高等数学习题解答(上海交大)习题解答

1、精品文档n 11 ；1.写出下列级数的前5项:第11章级数(1)n113n1 3L (2n 1)4L 2n.2看解答:13"1233 341?32?435 L 1?3?5 2?4?61?3?5?72?4?6?81?3?5?7?92?4?6?8?101_ 2(ln2)3456(ln 3) (In 4) (In 5) (In 6)所属章节：第4 难度：一级1 1?21 22一早弟一1?2?333节1?2?3?4 1?2?3?4?544552.写出下列级数的通项:101217 . L20x - x2 4 62x L2 4 6 8解答:n，2n 11)n 1n2 1n(n 1)'nx

2、2(3)。2?4L 2n所属章节：第十一章第一节 难度：一级3.已知级数的部分和Sn,写出该级数，并求和:(1) Snn 1一；(2) Sn n2n解答:(1) 一股项为u12,unSnSn1,nn(n 1)2,3,L ,故该级数为211,该级数的和为n 2 (n 1)nlimnSnlimn精品文档1一股项为5 g万,UnSnSn2n 12n2n 1 12n 11人n 2,3,L，故该级数为1 、片n1 2n2n级数的和为lim Sn lim nn 2所属章节：第十一章第一节 难度：一级4.根据定义求出下列级数的和:3n2n公n161n(n 2)1 (n1)(nn2)(n 3)(4)( . n

3、-2 2 . nH . n)n 1解答:3n2n6n(2)n(3)n 1 3121213131 n(n 2)-(2 n2)12(11 (n 1)(n 2)(n 3)(1231、，11、-)()22 2 34；1)n).n)所属章节：第4 难度：一级早用5.证明下列级数发散:2n解答:(1)由于Un一 t 一 2n由于Unnn2n 10,nn12n 1发散;2n，所以级数一发散;n 1 n(3)由于Un所以级数n一 发散;n(4)由于Un1 n _ n n(n )(n 1)n所属章节：第4 难度：一级n早弟(11nn1)n n发散。6.用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：(1

4、)； (2) sin -4； (3)"； (4),12； (5)需；n 1 ln( n 1) n 12n 1 n 1n 1 n(n 1) n 1 n n1-1(6) sin ;-一n-(an 1 nn 1 1 a0) ； (8) ln(1n 1n_ 访U 皿 n1 丁(a 0)(第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题)参考答案：(1)发散；(2)收敛；(3)发散；(4)收敛；(5)发散；(6)发散； 当a>1时收敛，当a<1时发散；(8)收敛(参考答案有误？)；(9)当a<e时收敛，当ae时发散一， .一 11 一一， 1 1解答：(1)

5、由于 一1一 1 ,而级数 1发散，故正项级数一1一发散;ln(n 1) nn 1 nn 1 ln(n 1)(2)由于sin= ,而级数 一收敛，故正项级数sin J收敛；22n 1 2n 12(3)由于约 n 1 ,所以正项级数发散；n 1n 1 n 113， 一1r,人，(4)由于一_n21 ,所以正项级数1 收敛;n(n2 1)nn(n2 1)(5)由于、1,而级数 1发散，所以正项级数上发散；n n nn 1 nn 1 n n.1一. 一.1 ,，(6)由于sin- n 1 ,所以正项级数sin发目攵；nn 1 n(7)当a 1时，由于n20,所以正项级数小收敛，1 an 11 a1

6、一 一.1,当a 1时，由于1,所以正项级数发散;2 m1 an1ln(1 -)11(8)由于粤L1,而调和级数 二发散，所以正项级数ln(1 ；)发散;1n 1 nn 1 n、： nnn 1 n当a e时，由于limulim a (n *口lima1 ,所以原级数收敛,n Unn (n 1)n 1ann!n(1 )n e当a e时，由于叱Unn 1na (n 1)! n,、n 1 n(n 1) a n!na 1,所以原级数发散。(注：本题已改用(1 1)n en比值判别法所属章节：第十一章第二节 难度：二级7.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性:(2n 1川；13nn!2$(3)1

7、 n 1 lnn(n；(4)1)3n1 n?2n(5)PA2(6)n; (7) arcsin2 -;n 1 3nn 1n(8) n?tan-n-1n 12n，一、 b(9) 一 ,其中 an一a(n一0°), an、 n 1 anb、a均为正数参考答案：(1)收敛; 收敛；(3)收敛；(4)发散；(5)收敛；(6)收敛(参考答案有误？)；收敛(无法用所给方法判别，建议移至上一大题)；(8)收敛；当b<a时收敛，当b>a时发散，当b=a时不能判定Un 1(2n 1)!3nn!2n 12 d解答：(1)由于 lim -1 lim Llim - 1,nunn 3n 1(n 1)

8、! (2n 1)! n 3(n 1) 3所以正项级数(2, 1)!收敛;n 13nn!Un 1 (n 1)所以正项级数，收敛；n 1 33n (n 1)21d(2) 由于 lim 11mA-ni211mA六一1,n Un n 3 n n 3n 3由于lim n Unn ,1 lim 0 1 ,n ln(n 1)所以正项级数1n 1 lnn(n收敛;1)由于lim n Unn -lim 3n 2n n所以正项级数3nJ发散;n 1 n?2n(5)由于lim u n Un.(n 1)!limn-1n (n 1)n 1limn(111)n n所以正项级数n!收敛;1 n(6)由于lim n Unn

9、'(1 1)n lim nn n 3n1,所以正项级数n 1 n2()3一发散;1 3n.2 1 arcsin由于.一 1 一一 1,而级数 =收敛，所以n 1 n-2arcsin1收敛；（注：由于本题用比值判 n2n别法判别失效，本题已改用比较判别法）(8)由于limnun 1un(n 1)tan /lim2-nntan 2n21,所以正项级数n?tan 77 收敛;n I一 一 .一 一 bb(9)当 ab 时，由于lim 而7lim 一1,nnana所以n收敛,an当a b时，由于limlim n 、 n an1,所以bann发散,当a b时，由于lim JT lim nn an

10、1,所以n的敛散性无法判定。an所属章节：第十一章第二节 难度：二级8.用积分判别法判别下列级数的敛散性:2c21； （2） nen ;n 1 n nn 1参考答案：（1）发散；（2）发散 时发散arctan nn 1n2 1n 1 (n 1)ln p(n 1)（原参考答案有误？）；（3）收敛；（4）当p>1时收敛，当p< 12解答：（1）由于积分Wdx1 3 x23x3发散，所以由积分判别法知，原级数发散;v21由于积分xe dx -e12x21六敛,所以由积分判别法知，原级数收敛;（3）由于积分arctanx,1. 2dx - arctan x（4）当p>1时，由于积分1

11、322收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛;1 (x 1)ln p (x 1)dx Tn 1p1 /(x1)(pp 11)ln p-收敛，所以2由积分判别法知，原级数收敛当p 1时，由于积分(x 1)ln p(x 1)dxln ln(x1)发散,所以由积分判别法知，原级数发散。当p 1时，由于积分(x 1)ln p(x 1)dx11npi(x1)1 发散，所以由积分判别法知，原级数发散。综合知，原级数当p>1时收敛，当p<1时发散。所属章节：第十一章第二节难度：二级9.利用级数收敛的必要条件,证明下列极限:(1) lim 0 ; (2) lim nn n!nnn3n0 ; (3)

12、limn 0n n!?2n解答：（1）由于lim nun 1unlimnn所以由比值判别法知正项级数级数收敛,n i n!于是由级数收敛的必要条件知limnn彳0;n!由于lim u n Un.(n 1)! nlim 台n (n 1) n!1,所以由比值判别法知正项级数级数n里收敛,n!于是由级数收敛的必要条件知lim nn!0；由于lim u n Un3n 1n! 2nnm (n 1)! 2n 13nn所以由比值判别法知正项级数级数收敛,n 1 n!3n于是由级数收敛的必要条件知lim 上不0 n n!?2n所属章节：第十一章第二节难度：二级10 .设aQ0,且 an收敛，证明a2也收敛n

13、1n 1解答：由于正项级数 an收敛，所以lim an 0 ,存在正整数N ,当n N时，a01 ,从而 ,n当n N时，a2 an 1 ,由正项级数的比较判别法知，级数a2收敛n 1所属章节：第十一章第二节难度：二级M2一,于是an n11 .设an>0,且数列nan有界，证明 a2也收敛 n 1解答：由于数列nan有界，存在正数M , nan M ,从而an2数 +收敛，由正项级数的比较判别法知，级数a2收敛。n 1 nn 1所属章节：第十一章第二节(an bn)2也都收敛 n 1难度：三级12 .设an>0, bn>0,且 an和 bn都收敛，证明anbn和n 1n 1

14、n 1解答：由于an>0, bn>0,且ann 1和 bn都收敛，故由第n 110题结论知级数a2n 1b2收n 1敛，又由于1 2 anbn -an2所以由正项级数的比较判别法知，级数anbn收敛;n 1再利用(an bn)2 2a2 2bl2 ,所以由正项级数的比较判别法知，级数(an bn)2 收敛。n 1所属章节：第十一章第二节 难度：三级13.设an>0,且 an收敛，证明n 1包也收敛n解答：由于an>0,an收敛，故由第10题结论知级数n 1a2收敛，结合级数1并利用不等式an1 2 an212， n所以由正项级数的比较判别法知，级数生收敛。n 1 n所属

15、章节：第十一章第二节 难度：三级14.设 an和 bn都是正项级数，如果吼 也，则当n 1n 1anbnbn收敛时,an也收敛；当ann 1发散时，bn也发散n 1解答：由已知条件知，亘ai an 1 an 2 ai且殳！ L b2 bibnbn 1 bn 2bl或an亘电！ L曳a2an 1 an 2a2bnbn 1 Lbn1 bn 2b3b2b2 bn ,故由比较判别法知，当bn收敛时，烝也收敛；当 烝发散时， 必也发散n 1n 1n 1n 1所属章节：第十一章第二节难度：三级15.设数列nan收敛，且级数n(an an 1)收敛，证明级数 n 1an也收敛。n 1解答：设级数n(ann

16、1an 1)的部分和数列为Tn ,级数ann 1的部分和数列为Sn ,则Tn a1 a02(a2ai) 3(a3 a2)L n(an an 1)aoa1a2L an 1 nan nan a。 Sn 1由于数列nan收敛,级数n(an an 1)收敛，故数列n 1Tn、 nan均收敛，由上式知数列Sn1收敛，从而数列Sn收敛，于是级数an收敛。n 1所属章节：第十一章第二节难度：三级16.判别下列交错级数的敛散性：3n 1 1n 1 nn 1 n 1n 1 ln n(1) 丁；(2)( 1) /； (3)( 1) - ； (4)( 1)1,n单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理n 1/nn 12n

17、 13n 2n 1n解答：(1)对交错级数(1)n1-%,由于数列n 1n知收敛;33对交错级数 (1)n1 1 ,由于数列 二 单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛; n /n nn 122对于级数(n 1z 1 n 1n 11),由于 lim3n 2 n 3n 21,所以一般项不趋于零，故级数发散;3对交错级数1)n1ln上，由于数列 nn单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛;所属章节：第十一章第三节 难度：一级17.判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？：1)n 113 (2n 1)；(2)(1)n11nn 11)ncos n0)；(5)3n3 4n；(6)si

18、nn 1;(本题应为1n nsinn 21In n1)n 1 3n 1；(8)解答：(1)对级数 (1)n 11(2n 1)30,所以绝对收敛;(2)对级数1)n 1 n1,由于 nimnn11 1,所以一般项不趋于零，故级数发散;(3)对级数1)n 11nln- 单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收 n 1敛，但是n 1(5)(1)n1ln n其部分和数列Sn1n(n 1)发散，故原级数条件收对级数 (n 11)ncos(n0)，由于limnun12 n2,所以原级数绝对收敛;对级数n 11 3n3 4nn,由于lim n n -unlim n3n3 4n1 ,所以原级数绝对收敛;(6)对

19、级数 sinn 2J (In n n 2n.1) sin上，由于数列sin 单调减少趋于零，所以由莱ln nln n布尼茨定理知收敛,但是n 1n 11(1) sinlnn.1sin n 1 ln n由于级数111sin1 ,故原级数条件In n In n n收敛;(7)对级数1)n 1 31)n1 13n 11n 1 3n 1故原级数绝对收敛;(8)对级数n1).冗-sin -,n 1 冗n(1n)n sin n1 .九Tsin-，1 .-sinn收敛,故原级数绝对收敛。所属章节：第十一章第三节 难度：二级18.求下列级数的收敛域:sinn x -(1)-； (2)n 1 n解答：(ln x

20、)n ; (4) n 1nxne(1)由于对任意实数x,fsinnx 1 工3皿有2-2 ，而级数零，故原级数发散,(3)由于当I1 xe1 ,收敛，故原级数的收敛域为-ocx<+oo； n 1 nIn x)n，1域为- xe(5)ln xe；(2)由于当X|>1时,nj1 1,此时原级数绝对收敛，当|x 1时,所以原级数的收敛域为ln x)n|ln x1 ,原级数发散，当x由于凶 1,易知原级数的收敛域为 x由于limnUn 1(x)Un(x)原级数一般项不趋于1 ,此时原级数绝对收敛，当,1 , 1 , e或x -时，易知原级数发目攵,ex<0;e x,易知原级数的收敛域

21、为x>0；.、1.x e或0 x -时, e所以原级数的收敛(6)由于当n足够大时一般项为正，可看作正项级数，lim nx Un(x) ex,易知原级数的收敛域 n为 x>1。所属章节：第十一章第四节 难度：二级19.求下列幕级数的收敛域:nJ 1*；(2)10nxn ； (3)n xn 1 n(n2n-2 0 n；(5)(1)n 12n 1n 1x(2n 1)(2n 1)!'(6)n2n 1 2n1 2n x(x 3)nn?3n；(8)(x 5)nnxn 1 (n 1)p；(10)1n 1 3n ( 2)nnx;n(11)qln n3 nxn 1 n解答：(1)由于lim

22、 aan1,所以收敛半径为1,而当x 1时，原级数条件收敛，当x1时,原级数发散,故收敛域为-1<x< 1;由于limnan1an 1一,10,所以收敛半径为,，而当x101行时,原级数发散,故收敛域为1x1110，由于limnan1an1 ,所以收敛半径为1,而当x1时，原级数绝对收敛，故收敛域为|x|<1;limnan 1an 1一,2 ,所以收敛半径为1 ,而当21x ,时，原级数绝对收敛，故收敛域为2(5)由于limnUn 1(x)Un(x)0 ,所以收敛域为-oc<+oo；(6)由于limnUn 1(x)Un(x)2 x 一,而当x2V2时，原级数发散，所以收

23、敛域为J2 x 72；由于limnUn 1(x)Un(x)6时，原级数发散，当x 0时，原级数条件收敛，所以收敛域为0<x<6;(8)由于limnUn 1(x)Un(x)6时，原级数发散，当x 4时，原级数条件收敛，所以收敛域为4<x<6;(9)由于liman1an当p>1时，x当0<p<1时，当p0 0时，x(10)由于 lim n1,所以收敛半径为1,1为收敛点，故收敛域为 冈0 1;1为发散点，x1为收敛点,1为发散点，故收敛域为X|<1;故收敛域为T&x<1;1 ,所以收敛半径为3,而当x33时，原级数发散，当x 3时，原级

24、数收敛，所以收敛域为-3<x<3;(11)由于pman 11 ,所以收敛半径为1,而当1时，原级数发散，故收敛域为 T<x<1。所属章节：第十一章第五节 难度：一级二级20.将下列函数在给定点x0处展开为幕级数:1一, x0 x3; (2) y(5)xa , xo0; (6) y2x 1 1,x0 1 ； (3)x2,x° 0 ； (4) y lnx,x01；(8)ln(2x 3x2), Xo（第10小题是否应为y解答：（1） y(5),xo1;""2 x ,xox 2x0； (9) y2x arctan x(x1下,X0ln(111 3(

25、x3)2xIn xL3(x1)2n xln1xln a e(x1)0; (10) y 2arctan x ln(1x2） 1,Xo 0?以下按此进行解答）1)n(x 3)n3n 1(0x 6);x2) 1,Xo 0；1)nnn2 (x 1)3n12( n 1)X n 0 n!(1)3n 1(lna)n n xn!1)n(06X.72 1X3 1X /V 1 - 5 一 6nD X-11n2X -2111 -2X -3 )1 311一3 X/V1一5 1n1) wo n 1-21 1X /(11 - 2X 12 X2Xo X(2n23X3X)3 -21 (X2)21(X-2)1(2X)1(2n1

26、巧)(10)在-11)nn n 1,2n 1 X (2)；由于y2、2xarctanx ln(1 x )1,所以y'2arctanx, y"(1)nx2n两边两次积分,注意到y'(0) 0, y(0)01)n 12nXn(2n-(I x| 1) 1)所属章节：第十一章第五节 难度：二级21.求下列级数的和:(1)n02n解答:2n 1 4(1)由于-1arctan x2n 19n1)n 2n1) X2n 1X2n积分得即得级数和为S4, 九arctan-； 4,一 1由于c(1 x)2nnxn 1即得级数和为S 4;2n x02n x13x2求导得吆（13x(-21

27、x)(2n2n1)x ,.1令x -， 3所属章节：第 难度：三级即得级数和为卜一章第五节22.求下列幕级数的和函数:n(n12)xn ;解答:n(n1n2)x13321 n(n 1)x n(nn 1n 11)x设 S(x)1 n(n 1)则 S'(x)设 S(x)S(x)S(x) x (1j2nn 1 n!x22e (2x1)x)ln(1x)2n xn(n4x-e4x22（本题有误？是否为S(x)dx1) n 1 x2(7)2 x -e 2n!x22空x2nn!nx1x(x 3)(x1)3n2 12n ?n!2n x(|x| 1)；x2e2n 1 2n ?n!1 xnn x 一,S&

28、quot;(x) n,在后式两边积分两次,即得1)2n 1n 1 n!2x(ex1)两边求导得12 (n?如果题目是(n 1)!(22)n 1 n! 2X21)e2 1 ,n2 1n 1 2n?n!x则答案与原参考答案相同,解答见下）n2 1 n n 1 2n n! Xn(n 1) n 1 x(2)n!1 X(1)n 2 (n 2)! 21 X n( )1 (n 1)! 21 X n-(-) n 1 n! 2X x? e 2Xe2X 1)e2 1 (所属章节：第十一章第五节 难度：三级23 .利用函数的幕级数求下列各数的近似值，精确到四位小数:(1) 330;(2) ln1.2; (3) co

29、s2°解答：（1）(3) 303273(13131 19 92± -181 933.1073 ;(2) ln1.2ln(1 0.2)0.2_2 0.22130.2 30.240.1823; cos2°cos 1904!(90)40.9994。所属章节： 难度：二级第十一章第七节24 .用幕级数表示下列积分:1 cosx dx ;X2 dx解答：（1）Xdxx-( X nln |x|-xn1 cosx , dx(11 3X3_XL)dx1)n112n (2n)!X0ex2dx2 n3dxn!1)nx(2n 1)?n!2n 1所属章节：第 难度：二级卜一章第七节25

30、.利用被积函数的幕级数展开式求下列定积分的近似值：0.51/0.8（1）4dx（精确到 10 4）; （2）x10sinxdx（精确到 10高0 1 x00.510.5解答：(1)4 dx 1 x x x dx 0.4940;0 1 x 00.80.8111(2) x sin xdx x (x x x x )dx 0.006。 003!5!7!所属章节：第十一章第七节难度：二级26.把下列周期为2冗的函数展开为傅里叶级数，并写出级数在-囚冗上的和函数:/八,/ 1,( 40) g、 e / e ，怎0) ZQ 2 f (x) s 、； (2) f (x)； (3) f(x)冗x,0,41,0,

31、可2 ,x ,(砥可；x f (x) 2sin 3,(小可；(5) f (x) |sinx|,( 解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数，an1一 f (x)cos nxdx, n 0,1,2,Lbn1一 f (x)sin nxdx, n 1,2,L1, a。 f (x)dx 1 -1 一、 ，1 0,1,、，1 ( 1)n -an f (x)cos nxdx - cosnxdx ( x)cos nxdx 2 , n 1,2,L0n11bn - f (x)sin nxdx ( 1)n(1) 1,n 1,2,Ln所以傅里叶级数展开式为2114 : n 1(2712 cos(2n 1)x n1

32、n；( 1)(14 1sin nx ;1,冗 x 0x,0 x 冗和函数为S(x) 1x02，1冗,x 冗2(2)计算得曲J''":'bnn ( 1)nne(1 n2)1 ( 1)n (1 n2),所以傅里叶级数展开式与和函数为n ( 1)nne1 ( 1)n2 2 sin nx1 n1 nex,x 01,0 x1 e ,x2(1)n122cosx 冗 x ,可；1 e 11( 1)ne 2cos nx2n i 1 n注：此题原参考答案还有错。所求傅里叶级数展开式与和函数为所求傅里叶级数展开式与和函数为(5)sin n 21Tt3131sin n 一 九3si

33、n x1 n -32sin-, 30,x 九所求傅里叶级数展开式与和函数为2 4 cos2 nx2R TTn 14n 1| sin x | 冗 x 冗。所属章节：第十一章第十节 难度：二级27 .把下列各函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并写出级数在相应区间上的和函数: f(x) |x|,( l,l ; (2) f(x)0,( 2,0h,(0,2,(h0)； (3) f(x)x,( 1,0)1,0,1,(h0)解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数，11nan-f(x)cos-pxdx,n0,1,2,L1l.nbn-!f(x)sinxdx, n1,2,L(1)a(0 l, an 2 xco

34、sn xdx-yl-2-1 ( 1)n,nl 0 ln所求傅里叶级数及其和函数为1,2,L , bn0,n 1,2,L ,4l2 n1 (2n 1)2cos©1)冗-x |x|原参考答案L 3Jcos(2n 1)九x |x| l x l有误?2 n n1(2n 1)lh l 2, a。h, an 0,n 1,2,L ,0 1( 1)n,n 1,2,L ,所求傅里叶级数及其和函数为h 2h，sin(2nx2 兀 n 12n0, 2 h,0 h 2,x0,1 ( 1)nL,n1,2,L，bn1,n 1,2,L , n所求傅里叶级数及其和函数为3 2 cos(2n 1)出 1 sin n x.224 九 n 1(2n 1) Ttn 1x, 1,0 1 2，X所属章节：第十一章第十一节 难度：二级28 .把函数f(x) ； x在0,冗上展开为正弦级数，并写出级数在该区间上