"的威谕美彩妆轻垓琐，容易出错.课前导学（二图形运动的过程中.求面枳随某个量变化的函数美系，是中考数学的热点问题.计完面积常见的行四种方法.一是规则图形的面积用面积公式：二是不规则图形的面积 通过割补进行计算：三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或禽）的比：四是相 似三角芯的面枳比等于相似比的平方.前两种方法容易想到.但是灵

13、活使用第三种和第囚种方法.可以使得运算简单.一般情况下，在求出面枳S关于自变量工的函数关系后,会提出在什么情况FG为何 值时，S取得最大值或最小值.关于面枳的最值问题,有许多经典的结论.例1,周长一定的矩形,当正方形时，面积最大.例2面积一定的矩形.当正方形时，周长最小.例3.周长一定的正多边形，当边数越大时.面移越大,极限值是陶.例明如图1,短角的内接矩形。£尸。的面积为户 力。=工，当点。是K6的中 点时.面积y最大.例5.如图2.点。在直线/笈上方的抛物线上一点，当点尸位于X的中点£的正上 方时.刃6的面枳最大.例6.如图3, 4?。中,N/和对边AC是确定的，当4C

14、时,4AC的面枳最图1图2图3例12014年湖南省常德市中考第26题如图1,图2,己知四边形，8CD为正方形，在时段.4C,上有一动点P,作P从LdQ (或 延长线)于£ 作尸外LDC C或延长线)于凡 作射线交口于G.(1在图1中，正方形T8C。的边长为2.四边彩48FE的面积为外设/P=x，求， 关于上的函数表达式；(2) G4_Lb对于图I.图2都是成立的,请任选一图形给出证明：(3请根据图2证明：XFGCsXPFB.思路点拨1 .四边形X勿花可以用大正方形减去两个直角三角形得到.2 .画直线EP、FP,把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩影.图文解析(I )如图3.延长门交

15、6C f 延长/了交48 f .V.那么四边形4EPN和四边形 的物是正方形.由z1P=x,可得正方形4EPN的边长为包上.厮以FC=DE=2-昱x.装2由于&='x史.2-史；0比=,8。尸C =4x2x(2也、) 22 22222所以 y=Snae abfe=S 方零 amdS.f- Sbcf=4一夸x(2-4x) 一(2-4)=，pFNP(2) 如图 4,因为但/£户户=匕，tanZPZ/iV=, PE=NP. PF=NB,所以PFNBNEFP= ZPBN.乂因为/1 = N2, N1 + NPAV=9O,所以/2+N£FP=90" .所以

16、GBLEF.(3如图5,由于G8，£F, N%？=%° ,所以仄C G、F四点共13. 所以NFCG=NPBF. NCG«=NC/&乂因为CGF= /CGB+90° , / 8/ 尸=N（尸8+90。所以/CGF=WBFP. 所以FGCsAPFB.考点伸展如图6, 由于由NEFP=tanNPBM 所以NEFP=NPBN.又因为NP8N+/1=90° ,所以/£FP+N1=9(T .因此这种情况下，依然有6G_L£/.第(1)题还仃更简便的割补办法：如图7,连结印.由 丫 sLNF(EP + MP、= LNF EM =

17、2 .22Sd4£、= AP2 = .r2 i 所以、'=$园3M"f=S ce+Smen=2x2 +2 ,44.4例22014年湖南省湘源市中考第25题5c'为等边三ffj形，边长为明点/在8c.边匕DFJLAB, EFLAC,垂足分别为。、 E,CI）求证：（2）若。=4,设四边形NQFE面枳为S求出S与勿之间的函数关系,并探 优当m为何值时S取得最大值；<3>己知4、D、F、E四点共圆，已知ianN££>F= 且，2求此例的直径（用含。的式了表示）.思路点拨1 .用割讣法求四边形ADFE的面枳比较简单.2 .当A、

18、D、F、E四点共圈时，由于NEDF=NEAF,那么在ZXACF中，两角及夹边 就是确定的,可以解这个三角形.图文解析（I）如图 1.因为NA=NC=60".N8DF= NCE卜=90° .所以区芦.（2）如图2,当等边三角形ASC的边长a=4时，S的产4有.在 RZ8O/中，N8=60° , 8F=m,所以日。=,m，FD = m.22所以 «SAfiOF= - BD - FD =28在 RlZkS/'中,NC=6(T , C7'=4-w.所以C'E=!(4-m). FE = -(4-m).所以 Smtf= -CEFE = (4m

19、)z. 28一+ 2/ = -(w-2)2 436. 44因此S=S 口必附=4-73-m2 一 8所以当切=2时.S取得最大值.属大值为力.此时点厂是8c.的中点（如图3）.（3）如图4,由于以。、八£四点共恻，所以/EAF=/EDF.因为44EF=W ,所以/F是圆的直径.在对口户中,由于 lan/£XF="=且，设£F=6口 £4 = lv.EA 2FF l在 RtZXEC?,中.NC=6（T ,所以一=V3 .因此EC=x.EC由乂C=£4+EC=a,得 2x+r=q.所以:（:二!.3所以在Rt晶广中，EF=2a，EA=-a

20、由勾股定理，得圜的直径4户=且.333AAB FC图4考点伸展第(2)题也可以求ZU。尸与A4EF的面枳和."1(8 -nt) 由卜8D = Lu ,尸£)=,所以49= 4 -,胴S、9F=222因此 $=Sds+SdW=7/t) +由于。£ = ；(4-m), FE=§g-m)，所以X£=2+；/w，S=(16-/m2)._ irr) = -nr + -J3m + 2y/3 42014年湖南省郴州市中考第25题如图 1.在 RtZ/£C 中.N4.4C=9(r , N8=6CT . «C'=16<in. .

21、4。是到边 8c 上的 高,垂足为D. 8E=lcm,点M从点8出发沿8C方向以Icm/s的速度运动，点”从点£ 出发.与点M同时同方向以相同的速度运动.以WV为边在8C的上方作正方形MNG.点 M到达点0时停止运动，点N到达点C时停止运动.设运动时间为(§).<1>当/为何值时，点G刚好落在线段10上？(2)设正方形MNG”与RtAXHC重强部分的图形的面枳为乱当重蛋部分的图形是正 方形时，求出S关于/的由数关系式并写出自变量/的取值范国：(”设正方形MNC的边NG所在直线与线段/仁交F点。,连结QP.当/为何值时， CPO是等腰三角形？思路点拨1.用含，的式

22、子把直线8c上的线段长都表示出去.2,童强部分的图形是正方形，临界时刻是点“落在48匕 和点G落在，Ch3.等腰三角形CP。不存在DP=DC的情况,因为以为半径的阿O与线段只 有一个交点.图文解析(1)如图2,当点G刚好落在线段40上时.DA=0.而DN=BD-BMMN=4 l1=3卜 所以3/=0,解得=3.国2图3(2>重会部分的图形是正方形,存在两种情况：当"A/在d。的左侧时，正方一膨MNG”的大小不变,边长为1, 5=1, 如图3,当落在AB上时.5A/=/Aftan300 =正.所以立WK4.33如图4.当在川。上时，正方形的边长为l3,S=(l3)如图5,当G落在

23、4c上时, 4=Glan30° =李(/-3).由儿D=4JJ,得手。一3)+Q-3)=46,解得，=/一3.所以4WrW6G3.（3）等腰三角形CPQ存在两种情况，如图6,当RT=?。时，点尸在。的垂直平分线匕N是ZX.的中点. 此时 r=3+6=9.如图7,当“=。=12时,在RtZkCPN中.由8$300 =9 =也.得。¥ = 67"此 CP 2时 f=15-66.图6图7考点伸展当点G落在AC上时.CG ：AG的比侑枭更少呢？ .y1n 因 c C(J C.V CTjV mo /T如图 5. = cot30 = v3 AG DN GN例42015年湖南省

24、常德市中考第25题如图1.曲线门是抛物线的一部分，与x轴交干心4两点,与y轴交于点C 且表达 式为乂 =立（/-2-3） GW3），曲线力与曲线乃关于直线x=3时称.（1）求d、8、C三点的坐标和曲线力的表达式；（2）过点。作CW&轴殳曲线X F点。，连结4D在曲线”上有一点川,使得四边 形XCQM为等形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分.这祥的四边形 为筝形），请求出点M的摘坐标；QQ群450116225（3）设直线CI/与工轴交于点M 试问在线段MV下方的曲线户上是否存在一点R 使产."m的面枳最大？若存在，求出点尸的坐标：若不存在，情说明理由.图1思路点

25、拨1 .由人C、O的坐标可以得到4CO是底角为30°的等腰三角形,于是可知直线MV （直线CN）与尸轴的夹角为30°2 .过点/作x轴的垂线交干£那么分割为有公共底边的两个三角形. 这两个三角形的高的和为定值.图文解析（1）由乂 =坐（.一-2主-3）=乎（k + IXx-3）.得彳8<3,0）、C（0. -73 ）.因为四-1,0卜8（3,0）关于直线x=3的对称点为才（7.0）、8（3,0）,所以抛物线”的表达式为H ="（犬-7）（丫-3）=坐（Y -10*421） （x>3）.（2）由釉，可知G。关于抛物线n的对称釉工=1对称，所以&

26、quot;2.-6八如图 2,由.”一1,0）、Q0,-JI）、D（2.-aA）,可得.4C=DC=2.因此点 C在力。的垂 直平分线上.如果四边影4cgM的对角线互相垂直平分，那么四边形是菱膨.此时点.“在x 轴匕 不在抛物线g上.因此只存在MC垂直平分/D的情况.ZADC； = ZCMH.由于血/。&=四=坦，所以N,4£X?=3O°,因此M=J5c. DG 3设M(x,p7:75 ,那么亭号整理.-13x4-24=0.解得x = 0至.所以点”的横坐标为x 二 1L二巨.22(3)如图 2.如图 3,由于NdDC=3(T ,当CKL4D 时.ZOCM=30&#

27、176; .所以 ON=OC=1. ML0).3所以直线CW为，=如图4,过点尸伍轴的垂线,垂足为儿PK交MME,过点A乍j轴的垂线交尸所以S»g=S“4te+3寸在=-PE（MF 4- NK） 因为A/尸+MC为定侑,因此当座最大时，PM.VM面积最大.设尸（m.当团产-今叵M+76）E<m，Om-石）,那么PE = （' -向-（半/_竽制及正）=-4一 +苧吁X4QQ 群450116225所以当所二号时，取得最大值.射 面积最大.此时P喙-陪）.3,=考点伸展第C3)题也可以这样思考：如图5,由于MV是定值,因此点P到"V的距离最大时.PMV的面积也最大

28、.过点户作的平行线,当这条直线与抛物线只只有一个交点时,两条平行线间的却离最大.也就是说方程组.只有一组解,即A=0.解得-10.1 + 21)2第9讲 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理.说理之后进行代入求值.东轴题中的代数计算题,主要是函数类题.函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、歹人解、验、答五步完成. 一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标.还有一类计算题,就是从特殊到一般，通过计克寻找规律.代数计算和说理较多的一类题目.是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线 的解析式组成方程组.消去y，得到关于

29、x的一元二次方程.然后根据A确定交点的个数.我们介绸一下求函数图像交点坐标的几何方法.如图1.已知直线丁=惠+1与x轴交于点儿 抛物线y=M-2r-3与直段y=r+l交于 乩A两点,求点3的坐标的代数方法，就是联立方程组.方程组的一个解是点X的坐标， 另一个解计算点的坐标.几何法是这佯的：设直线彳6与尸轴分别交于G那么lanNTOC=l.作 BEix 轴 F £,那么= 1.设 BU.x12x3),于是'二""-=1.AEx+1请注意,这个分式的分手因式分解后,”也a=i.这个分式能不能约分为什么？JC + 1因为*=-1的几何意，:点4,由于点9与点/不

30、重合.所以某工一1因此约分以后 就是X3=1.这样的题目一般都是这样，己知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次 方程，很简便.例12014年湖南省长沙市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1.1）, （一2一2）, （£ 后），都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个.<1）苦点R2,m）是反比例函数（为常数，¥0）的图象上的“梦之点”求这个反比例函数的解析式：<2）函数=3M+s-l （七、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在.请求出 “梦之点”的坐标.若不存在，说明理由；<3）若二次函数

31、尸=*+晟+1 （4、6是常数口>0）的图象上存在两个：密之点” .4（*1,.ri）、B（X2,.X2）且满足-2Vx】<2. |x一4|=2.令mL 试求的取值范48围.思路点拨1 .“梦之点”都在直线y二”上.2 .第（2）题就是讨论两条直线的位匿关系.分重合、平行和相交三种情况.3 .第（3）题放弃了也是明智的选择.求，关的二次函数的最值.人的取值范围由 “甘之点”、一2VM<2和|即一刈=2三个条件决定，而且一2<xiV2还要分两段讨论. 图文解析（1）因为点打2,切）是“梦之点”，所以打2,2）.所以>，=±.<2） “钞之点”一定在宜

32、线>，=x h,直线=3人+工一1与直线y=x的位置关系行重 合、平行、相交.图1图2图3如图1.当直线），=3匕+.$1与直线），=工重合片，有无数个“梦之点”.此时£=；, s= 1 .如图2,当直线尸3h+s-l与直线尸X平行时,没有“替之点”.此时仁g. s 羊1.如图3当直线片=3酎十一1与百线相交时.仃1个“梦之点”.此时A*!, “梦之点”的坐标为（上二,上£_）, 331 3k-I<3）因为T（jumi）、伙口 1川生点是抛物线与直线了=工的交点，瞬爵/婢+M+1.和 y=x,消去>，整理.得底+仍-1注+1=0.所以nn=l>0.所

33、以/、6两点在尸轴的同恻.如图4,由|以一词=2,可知48两点间的水平如离、竖直距离都是2.己知一2VqV2,我们分两种情况来探求。的取值范困；当从 "两点在y轴右侧时.0<力<2,2<r，<4.所以0<工心<8.当,4、8两点在.1,轴左侧时.一2<m<0. -4<jt2<-2.所以0<.rm<8.综合、，不论0mV2或一2V|V0,都有0VxmV8.所以 0<J_V8.所QQ 群 450116225 a8由 +1"+1 =0.得修+町="" < .X|X2= -*aa

34、由|由一刈=2,得gX2>=4.所以3+型尸一4Km=4.所以止*t-±=4.整理，得（1-b尸=4/ + 4。. IT a所以J*皿詈= 胃=（2"心去如图5,这条抛物线的开口向匕 对称轴是直线=-1在对称轴右侧,，陵。的增大 2而增大.因此当°时,/取得最小值，1=（，41）2 +生=11.84486考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面.rtll.Ti -t2|=2,得Cn-3尸=4.所以（X|+处广-4xl口=4.所以空竺_±=4.整理,得（1一与工=4/$4". a另一方面，由火2）>0,逐-2）<0,得&l

35、t;2贸-2）<0.所以4a42（8-1）+ l4x/-2（/>-l） + I <0.所以（40 + 1）2-4（力-1）2 = （4a + l尸-4f4a2+4a） =1 - 8a <0.所以。>1.；8例22014年湖南省怀化市中考第23题设加是不小于一 I的实数.使得关于X的方程.F+2sL2注+加-3巾+ 3=0行两个不 相等的实数根甲，4，Cl）若，+，=,求一的值; Xj x23-2wf<2）求的最大值.一周 l-x2思路点拨1 .先确定加的取值范围.由两个条件决定.2 .由根与系数的关系，把第（1）题的己知条件转化为关Fm的方程.3 .第（2）

36、题首先是繁琐的式子变形，把m提取出来，可以使得过程简便一点.文解析（1）因为方程必+2（刖2代+”?一3朋+3=0行丙个不相等的实检根.所以A>0.由=4（i2p4（m?3m+3）= 4m+4>0,得 m< 1.又巳知即是不小于一 1的实数，所以一由根与系数的关系，得百4七=2（m-2） = +-4 . A| x2 = w: -3m + 3.若上=1 ,那么玉+ a =天戈,所以一2加-4 =力/-3切+ 3 . 再与整理，得加一”一1二0.解得加=匕,或用二生叵（舍去）.22所以3-2/n = 3-（l-石）=石 + 2.所以一! = -J = 75-2.3 2扰邪+ 2c

37、、nix. ntx. 7 _ x. xy 1 _ 内（1 一巧-xj（2） 1-+1trr - m + -2m m 工1-玉 I-/1-Xj l-jr2 J L=m出十川-2.=/«，"4Ts-3叱3）一桁1 一 （.Y| -+ x2）+与占JI （-21 ±4） 4 掰 一3加 + 3=-2zm4 2-4/ = -（/w4 1）2 +3 .所以当用=-1时,它有被大值，最大值为3（如图1所示）.考点伸展当m变化时，抛物线产=婷+ 2（切一2改+/-3=0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线=一（刚一2）所以抛物线的顶点的纵坐标歹=（加一2了一2（m一

38、2尸+/-35+3=加一1.因为x+i，= （m2） + m1 = 1为定值.所以】=x+】.也就是说,抛物线的顶点低>，）的运动轨迹是直讪尸一”+1如图2所示，图2例32014年湖南省湘灌市中考第26题如图1.已知二次函数.1，=-1+&+。的对称轴为犬=2,且经过原点，直线.4C的解析 式为j，=h+4,直线水？与尸轴交点/,与二次函数的图象交8、C两点.（1）求二次函数解析式；（2）若%求的值：Samjc 3（3）若以8c为直径的阅经过原点.求A的值.思路点拨1 .第（2）题先将面枳比转化为与AC的比，进而转化为6、C两点的横坐标的比.2 .第2）题可以用直线的解析式表示3

39、、D两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方 程组：也可以用抛物线的解析式表示3、C两点的坐标,再代入直线的解析式列方理组.3 .第3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到6、。两 点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程.图文解析（1）因为原点。关直线a=2的对称点为40）,所以她物线y=-M+及+c的解析 式为 ,=-x（j-4）= 一.，+4%.（2）如图2.因为也受工理工工.所以忍=1.设无二次.那么"二4%5AA31f BC 3 xc 4将点仇凡的+4）、仁（4叽4M1+4）分别代入尸=一4）,得4-4 = -46（4m-4）.一4.整理，再加=.所以加

40、=1.将加=1代入，得氏+4=3.解得太=一1.此时点C落在k轴上（如图3）.（3）因为B、C是直线尸=公+4与抛物线的交点.设8gAl+4）,。小+4）.联立j=-f+4工和j，=h+4,消去“ 整理，得f+伏-4）x+4=0.所以 m+X2=4一忆 X1K2=4.如图5,若以8C?为直径的脚经过原点，那么N6OC=90°.作ASJLy轴.CALLj堆，垂足分别为时、N,那么B.HOsavC根据处二变，得_ =MO JVC 5+4 x2所以王出="（耳+4）（5 +旬=-k1.+4立（再+ /）+16.格力十七=4一八rm=4代入，得4:14内+4加4-灯+ 16.解得人

41、=-2.FQN-2S.考点伸第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点从（的坐标，再代入直线的解析式列方程 粗.将点5（切.一4+4m）、C（4m,-16/ + 16哂分别代入y=h+4得m，+ 4/n = km + 4.-16/m2-»- 16m = 4bn-*-4.X4-，过1训=12.所以a=1. QQ群450116225将胆=1代入,得3=k+4.解得A=-l.2014年湖南省株洲市中考第24题已知抛物线y = V -（k+2"十生上和直线了 = （k + 1）x4 （A +1户.4（1）求证：无论人取何实数值，抛物线与分轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x轴交4、4两

42、点，直线与x轴交十点C设/、8、C三点的横坐标 分别是口、X2、.*3，求工I X2X的最大值：（3）如果抛物线与x轴的两个交点/、8在原点的右边.直线与、轴的交点C在原点 的左边，支抛物线、直线分别交y特十点。、E,直线交直线CE干点G （如图1）,且 C4 GE=CG AB.求抛物线的解析式.思路点拨1 .两个解析式像庞然大物,其实第（1）题的语境非常熟悉,走走看，豁然开朗.2 .第（幻题打犯刀的最小值由卯个自变量决定呢？当然是A 了,所以先求工RR关 FA的函数关系式，然明白下一步该怎么考了二勺室由根与系数的关系得到，X3就是点 的横坐标.3 .第（3）题的等积式转化为比例式，就得到4）

43、6£由此根据OD： 6M=0E： 06 列方程，再结合根与系数的关系化茴.还是走走看,柳暗花明.图文解析(l)因为A = (A+2)2-4x"卫 = 尸-+2="-32 + Z>°所以无论左取何实数 424值，抛物线与X轴有两个不同的交点.(2)由 y=(A+ l)x4(A4 1f.得。一伏4),0).所以、=一(七+1).由根与系数的关系,得引海=竺. 4所以灯应力=-L(5A + 2KR +1) = -1(542 +7Z 2) . 447149 499因此x = 一 当时, xi xyxi取存最大值,最大值=5x +2) = 104100 10

44、80(3)如图 2. Ill CA-GE-CG AB, . - = LSL.AB GE所以.4GB£ 即 /D/8E. 便+ 2), 西 + 2),所以空三型，即_4_ =出土121.所以_4_ = 1i1111.所以|三 "上.OA OB X) x24。勺 x；苍所以出=/+l,或一一1 (含工又因为工1+肛=氏+2,所以七=1,即41.0).再将点41,0)代入) = F-(A+2)k +曳它，得0二1-(£ + 2)十匹士2.44解得A=2,所以抛物线的解析式为y=Nm+3.考点伸展把第(3)遛申的条件“C4 GE=CG.也T改为"EC=EB1其他

45、条件不变.那么抛物 线的解析式是怎样的呢？如图3因为点£在尸轴上，当£C=E8时.B、C的点关，F轴对称,所以8(£ + 1,0).珞点 6企+1.0) 代入3=/-(*+2*+得(*41日一(左2X4+1)+=0.44解得A=2.所以抛物纹的解析式为产=好一41+3. QQ群450116225第10讲图形的平移例12015年泰安市中考第15题如图1.在平面直角坐标系中，正三角形。1B的顶点8的坐标为（2.0）,点/在第一 象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点，的横坐标为3则点 a的坐标为（ ）.答案A.思路如下：如图2当点4的坐标为2, 0,点4的横坐标为

46、I.当点4的横坐标为3时，笠边三角膨4a?的边长为6.在 RGb'CD 中，用仁=4.所以 ZX?=2, 8'。= 26.此时 8'（4,2j5）.图2例22015年咸宁市中考第14题如图1,在平面直角坐标系中,点/的坐标为M6）,将。必沿#轴向左平移得到OW点.4的对应点4落在直线箕=一±*上.则点与其对应点夕间的即离为图1答案8.思路如下，当y=6时.解方程-2k=6,得t=-X.所以/' =K.4图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,所以8/T=、H=8.图2例32015年株洲市中考第14题已知直线产=2r+仃一。）与K轴的交点在用2,0）

47、,即工。）之间（包括幺、2两点）则a的 取值范围是.答案 7WaW9 .思路如下g如图】将点42.0）代入p=2x+（3-“）.得4+（3。）=0.解得。=7.如图 2,将点 5（3, 0）代入p=2i+（3一°）, W 6+（3a）=O.解得 a=9.1例42016年上海市虹口区中考模拟第18题如图1.己知48C中.48=40=5. ZTC=6,将d43C沿射线8c方向平移m个单位 得到/)££顶点* 8、C分别与3.反产对应,若以点、D. £为顶点的三角形是等 腰三角形，且为腰，则m的值是.答案6或二.思路如下，6如图2,四边形保持平行四边形，4W=

48、£V=4, BXf=DN=3, AD=BE=m.如图3,当£4=£O时,点£在幺公的垂直平分线上.此时4D=2AT)=6.如图4,当，£=/Z时，根据，6=.如得/=M+(l3y.解得所=上.第11讲图形的翻折例52016年上海市奉贤区中考模拟第18题在ZUAC中，NA=45.ZC=30e .4C=2,点。在AC h.将ZUCD沿直线乂Z）翻折后，点C落在点£处，边4E交边BC .点F,如果。£%6,那么三£的值是BF答案 有4d .思路如下：QQ群450116225如图2.作4/JL8C于.在 RtAXC中，ZC

49、=30° , AC=2.所以AH =1, CH= 6在 Rl&iS中，NB=45"，所以 3=d=L 所以 5C=JJ+1.如图 3.当。时,ZBAE= AA£D= ZC=30* .此时N/fFC=N8+/A4£=75° .在/(?/中，ZC=30° , NAFC=750,所以2心(?=75° .所以 CF=CN=2.所以 BF=BC-CF=67-2 = G另解：也可以根据先求得8r.的长.由8加=册84得（表？ =2F（JJ + D.所以3F = 6-1.闺3例62016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题如图 1

50、.在A48C 中,AB=AC=4. cosC=l.4C6D沿直畿80翻折点。落在点£，那么的长为 答案技思路如下：如图 2,作 4U 作 8c pM DNLRC ¥ N.在 RtZUCU 中，Mr=4. cosC= - -所以 CM= 1.所以或=2CH4=2.己知D是AC的中点，所以8C=QC=2.如图，由 8£=8C, BC=DC, DC=DA.得 ££=£)/.由N1 = N2, N1 = N3,得/2=N3.所以 EB/MC.所以四边形4班。是平行四边形,所以dE=BD.如图 2.在 Rt力CV中,DC=2, CN=L,所以O

51、N=E.2'2在RtADBN中,BN=-.所以所以/£=#.2B M N C图2BC例72016年上海市闵行区中考模拟第18题如图1,已知在zuac中，AB=AC. umN4=J,将/«(:翻折,使点C与点工重合.折痕DE交边BC于点D,交边4c F点心那么一的值为答案旦.思路如下， 5如图2,作，兄LBC于从那么BH=CH. ah I己知tanNA=-,设月=1.BH=3.设ZX?=nd=m.在Rt月中，由勾股定理，得加=产十(3 师产. 解得所以应)=8(7=6-2 =坦.所以处=空.图2例82016年上海市浦东新区中考模拟第18题中,=90° , B

52、C=15,/。=20,点。在边卜 DELAB. 1为 E, 骼4。上沿直线0E盹折，翻折后点4的对应点为点P,当NCPO为直角时,力。的长是答案三,思路如下：如图1,作CU8于. 8在 RtA48C中,5C=15. AC=20.所以8=25. cos5= 1. co&4 = -."一一.一一.55在 RtZkMW 中.Bfl=BC6sB= 2x15=9. 5当 NCP0=9«时，4CPH 与NDPE 互余.QQ 群 450116225舞为NA 5N/： /DPE=,所以/CPH=/B.于是可得 P=3=9.所以/1P=25 18=7.所以/£=2.所以/。

53、=)/£=至.248D图1图4AC分别交于点占匕然后再展开铺平，以乐E、 痕三角形二 如图2.在矩形中 .48=2. B 点E的坐标是.KJ BFC图1答案4.2).思路如下，设菱形BFGE的边长为m.如图4.当G、。重合时在RI/U8E中.A由勾股定理.得加=2?+(4 -所凡 解得,= .此时/£=4-刖=1点£的坐标为弓二). yA Q,D_K±.O(B)FCF为顶点的灯,称为矩形ABCD的“折 C=4.当“折痕6£尸”的面积最大时.YA DO IB)C r X图2B=2, BE=m AE4.52yAE0(G),Al例92016年上海市普

54、陀区中考模拟第18题如图1在矩形$9。中.将矩形折叠.使点©落在边彳。上,这时折痕与边，。和边例102016年张家界市中考第14题如图1将矩形.44CD沿G"对折，点C落在。处，点。落在边上的点£处.EQ 与 8c 相史于若 d0=8cm, /B=6cm, T£=4cm.则.的周长是cm.答案&.思路如下：设£=£>=，那么48=8一力在R加优中,由=乂尸十修房,得苏=42+(g-/wR 解得巾=5.所以的周长为3+4+5=12.因为AHEsArer 4H ： BE=312根据相似三角形的周长比等J对应边的比,” 得£下的周长为8.图2例112016年常德市中考第15题如图I.把平行四边形如纥。折段,使点C与点,4重合.这时点。落在。八折痕为£尸.若N版£=55。则 N0i4O=.答案55；思路如卜：如图2,连结，e、DDx.因为四边形是菱形，根据中心对称性.ZDCA = ZBAE.如图3,因为/与C、力与5关于直线对称，所以四边形XCDQ是等腰梯形，所 以对角线/