材料力学学生习题解答

1、2- 1 试绘出下列各杆的轴力图。（a）图中杆的横截面面积 A1=A2=1150mm2；FBqFCx(b)2-2 求下列结构中指定杆内的应力。已知解：（1）分析整体，作示力图M B （Fi ） 0 ：FA 8 8 10 4 0FA 40kN（ 2 ）取部分分析，示力图见（ b）MC (Fi ) 0：FN 2 2.2 FA 4 4q 2 0FN2 (40 4 40 2)2.2 36.36kN2杆 FN2A2 36.36 1031150 106 31.62MPa3)分析铰 E ，示力图见( c)Fix 0 ：FN 2 FN1 sin 02 12 237.96 140.65kN031150 1035

2、.3MPaFN1FN3(c)FN22-3 求下列各杆内的最大正应力。3）图 （c） 为变截面拉杆，上段 AB 的横截面积为 40mm2，下段 BC 的横截面积为 30mm2，杆材料的g=78kN/m 3。解： 1.作轴力图， BC 段最大轴力在 B 处FNB 12 0.5 30 10 6 78 12.0kNAB 段最大轴力在 A 处FNA 12 12 (0.5 3060.5 40) 10 6 78 12.0kN2212.012.0400MPa300MPa杆件最大正应力为 400MPa，发生在 B 截面。C2-4 一直径为 15mm ，标距为 200mm 的合金钢杆， 比例极限内进行拉伸试验，当

3、轴向荷载从零缓慢地增 加 58.4kN 时，杆伸长了 0.9mm，直径缩小了 0.022mm ，确定材料的弹性模量 E、泊松比 。解：加载至 58.4kN 时，杆件横截面中心正应力为1.52 10 4330.48MPa线应变：3弹性模量： E330.48MPa4.5 1073.4 103 MPa侧向线应变：，0.022151.46710泊松比： , 0.3262-6 图示短柱，上段为钢制，长 200mm ，截面尺寸为 100×100mm 2；下段为铝制，长 300mm，截面尺寸 为 200×200mm2。当柱顶受 F 力作用时，柱子总长度减少了 0.4mm，试求 F 值。已

4、知 E 钢 =200GPa， E 铝=70GPa。解：柱中的轴力都为 F ，总的变形（缩短）为：A2ElA1gE2A3A0E1931.0kN2-7 图示等直杆 AC，材料的容重为 g，弹性模量为 E，横截面积为 A。求直杆 B 截面的位移 B。解： AB 段内轴力 FN1FgAxBC 段内轴力 FN2 2FgAxB 点位移为杆 BC 的伸长量：2l (2F gAx)dx2Fl1.5 gAl 2B l EAEAFN1lAD40103 1E1A1200109500 10 6FN2 lCG60 103 0.5E2A21001091500 10 6F N3 lBE20103 1E3A310109300

5、0 10 6l1l210 4 m106.67压缩）拉伸）10 6m （压缩）3）由几何关系：2 1 4G l2- l1l36.89 10 4 m(下降)G 2 3 1 3 3l32-11 图示一挡水墙示意图，材料为松木，其容许应力其中 AB 杆支承着挡水墙， 各部分尺寸均已示于图中。 =11MPa ，试求 AB 杆所需的直径。若 AB 杆为圆截面，2-8 图示结构中， AB 可视为刚性杆， AD 为钢杆， 面积 A1=500mm 2，弹性模量 E1=200GPa；CG 为铜杆， 面积 A2=1500mm2，弹性模量 E2=100GPa；BE 为木杆，面积 A3=3000mm2，弹性模量 E3=

6、10GPa。当 G 点处作用有 F=60kN 时，求该点的竖直位移 G。 解：（1）求、杆轴力由平衡方程可以求出 :FN12F 3 40kNFN3F 3 20kNFN2 F 60kN（2）求杆的变形4m解：（ 1）求水压力的合力：d=30mm ，容许应力 =160MPa，弹性模P 21 h2b 40kN（ 2）作示力图（ a）由平衡方程求轴力M O（Fi ） 0:F N 0.6 0.4 P 32 0FN 11.11kN （3）由强度条件，设计截面尺寸：FN A d 4 11.11 103 /（ 11 106） 1.286 10 3m2 d 3.58cm2-12 图示结构中的 CD 杆为刚性杆，

7、 AB 杆为钢杆，直径 量 E=2.0× 105MPa。试求结构的容许荷载 F。解：( 1)求 AB 杆的轴力 FNMC (F i) 0：FN sin30o 2 F 2.5 0FN 2.5F2）由强度条件求 F2.5F A3- 1 试作下列各杆的扭矩图。3-2 一直径 d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN ·m 的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，( G=80GPa) 。T 20003.14 0.063 /1620.047.2MPa点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。 解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径1 2 3 /3 31.

8、4MPa4max 3 / G 5.9 10 4 rad3-3 从直径为 300mm 的实心轴中镗出一个直径为分之几 ?解：实心轴Mx16M xmax1WP1d3空心轴 max 2Mx16MxWP2d3(1 0.54)150mm 的通孔而成为空心轴， 问最大切应力增大了百16Mx16M x最大切应力增大了 max2 max1 100%d3(1 0.54)d3d 100%0.544 100% 6.67%1 0.54max116M xd330mm) , 试求：(1) 轴的最大切应力。(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。解：(1)作扭矩图，AB 段中最大切应力35.56MPaCD 段中最大切

9、应力33 10 639 124MPa10A B C D3-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示(空心处有两段，内径10mm，外径所以轴中， max 35.56MPa(2)相对扭转角分四段计算 DC CEEB BA11121112GIP1GI P2GI P1I P240 0.2 30 0.1GI P1GI P1300.160 0.15GI P2GIP234 10 8 1 3 4120.011426rad134 10 8323-5 一圆轴 AC 如图所示。 要使杆的总扭转角为 0.12 解：（1）Mx（2） ACAB 段为实心，直径为 ，试确定 BC 段的长度50mm；BC

10、 段为空心，外径为 50mm ，内径为 35mm 。 a。设 G=80GPa。作扭矩图100N m杆件 A、 C 截面相对扭转角分两段计算 BC BAMxaGI P 1M x 0.9 aGI P100N·mGI P ACMxa140.9a,其中0.70.31596aGI PCAMaMx AC 0.9a 0.405m3-8 传动轴的转速为n=500转/ 分，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮 2、 3分别输出功率 P2=200kW ，4=70MPa，=1°/m，G=8×104 MPa。d1 和 BC 段的直径 d2。P3=300kW 。已知 （1） 确定 AB

11、 段的直径（2） 若 AB 和 BC 两段选用同一直径，试确定直径1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图d。解：9.559.55kN5002009.555003.82kN3009.555.73kNT1mT2mm500maxM xmaxWP9.55 103C由强度条件：d1316d1 0.089m70 106d2316 5.73 103d2 0.075m由刚度条件：70 106M xmaxGI Pmaxd14332 9.55 103d248 1010 2 18032 5.37 103d1 0.091md2 0.080m10 28 10102 180为满足强度和刚度条件， AB 段的直径 d 取

12、 91mm； BC 段的直径 d 取 80mm。 （2）若 AB和 BC两段选用同一直径，直径d 取 91mm 。A-2 试求图形水平形心轴 z的位置，并求影阴线部分面积对z 轴的面积矩 Sz。解：分三块计算2AAi 150 50 50 150 150 50 22500mm2形心轴位置25 A1 75 A2 175 A3 h 1 2 3 91.67mmASz A1 h 25 500.025cm3A-3 试计算 (b)图形对 y，z 轴的惯性矩和惯性积。 解：查型钢表得 20a 号工字钢几何性质：h 200mm, Iz' 2370cm4 , I y' 158cm4' 1

13、3 6故 I z Iz' 2 0.1 1.43 10 6 0.1 0.014 z z 122370 1083210 1085580 108m 41 2 3Iy2 1.4 10 2 0.1312158 10 8 233.3 10 8 391.3 10 8m4由对称性， I yz 0A-8 计算图示（ a）图形的形心主惯性矩。 解： 1.首先求形心位置：150 50 25 200 50 150h150 50 200 50168750096.43175002.求惯性矩Iy112 5 153 112 20 53解：（ b）自右向左分析： 1-1 截面 FQ1 2F ，弯矩 M 12Fl ；2-

14、2 截面 FQ2 2F ，弯矩 M 1 Flc)支座反力 FA6 8 8 20kNA 6 3铅直向上），自左向右分析：1-1 截面 FQ16kN ，弯矩 M112kN m ；41406.25 208.33 1614.58cm 41 3 2 1 3 2Iz5 2035 20 159.643 15 535 15 9.6432.512 12 3333.32869.7156.253826.7 10185.95cm44- 1 求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。2-2截面 FQ2 2/3kN ，弯矩 M2 12kN m4-2 写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：支座反力 FA剪力方程

15、：FQ(x)52ql，52ql3FB 2ql ，2qx(0 x2l)弯矩方程：FQ(x)0(2lx 3l)M(x)5qlx2qx2 (0 x2l)M (x)2ql2(2lx 3l)由方程作图。注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。自左向右分析：4-3 利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。解： (a) 自左向右分析(这样不需要计算固定端反力) 梁分 3段，5 个控制面FQ1 0,M13Fl ； FQ2 0,M2 3FlFQ3F,M33.5Fl ； FQ40,M43.5FlFQ5F,M54Fl(b)支座反力 FA29 / 3kN, FA13 / 3kN梁分3 段， 6

16、 个控制面FQ10,M 1 4kN m； FQ26kN, M 22kNFQ311/ 3kN,M3 2kN mFQ411/ 3kN,M4 16 / 3kNmFQ511/ 3kN,M5 4/3kN mFQ613 / 3kN, M6 011/313m6mM max 169 / 36kN m 位置距离右端 13/ 6m/kN13/3M /kN?m16/3 169/365- 1 图(a) 所示钢梁( E=2.0× 105MPa)具有(b) 、(c) 两种截面形式， 试分别求出两种截面形式下梁的曲率 半径，最大拉、压应力及其所在位置。解：（ b）截面5max8 103114.81MPa （上拉下

17、压） 2 0.1 0.182c）截面形心位置：180 50 25 180 50 140 82.5mm2 180 50Iz12183 518 14 8.251 18 53 18 5 8.25 2.5 21224302975.6187.5 2975.648568.7cm4EIz112.0 101188568.7 10 88 1032142.18mt maxIz0.0825 8 10 88568.7 10 80.0825 7.7MPac maxIz0.23 0.0825 13.77MPa5-4 求梁指定截面a-a 上指定点 D 处的正应力，及梁的最大拉应力解： 1.求弯矩Bzcm axtmax 和最

18、大压应力支座反力： FA10kN3a-a 截面弯矩10 M36.67kNm最大弯矩：max40313.34kNm2.求形心轴20 302011541230 1524152205465.7 12.91cm423.3Iz1 201245000t maxM maxIzc max22152 20 12.9115444212.91642620.862485.058883.136252.7cm303 20 30 1512.91210313.34 1038 12.9136252.7 10 82104.75MPaM maxIz3012.9132 13.34 103 10 2 8 36252.7 10 817.

19、09 10 2 6.289 MPa截面 a-a 上指定点 D ： mDax36.67 10328 20 7.5 12.91 10 2 0.0754MPa 36252.7 10 85-5 图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为 字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几 ?解：设工字形截面腹板上最大正应力1，其承受的弯矩40MPa，试问：工h/2 x2 1 25dx x 1041666.7 10 h/2 1 翼缘上最大正应力 2，其承受的弯矩 h/2 x 22 400dx x 5015151.5 2 h/2 22h/2Q2111 ，故腹板上承受总弯矩的百分比为1

20、0h/21041666.7 11110000 15.880 01041666.7 1 5015151.5 1101 1即翼缘上承受总弯矩的百分比为 84.12 005-6 一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式： (a) 别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。整体； (b) 两块上、下叠合(c) 两块并排。试分解： (a) 固定端弯矩最大 最大正应力位于该截面MyIzlql 2 y13a 2a12正应力分布规律3ql24a4 y3ql2max 34a(b) 根据变形协调， 上下两块梁上作用的分布荷载集度均为 q/2maxMyIZql l y223 aa 123ql24y a3

21、ql22a3(c) 两块并排时 两块梁上作用的分布荷载集度均为 q/2MyIZq2l 2l y1a112 a2(2a)3ql24a423ql2max 34a正应力分布规律5-8 一槽形截面悬臂梁，长 6m，受 q=5kN/ m的均布荷载作用，求距固定端为 面 100mm 处 b-b 线上的切应力及 a-a 线上的切应力。0.5m 处的截面上，距梁顶解： 根据切应力公式yzz'FQSZ ，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩IZb( 1)剪力 FQ 5 5.5=27.5kN(2)形心位置、形心惯性矩，如图2 60 140 120 280 50 25 z 76.82mm2 60 140 2

22、80 501 3 2I Z 2 (60 1403 60 140 (70 (76.82 50) 2)121 3 2 7 4280 503 280 50 (76.82 50/2)2 9.9 107mm4 123) b-b 处切应力bb*3FQSZ* 27.5kN (60 100 63.18mm3 )I Zb9.9 107 108 mm4 60mm1.77MPa4) a-a 处切应力由于 a-a 位于对称轴 y 轴上，故aa5- 9 一梁由两个 18B 号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的 a-a 截面上，剪力为 18kN 、弯矩为 55kN ·m ，求 b-b 截面中性轴以下 40m

23、m 处的正应力和切应力。解：FQb-b 截面的剪力、弯矩分别为18 30 40 52kN55 18 1.4 30 1 40 0.3M18B 号槽钢的几何性质38.2kN mh 180mm ，4I z 1369.9cm4 ， bzC70mm ， t 10.5mm , d9mm由正应力公式0.04 55.77MPaMy 38.2 103 IZ 1369.9 2 10 8切应力公式FQSZ*52103 (70 10.5 84.75 10 9 9 39.5 59.7510 9)IZd1369.9 10 8 9 10 335.23MPa50× 50mm 的木条，如图所5- 10 一等截面直木梁

24、，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为 示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN ，试求粘结层中的切应力。解：求中性轴位置和 Iz50 5 100 12.5zC10cm50 100I z112510350521122053100 2.5222500cm2FQS*z 20 103 25 10 4 0.025Q z 8 1.0MPa I zb2500 10 8 0.055-11 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b、 h，长度为 l 。（1）证明在距自由端为 x 处的横截面上的切向分布内力 dA 的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内 力dA 的

25、合力偶矩等于该截面上的弯矩。（ 2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力 沿梁长度的变化规律如何 ?该面上总的水平剪力 FQ有多大 ?它由什么力来平衡？解：( 1)取 x 截面左边部分，由其平衡Fiy0 ，dAAqx 0 ，A dA qx FQx y qx2Mi 0 ，dA0 ，dA yqx MA2A2(2)沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁，因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布， 由切应力互等，截开面上的切应力 沿梁长度是线性分布。沿梁长度剪力方程 FQ (x) qx ，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为(x) 3FQ(x) 3qx ，宽度方向均匀

26、分布，故总的水平剪力 2bh 2bhFQl0 (x)bdx0l 3qxbdx0 2bh3ql24h它由固定端约束力平衡。5-12 向下。试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ 的方向竖直解：Ay5-1484m。解： （1） 计算支座反力，作弯矩图（2） 校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面）C 截面正弯矩最大MC ymax tmaxIZMC y'max cmax IZ D 截面负弯矩最大M Dymax tmaxIZM Dy'max cmax IZ 符合强度要求32.5 10 0.088 28.80MPa76410

27、 832.5 103 0.05276410 84 1030.05276410 84 1030.08876410817.02MPa27.23MPa46.07MPa5-15 一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/ b，以及锯成此梁所需要木料的最 d。Wz61bh216b(d2 b2 )dWz0d2 3b2 0 b d / 3dbM max312 103 3 3Wz6 1.2 10 3m310 106d33Wz=1.2 10 393d 266mm5-16 截面为 10号工字钢的 AB梁，B点由 d=20mm的圆

28、钢杆 BC支承，梁及杆的容许应力 =160MPa，试求容许均布荷载 q。解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题（ 1）对于 BC 拉杆所受轴力 FN 3q 1.59qN24由强度条件 max FN9q4 0.022 A4得 q 22.34kN/m（2）对于 AB 梁 其剪力弯矩图如图工字钢横截面中性轴对称 , 危险截面为弯矩绝对值最大的截面 由强度条件M max 0.5qmaxWZ49 10 6得q15.68kN/m从而确定容许均布荷载6- 1 用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设 EI 为已知。 解：(1)支座反力计算FAy 0 ， FB F(2) 列弯矩方程M1(x) 0， (0

29、x a)M 2(x)F(x a) ， (a x 2a)(3) 将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程EIw1(x) 0 ， (0 x a)EIw2(x) F(x a)， (a x2a)4)积分一次EI 1(x) C1， (0x a)1EI 2(x) 2F(x(5)再积分一次a)2C2 ，(a x 2a)EIw1(x) C1x D1， (0a)EIw2(x) 1F(x a)3(6)边界条件、连续光滑条件C2xD2，(a x 2a)由x0,w10得 D10； x a, 12 得 C1 C2由xa,w1w2 得 D2D1 0 ； x2a,w2 0;得 C2Fa12(7)从而 C1(x) xFa2 ； a

30、12EI ；wC w1(x) x aFa312EIa,a,w1x12;x0,w1 0;x 2a,w2 0; x6-2 对于下列各梁，要求：（1） 写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。（2） 根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。 解：（a）（1）边界条件和连续光滑条件x 0, 1 0;x 0,w1 0x l, 1 2;x l,w1 w2x 2l, 2 3;x 2l,w2 w32）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩，下部受拉）d）（1）边界条件和连续光滑条件x 0,w1 0 ； x 2l,w2Fl2EAx l, 12;x l,w1 w

31、2（2）梁的挠曲线的大致形状如图6-3 用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。 解：查表得 F 单独作用下wD(F)F(3l)33EIwB(F)2F6(3ElI)2(3 4l 3l)Fl 单独作用下wD(Fl )Fl (3l)22EIwB(Fl)Fl(4l)22EI叠加得到27Fl 343Fl 3wD， wB2EI 2EI6- 4 图示悬臂梁，容许应力 =160MPa，容许挠 度 w=l/400 ，截面为两个槽钢组成，试选择槽钢 的型号。设 E=200GPa。解：（1）根据强度条件选择 槽钢横截面中性轴为对称轴WZmax10悬臂梁弯矩图如图2WZ10 103160 10662.5cm3/k

32、N?m查表， 2 个 10 号槽钢截面3WZ 39.7 2 79.4cm3 满足要求。（2）刚度条件自由端挠度近似看作最大挠度，则由叠加法wmax2 103 422EI(4 103 233EI4 103 222EI2)2 103 24(2 180EI 22 10 2 2) 20 106EIEI从而由刚度条件 wmaxwl /4000.01m得 wmax20 103EI0.01，1059200 109201041000cm4查表， 2 个 14a 号槽钢截面IZ563.7 241127.4cm 4 满足要求综合看选择 2 个 14a 号槽钢。7- 1 单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定

33、方向面上的应力。 解：由平面应力状态斜截面应力公式a）从而d）从而x2 y x 2 ycos2x y sin220MPa60o60o6060ox cos2xsin2， y 50MPa ， x70MPa ，60o30cos120o 70sin120o 18.12MPa270230 o osin120o 70cos120o 47.99MPa220MPa ， y40MPa ， x 0 ，60 20 cos(2220sin( 120o)120o ) 35MPa8.66MPa607- 3 单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求单元体的主应力大小和方向，再用解析公式法校核，并 绘出主应力单元体。解：（ c

34、） x 80MPa ， y 20MPa ， x 30MPa其应力圆绘制：在 O坐标系里描出 D1（x，x）、D2（y，y），连接 D1、D2 两点与 轴交点 C，以 C 为圆心， C D1或 C D2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。从图上可知88.31MPa ， 2 0， 3 28.31MPa ， 015.48od)1公式校核：130280 20280 202(80 20)2 302 88.31MPa(80 20)2 30228.31MPax 10MPa ，y 10MPa ，x 10MPa图示 A 点处的最大切应力是7-5解：A 点所在截面剪力为 F、弯矩 由切应力公式、正应力公式0.9

35、MPa ，试确定M=0.2FF 力的大小。FQSzIzb93 112.5F50 20031550 10 1512F 50 50 75 10MyIz30.2F 50 10 33 300F50 2003 10 1212 10该点主应力分别为300F1232300F (300F300F)2 (112.5F )22)2 (112.5F )2从而最大切应力max1 2 3 187.5F0.9 106 ，得 F337.5 F37.5F4.8kN7- 7 求图中两单元体的主应力大小及方向。 解：用应力圆法在O坐标系里描出 D1（ 30o， 30o ）、D 2（ 30o ， 30o ），从 D1面转到 D2面

36、，单元体逆时针转了 240o则在应力圆上逆时针转 480o，即它们所夹圆心角 120 o，其应力圆如图由图可知， 1 3F / A， 2 0 ， 3F / A ， 0 30o 即为图中单元体 x 方向。7- 9 在一体积较大的钢块上开一个立方槽，其各边尺寸都是1cm，在槽内嵌入一铝质立方块，它的尺寸6 103是 0.95× 0.95×1cm3（长×宽×高 ）。当铝块受到压力 F=6kN 的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量 E=7.0×104MPa，=0.33，试求铝块的三个主应力和相应的主应变。解： F 沿高度方向作用，4 66.48MPa

37、0.95 0.95 10 4若铝快的变形填充整个立方槽则由广义胡克定律xE1( xyE1 ( yz ) 0.005/0.95=0.0526z ) 0.005/0.95=0.05261cm0.95cm0.95cm得到 x y 5462.8MPa ，显然是不可能为拉应力的。故铝快的变形未能填充整个立方槽从而 x y0即10，2 0 ， 3 66.48MPa1E1(142 3) 3.134 10 4相应的主应变21(213) 3.134 10 4E31(312) 9.497 10 47-10 在图示工字钢梁的中性层上某点K 处，沿与轴线成 45°方向上贴有电阻片，测得正应变 =-2.6 &

38、#215;10-5，试求梁上的荷载 F。设 E=2.1×105MPa，=0.28 。解： K 点处于纯切应力状态，所在截面剪力为A 支座反力MB 0， FAy2F3FQK查表得 28a 号工字钢I x :Sx 24.62cm ， d 8.5mm故K 点切应力FQK2F(Ix :Sx)d3 24.62 108.5 10 3318.57F根据该点应力状态，由斜截面应力公式求±45o 方位面上正应力xy45ox 2 y cos90o xsin90o318.57Fxy45ox2 ycos( 90o)x sin( 90o ) 318.57F由广义胡克定律， 45 从而得出 F 13.

39、4kN45o )2.6 107-11 图示一钢质圆杆， 直径 D=20mm。已知 A 点处与水平线成 ×105MPa， =0.28, 求荷载 F。解：横截面应力： y F / A70°方向上的正应变 70°=4.1 × 10-4E=2.170o/ 2- /2 cos(140o) 0.5F(1+cos40o)/ A-20o 0.5 F (1-cos 40o ) /A由广义 Hooke 定律70o可得：E( 70o-20o2EA 70o01 (1 )cos 40031.8kN7-12 用电阻应变仪测得受扭空心圆轴表面上某点处与母线成45°方向上的正

40、应变 =2.0 ×10-45E=2.0 ×105MPa,=0.3 ，试求 T的大小。已知解：该点处于纯切应力状态切应力 T316T 4 561.77TWPD3 (1 4)根据该点应力状态，由斜截面应力公式求±45o 方位面上正应力45oxy2x2 y cos90o x sin90o561.77T45oxy2cos( 90o) x sin(90o) 561.77TE1 ( 45o从而得出 T 54.77kN m由广义胡克定律，45o45o ) 2.010 47-13 炮筒横截面如图所示。在危险点处， t=60MPa，r=-35MPa ，第三主应力垂直于纸面为拉应力，

41、其 大小为 40MPa，试按第三和第四强度论计算其相当应力。解：第三强度理论相当应力第四强度理论相当应力这里 1 60MPa 2故 r 31 3 95MPar440MPa ， 3 35MPa12( 1 2) (r41 2 2 22( 1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 86.75MPa7- 20 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力1=-650MPa ，2=-700MPa ，力 =250MPa ，试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。3=-900MPa 。如钢轨的容许应解：第三强度理论相当应力r3 1 3第四强度理论相当应力r412( 1 2)2 (这里 1 650MPa ，

42、2700MPa ， 3故 r 3 1 3 250MPa= 900MPa23 )r41 2 2 22( 1 2 ) ( 23)( 31) 229MPa< ，所以该点满足强度要求。7-24 图示两端封闭的薄壁圆筒。 若内压 p=4MPa ，自重 q=60kN/m ，圆筒平均直径 D=1m ，壁厚 =30mm， 容许应力 =120MPa ，试用第三强度理论校核圆筒的强度。解：内压产生轴向应力和环向应力分别为pD4 pD24 10 33.3MPa4 0.0366.7MPa故该点 179.1MPa ， 266.7MPa ， 3 0"' + "'自重作用下，下部将

43、产生轴向拉应力，上部将产生轴向压应力危险点位于中间截面最下部，该点自重产生的轴向拉应力为2 3 2M ql260 103 122 45.8MPaWz 8 (D2)28 (12)2 0.03根据第三强度理论 r3 13 79.1MPa< ，所以该点满足强度要求。8- 4 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力 F1 和竖直力 F2 的作用。若 F1=800N ，F2=1600N ， l=1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置：（1）宽b=90mm，高 h=180mm ，截面为矩形，如图 （a）所示。（2）直径 d=130mm 的圆截面，如图 （b）所示。解：（1）在 F

44、1 和 F2 共同作用下梁固定端截面内侧上角点为危险点（拉应力最大 ）或外侧下角点为危险点 （压应力最大 ），最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为max2F1lWyF2lWz2F1lhb2F2l2 9.88MPa bh262）在 F1 和 F2 共同作用下梁固定端截面为危险截面，该截面合弯矩（如图）为M合Mz2 My2(F2l)2 (2F1l )2右侧 A 点为危险点 （ 拉应力最大 ）或左侧 B 点为危险点 （压应力最大 ），最大拉应力和最大压应力大小数值 相同，为maxM合W(F2l)2 (2F1l )2d33210.5MPa8- 6 图（a）和图 （b）所示的混凝土坝，右边一侧受水压力

45、作用。试求当混凝土不出现拉应力时，所需的宽度b。设混凝土的材料密度是 2.4 ×103kg/m3。解：（ a）如图， AB 面为危险截面B 点为危险点，取单位坝段（ 1m 长）分析AB 面上内力FN混gbh水 ghh 13 h61 水 gh3FNA混 gbh b1 混 gh水gh3b2水gh3 /b2得bh水 5.81m混b）如图，B 点为危险点，取单位坝段（ AB 面上内力混gbh2AB 面为危险截面1m 长）分析FN水ghh 13 hW b661 水 gh3112 混 gb2hFNAgbh2bgh3b2gb2h2b2ghgh3 /b2水得bh5.81m混8-10 短柱承载如图所示， 现测得 A 点的纵向正应变 解：短柱发生偏心压缩变形， A点所在截面内力FNF ， M Z 0.06F ， M y 0.09FFN Mz M y 0.07A WzF0.12 0.180.06F20.18 0.12260.09F 0.0730.12 0.18312200.62FA 点处于单向应力状态，A E A 5MPa从而 F 24.9kN解：8-12 试确定图示各截面图形的截面核心。