高等数学公式大全(精华版)

1、精品文档导数公式:(tgx)sec2 x2(ctgx)csc x(secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx(ax) axlnaZl 、1(logax)xlna基本积分表：tgxdx In cosx Cctgxdx In sin x Csecxdx In secx tgx CcscxdxIn cscx ctgx Cdx2- cos xdxsin xdxdx2 a1, x仆一 arctg 一 Cdx11axeIn C2a a xdx2xarcsin- CaIn2sinn xdxocos0xdxx x2 a2dxx、x2 a2222 ,x a dx三角函数的有理式积分: 2u si

2、n x 2-, cosx1 udx2上2， u,xtg，2(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxx a axdx CIn ashxdx chx Cchxdx shx Cdx -22、-ln( x x a ) C22x aIn2a /ln(x22 a 一 ln x、 x2 a2) C22 a . x . 一 arcsin - Cdx2du1 u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切:thx2shx e

3、xchx exsinx limx 0 vlim (1xxe 2.718281828459045arshx ln(xx2 1)archx ln(xx2 1)1. 1 x arthx -ln2 1 x三角函数公式: ,诱导公式：和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctgsinsin2sincos22sinsin2 cossin 22coscos2coscos22和差化积公式:cos cos 2 sinsin22丁、曾数角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a9

4、0 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos222cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cos2 sinsin3cos3t

5、g33sin4sin34cos33cos3tg tg321 3tg2半角公式:tg2sin 一21 cos1 cos1 cos sinsin 1 cos正弦定理:asin Absin Bsin C2R1 cos cos-2 .21 cos 1 cos sin ctg 二2 1 cos sin 1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函数性质：arcsin x - arccosx2arctgx 一 arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式:n(n)八 k (n k) (k)(uv) Cnu vk 0(n)nu(n 1)Vn(n 1)2!(n 2)Vn(n

6、1) (nk!k 1) (n k) (k)u V(n) uv中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理:f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：f(b) f(a) -f-(-) F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率：弧微分公式：ds1 y 2dx,其中y tgs： MM弧长。平均曲率：K |.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;M点的曲率：K lim .s 0 s ds ,(1 y 2 )3直线：K 0;半径为a的圆：K 1.定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f (x)ab a,(V。yinb a

7、1、(y0 yn)n 2b a 、行(y。yn)定积分应用相关公式:功：W水压力:引力：Fkm孚,k为引力系数 r函数的平均值：y1f(x)dxb a a均方根：1 f2(t)dt,b a a空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：dM1M2向量在轴上的投影：Pr ju ABPrju(ai a?) Pr jai Pr ja2a b cosaxbxayby两向量之间的夹角:coscabax bxay byaz bz向量的混合积:abc (a代表平行六面体的体积yn 1)yiyn 1 2(y2 V4yn 2) 4(yi y3.(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2AB cos ,是A

8、B与u轴的夹角azbz，是一个数量，axbxavbvazbx x y y z22axay22az . bxz2 by2bza b sin.例:线速度:axayazbxbybzcxcyczb) cayn 1)b c cos ,为锐角时,平面的方程:1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0,其中 n A,B,C, MoNyoz)2、一般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：个丫三1a b c平面外任意一点到该平 面的距离：dAxo Byo Czo DA2 B2 C2空间直线的方程:x X。myy0 -z0 t,其中 s m, n, p;参数方程: n Px x0 mt

9、y yo nt z zo pt二次曲面：21、椭球面：斗 a22、抛物面：2P3、双曲面：2yb22y2qz,(p,q 同号)单叶双曲面:双叶双曲面:2 xa2 xa2 y b22 y_ b22 zc2 zc11（马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz, u . u , u .du dx dy dzx y zfx(x,y) x fy(x,y) y多元复合函数的求导法：zfu(t)Mt)dz zu z v dt u t v tz fu(x,y),v(x,y) 一 x当 u u(x,y), v v(x,y)时，zuz vu xv xdu dx dyx

10、 y隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0, v , v ,dv 一 dx 一 dyx y2dy Fx d y _邑 dy52()十()dx Fy dx x Fy y Fy dx隐函数 F(x,y,z) 0, -Fx,xFzzFyFz隐函数方程组：F(X,y,U,v)G(x,y,u,v)J (F,G)(u,v)F u G uF v G vF,G1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G) (u,x) (F,G) (u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)(t)在点M (x0, y0, z0 )处的切线方程:(t)X Xo-(Uyo (to)z z

11、o在点M处的法平面方程:(to)(x Xo)(to )( yy0)(to)(z Zo)若空间曲线方程为：""为0则切向量T G(x,y,z) 0曲面 F(x,y,z) 0 上一点 M (Xo,yo,zo),则：1、过此点的法向量:2、过此点的切平面方程n Fx(xo, yo,zo), Fy(xo,yo, zo), Fz(x0, yo,z。):Fx(xo,yo,zo)(x xo) Fy(xo,yo,zo)(y y°)3、过此点的法线方程:x Xoy yoz zoFx(xo,yo,zo) Fy(xo,yo,zo) FzNyoZ)方向导数与梯度:函数zf (x, y)在

12、一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为f一 cos x其中为x轴到方向l的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i x它与方向导数的关系是：、 gradf(x,y) e,其中e cos isinFz(xo,yo,zo)(z zo)f .sinyj,为l方向上的单位向量。f 是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(xo, yo)fy(xo, yo)ACB2则：ACACB2B2i a0时，A0时，0日t,0,令：fxx(xo,yo) A, fxy(xo,yo)O,(xo,yo)为极大值0,(%,%)为极小值无极值不确

13、定B,fyy(xo,yo) C重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD2曲面z f(x, y)的面积A ,1 zD , x2-dxdy y平面薄片的重心:x (x,y)dM x DM (x, y)dDy (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix y2 (x, y)d , 对于y轴IyD平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a),(a 0)的引力：F2x (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:l , (x,y)xd，(x, y)ydF x fT，Fy f3D/222 X2D/222、5(x y a )(x y

14、 a )柱面坐标和球面坐标：Fz(x, y)xdfa 3D / 222.2(x y a )x rcos 柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,其中：F (r, ,z) f (r cos , r sin , z)dv rd r sind dr r2sin drd dx r sin cos 球面坐标：y r sin sin ,z r cosf (x, y,z)dxdydz F(r,重心：x x dv, yM转动惯量：Ix (y2 z2)2I、2,)r sin drd d d d 001.-1y dv,z zMM22、，dv,I y (x z )

15、 dv,(.)2F (r, , )r sin dr0dv,其中 M x dv22Iz (x y ) dv曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：x ，(t)，则:特殊情况:x ty (t)y (t)f(x,y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt (L第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为x ，则: y (t)(t) Q (t), (t)dt(Pcos Qcos )ds 其中L和分别为P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t)L两类曲线积分之间的关系：Pdx QdyLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q

16、 PQ P格林公式：(一 一)dxdyPdx Qd册林公式：(一 一)dxdy ： Pdx Qdyd x yld x ylQ P1当P y,Q x,即： 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydxx yd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:一 Q P 、,且二一。江息奇点，如(0,0),应 x y1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：, Q P-在=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：x y (x.y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x

17、0 y0 d (x0,yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x,y). 1 z2(x,y) z2(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；D xyP(x, y, z)dydz Px(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号；DyzQ(x,y, z)dzdx Qx, y(z,x),zdzd为取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxd

18、y (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR八八( )dvPdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Qcos Rcos )dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度:散度：divP _Qx y通量：A nds AndsR,即：单位体积内所产生的流体质量，若z(Pcos Qcos Rcos )ds,div0,则为消失coscoscosxyzPQR空间曲线积分与路径无关的条件：yQ,上z z因此，高斯公式又可写 成： div Adv o Ands斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:/ RQPRQP.,( )dydz ( )dzdx ( )dxdy - Pdx Qdy Rdz

19、 yzzxxydydz dzdx dxdy上式左端又可写成： xyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx Qdy Rdz A tds常数项级数：等比数列：1 q q2等差数列：1 2 31 1调和级数:1 1 12 31 qn1 q(n 1)n21是发散的 n级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛设：l|mn-U，则1时，级数发散01时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limU,则1时，级数发散n UUn1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;limsn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4（或u1u2u3 ,un0）的审

20、敛法莱布尼兹定理：, 一、，一un un 1 I , 一氏，一一入. 一， 一如果交错级数满足 n，那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝对值rn un 1 lim un 0,n绝对收敛与条件收敛：u1 u2 un ,其中un为任意实数；（2）5 皿 u3un如果（2）收敛，则 肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。不收敛；n工Fnp p调和级数：1发散，而 5收敛; nn1时发散1时收敛哥级数:1时，收敛于对于级数(3)a0a1x2a2x1时,nanx数轴上都收敛，则必存XXX使R在求收敛半径的方法：设limnan 1an函数展开成骞级数

21、:函数展开成泰勒级数:余项：Rnf(n1)( )(x(n 1)!X01 x发散,如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R1an 1是(3)的系数,则0时,时，R 0f (x0)2f (x)f(x°)(x x0) -(x x°)2!(n),f(x0)n(x x°) n!x0)n 1, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn 00时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f(0)x Ff(n)(0) n xn!些函数展开成骞级数:(1 x)mm(m 1) 21 mxx2!m(m 1) (m n 1) n;

22、:;xn!(1x1)sinx x5 x5!2n 1欧拉公式:ixe cosxi sinxf(t) A。其中,a0An sin( nn 1aAo，an1)nx(2n 1)!cosx或sin xt ) a2n 2An sin n，bnix eix eixe2ix e2(an cosnxbn sin nx)n 1An cos正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx 上的积分=0。傅立叶级数：t x。任意两个不同项的乘积在f(x)ao(an cosnx bnsinnx), 周期n 1其中anf(x)cosnxdx(n 0,1,2bnf (x)sinnxdx(

23、n 1,2,31 43211TT -224152正弦级数:an余弦级数:bn'2：10，bn0, an1221321I142142f (x)sin nxdxf(x)cosnxdx0周期为2l的周期函数的傅立叶级数:2（相力口）62一（相减）121,2,30,1,2f(x)f(x)a02bn sin nx是奇函数an cosn娓偶函数f(x) ao/ n x u -(an cos bn sinn 11n),周期211其中bn一 f (x) cos dx1 i11 1n x一 f (x)sindx1 11(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f (x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法: g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成6 f(x,y) d