高等数学期末考试试题

1、重庆三峡学院 2008至2009学年度第2期高等数学（二）试题（A）试题使用对象2008 级 工科各 专业（本科）命题人：陈晓春考试用时 120分钟答题方式采用：闭卷第9页，共5页说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。、填空题（每小题 3分，本题共15分）2.D:x2R2,贝U，x2 y2dxdyD3.2:xR2,则 dxdydz收敛，则5 .微分方程yex 1的通解二.单项选择题（每小题 3分，本题共15分）f （x, y）在（Xo, yo）点有定义。f （x, y）在（x0, y0）点存在极限。1.存在 fx（Xo,yo

2、），fy （Xo yo ）。则有（）。A, z f （x,y）在（刈，丫。）点连续。 BC, z f (x, y)在(x0,y0)点可微。D3. zun收敛，则下列级数1）也收敛。A,1 +unn 1(Un 1) C , n 1unD,n 1(1) unn 13x12y20的极大值点为（A(1,2)B(-1,2)C (-1,-2)D (1,-2)4.设曲线L:a cost asintt 0,2,则曲线积分ds“2A、 aB、2 a23C、 aD、2 a35.表达式 P(x, y)dxQ（x, y）dy为某一函数的全微分的充要条件是（A、P= Q.,B、二、计算题1、设函数（每小题8分,P =Q

3、y xC、共7小题，共56分）f （x y,xy）,具有二阶连续偏导数，求Q D _P= _Q y ' y x2u u一?x x y222、求曲线 x 2t2 7t,y 4t 2,z 5t24t在点（5, 6,1）处的切线及法平面方程。Ix2dxdy,其中DD是由曲线xy 2 , y 1 x2及直3、画出积分区域的草图，并计算二重积分线x 2所围成的区域。4、求哥级数2）的收敛半径与收敛域。n 1. n5、设f（x） x（0 x 2）,将f （x）展成以4为周期的正弦级数。、一 3.3.3 2222一，一6 .计算 x dydz y dzdx z dxdy,其中 是球面x y z R的

4、外侧。7 .求微分方程xy y 1的通解。三、应用题（7分）求棱长之和为12l l 0 ,且具有最大体积的长方体体积。四、综合题（7分）已知上半平面内一曲线y y（x）（x 0）过点（0,1）,且曲线上任一点 M （x, y）处切线斜率数值上等于此曲线在0到x之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.重庆三峡学院2008至2009学年度第2期高等数学（二）试题（A）答案试题使用对象 ： 全院2008 级 工科各 专业（本科）命题人：陈晓春 考试用时 120分钟答题方式米用：闭卷填空题（每小题 3分，本题共15分）2.R3R33.4.x 125. y e x Cx C22二.

5、单项选择题（每小题 3分，本题共15分）1. B2. A3. C4. D5. A二、计算题（每小题 8分，共7小题，共56分）f （x y,xy）,具有二阶连续偏导数，求2uOx y解.xf1f2y fnx3yf21xyf22f22、求曲线X22t2 7t,y4t 2,z25t24t在点(5, 6,1）处的切线及法平面方程。解:1对应点（5,6,1)对应的切线方向向量(x(t),y(t),z(t)|t1 (4t7,4,10t4)|t 1(3,4, 6)4 分切线方程法平面方程为3(x 5)4( y6) 6(z 1)或 3x 4y6z 45 03、画出积分区域的草图，并计算二重积分2 xdy2x

6、x2dxdy ,其中D是由曲线xy 2 , y 1 x2及直D线x 2所围成的区域。解：图21.2 ,I x dx12x2(112)dx x2(x212x)dxr 1 3 3x2 2x i83154、求哥级数（x 4）的收敛半径与收敛域。- n解：令ts、，tnx 2 ,上述级数变为_t_n 1 . n因为limnan 1an. nlim j=1,所以收敛半径 R = 1。n n 15、设解:6.7.时,1 .,发散；当t = -1时，级数1 .n(1)n收敛;f(x)x(01 x 2 1 ,故原级数的收敛域为1 xx 2),将f (x)展成以4为周期的正弦级数。将f (x)延拓为周期为4的奇

7、函数，其Fourier系数anbn0,n 0,1,2,f (x)sin nxdx2xsin02xcos n4cosn nn x ,dx2n x 22 sin3。1分3分6分8分n1) ,n1,2,3,2cos0n x dx24f (x)n1(1 nn 1. n1) sin 一3计算 x dydz解。由高斯公式可得223 (x y求微分方程xy y解：令 yp(x), yC1 ln x三、应用题(7分)3dzdx z dxdy,其中2是球面x6分8分2R的外侧。x3dydzy3dzdxz3dxdyz2)dv 31的通解。1一 dxx (C2求棱长之和为12l l解：设长方体的棱长分别为0dR 4

8、.r sin 0dr121一 dxx dx C)1(x xCi)且具有最大体积的长方体体积ox, y,z。 则 x y z 3l ,目标函数 V xyz令 L xyz x y z 31Lxyz0Lyxz0由Lzxy0L x y z 3l 0解得 x y z l (唯一驻点) 由实际问题知长方体体积的最大体积一定存在，因此 V l,l,l l3即为所求.7分四、综合题(7分)已知上半平面内一曲线y y(x)(x 0)过点(0,1),且曲线上任一点 M (x, y)处切线斜率数值上等于此曲线在0到x之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.x解：依题意，得y 2 ydx y2分0