高三一轮复习平面向量复习教案解析

1、平面向量第一课时平面向量的概念1=1 史I1苑敢也荐了选方,便尸,才“凤尉里程。【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二；向量的表示法用有向线段表示；用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段表示；用有向线段的起点与终点字母：而；向量懑的大小一一长度称为向量的模，记作|而|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方

2、向相同，则这两个向量就是相 同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有 向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为。的向量叫零向量，记作6. 6的方向是任意的.注意6与o的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。（2）规定：规定6与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移 到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：综合（1）、（2）才

3、是平行向量的完整定义；向量平行，记作b / c平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系：共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1）定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量”与办相等，记作=九（3）零向量与零向量相等;（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无 关.【典型例题】1 .下列命题正确的是A.向量48与84是两平行向量B.若蒜都是单位向量，则之=>C.若A8=。，则a、B、C、D四点构成平行四边形D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2 .若都是单位向量，则1一幻的取值范

4、围是（）A. （1, 2） B. （0, 2）C. 1, 2 D. 0， 23.在正六边形ABCDEF中,0为其中心,则 £A +A3+ 280 +EO 等于(A. FE B. 4d qDC dFC. Tr T4 .如图，在aABC中，AB二，BC=b , AD为边BC的中线，G为ABC的重心,求：向量ag充要条件是OA + OB + OC = O.5 .已知AABC及一点0,求证：0为ABC的重心的6 ,设平面内有四边形 ABCD 和 0 点，OA = a,OB = B,OC = c,OD = N,若 + c = B + 7,则四边形ABCD的形状为【同步练习】1.在四边形ABCD

5、中，AB=a+2b,BC =-4a-b,CO=-5a3b,其中a、b不共线，则1苑敢也荐了选方,便尸凤尉里程。四边形ABCD为（）C .梯形D.菱形A.平行四边形B .矩形2 .已知菱形488,点P在对角线4c上（不包括端点A、C）,则却等于（）A3（耘+而）,八£（0,1）B.1（罚+反:）,八£（0,芋）C.A（AB-AD ）f A £（0,1）D.虫而一而）,4 £（0,今）3 .已知两点“（3,2）, N（5,-5） mD = ；mN ,则P点坐标是 （） 一 f 4 .已知aABC 中，BC = a,CA =b.AB = c,若a b = b

6、c = c , a ,求证：ZliABC 为正三角 形.5 .已知平行四边形ABCD的两条对角线4c与BD交于E, O是任意一点，求证OA + OB + OC + OD = 4OE.第二课时平面向量的线性运算【重要知识】知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量在平而内任取一点A,作人后=",BC =石，则向量AC叫做与B的和，记作£ +坂,BC = AC求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则.说明：运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以 第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终

7、点的向量即为和向 量.两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.（2）向量加法的平行四边形法则以点0为起点作向量次="，OB=bt以OA,OB为邻边作。4c8,则以o为起点的对角线所在向量瓦 就 是"/的和，记作"十石二沅。说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点 的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.对于零向量与任一向量ZZ+6 = 6+Z = Z（3）特殊位置关系的两向量的和当向量与不共线时，”

8、+了的方向不同向，且R+3 <3|+3|; T > f T当a与“同向时，则+以“、同向，且+二 +，> > T->一当4与反向时，若一 !>/ ,则+力的方向与相同，且1=""：若"k >，则"+分的方向与B相同，且i7+b =i ； i.（4）向量加法的运算律 i 向量加法的交换律：3二2£向量加法的结合律：（4+外+传+C） 知识点二：向量的减法（1）相反向量:与长度相同、方向相反的向量.记作-Z（2）向量。和-"互为相反向量，即零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向

9、量，即" +（-"）=（-7）+ 2 =6.如果向量方互为相反向量，那么=-口3=-7, 3+1=6.（3）向量减法的定义：向量"加上的"相反向量，叫做与坂的差.即：a_ b= a+（_ b） 求两个向量差的运算叫做向量的减法.（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点0,作。4 =区03 = /?，则而="一讥即"一族可以表示为从向量b的终点指向向量的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.说明：瓦表示£一族.强调：差向量“箭头”指向被减数用“相反向量”定义法作差向量，"- B="+（一3），显然，此法作图

10、较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义（1）定义：一般地，我们规定实数几与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘, 记作见",它的长度与方向规定如下：TT当2°时，入。的方向与。的方向相同；当几°时，卜a（1）1入勺=1入a I的方向与。的方向相反. 当 =。时，入。=。（2）向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律:设4、为实数,那么 4 （ 。）=（4 p） a ；（4 + ）。=4 +一 a ：（3）4（"+B）=l" +Ab .知识点四：向量共线的条件向量与8共线，当且仅当有唯一一个实数几，使=

11、%&.【典型例题】I.下列各式正确的是（）A.若同向,则1。+3U。1+而B.，； +坂与|勺+田|表示的意义是相同的C.若7,坂不共线，则|CjM>|4|十5lD.永远成立2 AO + O8 + OC + CA + 8O 等于（）A. 48 B. G C. BC D, “3 .下列命题如果"，坂的方向相同或相反，那么，；+坂的方向必与坂之一的方向相同。AABC中，必有A5 + SC + c2 = 0苑敢也并了选方,便尸凤尉里程。则A、B、C为一个三角形的三个顶点。若，坂均为非零向量,T T则I"加与|”|+也|一定相等。其中真命题的个数为（）A. 0 B.

12、1 C. 2 D. 34 .已知一点0到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为则向 量3等于（）TTTTTTTTTT T TA ci + b + c b a b + c c a + b c q a b - c > > I - . -> >I 、5.在四边形ABCD中，设A8 = a,A° = b,BC = c,则。C等于()A.a-b + c b.人一(a + c)T T TT T TC. a + b + cd.8-4 + c6.设坂是Z的相反向量，则下列说法错误的是（）A.。与“的长度必相等B. a/bC. 7与坂一定不相等D.7是坂的相反向量7

13、.是Ad可以写成：AO + OC；AO-OC：Q4-0C；。C-。工 （）其中正确的A. B. C. D. ©8.如图所示，在 2ABCD中，已知A5 = a,£>8 = ",用"与了表示向量而AC、 O【同步练习】1 .在以下各命题中，不正确的命题个数为（）|=| |是” =b的必要不充分条件:任一非零向量的方向都是惟一的； T-> T TI。* KP 1+mI 若I。/1=1。Mb I,则沙=° ；已知A、B、C是平而上的任意三点，则A3 + 5C + C3 = 0A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .某人先位移向量&qu

14、ot;：”向东走3km”,接着再位移向量口“向北走3km”,则（）A.向东南走3JikmB.向东北走工/lkmC.向东南走3上kmD.向东北走3上km3 .若M司=8，忸司=5,则18cl的取值范围是（）A.豪 B. (3, 8) C 团3 D. (3, 13)4.设ABCDEF为一正六边形,AB = AE = n5.化简：（金8一8）一（力°一郎）"一第三课时平面向量的基本定理【重要知识】知识点一：平面向量基本定理»平而向量基本定理：如果S是同一平而内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量工，有且只有一对实数4'%使"二我们把不共线向

15、量，6叫 做表示这一平而内所有向量的一组基底；（2）运用定理时需注意：S是同一平面内的两个不共线向量。> »该平面内的任一向量都可用与，S线性表示，且这种表示是唯一的。基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。知识点二：两向量的夹角与垂直T T *T T（1）定义：已知两个非零向量"力，作。二兄"二方，则NAOB=e叫做向量"与"的夹 角。（2）如果“与坂的夹角是90° ,就说"拓垂直，记作“上上（3）注意：向量）与坂的夹角的范围是0°<6<180。，当8 = 0。时，与坂同向；当

16、8 = 90。时，alb：当8 = 180。，£与族反向。知识点三：平面向量的坐标表示（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、轴方向相同的两个单位向量；J作为基底.任作一个向量工，由平而向量基本定理知，有且只有一对实数X、）'，使得a = xi + yj我们把“，y）叫做向量"的（直角）坐标，记作a = （x, y）其中叫做Z在x轴上的坐标，）'叫做在）'轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与"相等的向量的坐标也为特别地，7=（i,o）, j=（o, i）,6=（o,o）,如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作方=工，则点A的位置 由

17、唯一确定.设次= +），）,则向量质 的坐标（乂丁）就是点A的坐标：反过来，点A的坐标（，）'）也就是向量04的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表不.（2）平面向量的坐标运算若2 = （%,y）苇=（孙月），则；+坂二区+/，刃+%）, a-b =372，乃一力） 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若A（M，y）, 8（，乃），则A* =（_玉，）'2必）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.（3）若a = （x,y）和实数 ,则.Aa = （Ax, Ay）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘

18、原来向量的相应坐标.知识点四：平面向量共线的坐标表示（1）设。=（内,凹）,坂=02，、2），其中3工6,当且仅当王力一42'1 =。时，向量。与坂共线。（2）注意:遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件。运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题。学习结论（1）在解具体问题时，要适当的选取基底。把几何问题转化为代数问题。fa = Ab（2）向量共线的充要条件有两种形式：a/h （2#6）为），2-修外=°（3）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0。0W180。【典型例题】1.已知平面上三点的坐标分别为A（-2, 1）, B（-l

19、, 3）, C（3, 4）,求点D的坐标使这 四点构成平行四边形四个顶点.y)的合力耳+鸟+用二°,求3的*. 1 2 .己知三个力G(3, 4),5(2, -5),尸3(X,坐标.3 .若向量x)与B=(-x, 2)共线且方向相同，求x4 .己知 A(-l, -1), B(l, 3), C(b 5) , D(2, 7),向量 AB 与 C。平行吗？直线 AB 与平行于直线CD吗？【同步练习】基础练习L下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()句=(0,0)，3 =(1,-2) A.r q =(3,5),e? =(6,10)T2.1. 知二(2, 3),二(- 1,

20、 2),A. (5, 1)C. (7, 0)B et = (5,7),2 =(-1,2)T-13ei =(2.-3)电=(,一-)D24 则2& - 3b等于B. (5, -3)D. (一7, 0)1苑敢也荐了选方,便尸凤尉里程。T3 .己知二(-1, 3), b =(x, - 1),且""，则工等于C. - 34.下列各组向量是相互平行的是D. - 3A.a=(-2, 3), b=(3, 5)B. a= (3, 2), b= (2, 3)C.a=(2, 1), b= (1, 4)D. a= (2, 1), b二(4, 2)5.己知 A (x, 2), B (5,

21、y-2),若丽二(4, 6),贝lj x、y 的值为 ()A. x=-1, y=0B. x=L y=10C. x=l> y=10D. x=-1> y= -106.已知 M (3, -2),N (-5, - 1),标二2丽，则P点的坐标为A. (8, 1)C. (b 2 )B. ( 1, 2 )D. (8, -1)2.1. 一2),。+二(4, -10),则“等于A. (-2, -2)B. (2, 2)C. (一2, 2)D. (2, -2)8.己知。2 = 1, b2 ,(。一)“二0,则。与8的夹角是A. 60。B. 90。C. 45。D. 30。提高练习1 .已知向量 =(3,

22、-2)了 = (-2,l),c = (7,T),试用4方来表示乙2 .向量04 = /2),03 = (4,5), = (10,"),当女为何值时，a、B、C三点共线。3 .已知MBC 中 a(7,8),B(3,5),C(4,3), M、N 是 AB、CD 的中点，D 是 BC 的中点,MN 与AD交于F。求D尸4.已知点次T2),8(2司及ac = -ab/da =3-BA*3 o求点C、D和的坐标。1苑敢也荐了选方,便尸,才“凤尉里程。第四课时平面向量的数量积【重要知识】知识点一：平面向量的数量积（1）定义:：已知两个非零向量工与坂，它们的夹角是0,则数量"|业Icos

23、e叫Z与BT TT TTT的数量积，记作即有= a b cosO, （OWOWni）（2） .并规定o与任何向量的数量积为0.（3） 投影：“投影”的概念:作图投影也是一个数量，不是向量；当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值;当。为直角时投影为o：当e = o。时投影为I坂I：当e二180。时投影为- % .（4） 两个向量的数量积与向量同实数积的区别两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cose的符号所决定.当0。&e<T T T90° 时，a b >0；当6=90° 时，“为=0：当 90° <6180° 时

24、，a b <0.两个向量的数量积称为内积，写成> 3： .符号“-”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替.在实数中，若aM,且ab=0,则b=0；但是在数量积中，若"工,且"石丸，不能T T推出“二° .因为其中cos。有可能为0.（5）平面向量的数量积的几何意义：数量积B等于的长度与5在"方向上投影I坂| cos。的乘积.T -a,bT注意：石在Z方向上投影可以写成“（6）平面向量的数量积的性质：设3、坂为两个非零向量， a±b a.b=Q 当与坂同向时，73二1B、当之与B反向时，".屋一"特

25、别的 二 2或T T Ta-b < a b T T ab u cos6二 ,利用这一关系，可求两个向量的夹角。（7）平面向量数量积的运算律 .交换律：2* = "" .数乘结合律：（九"）1二九（H）=".（入石） .分配律：G+B）二>：+坂T说明：一般地，（“） CW" H C ） a c = b . c , c ¥QW a =b 有如下常用性质：a =a（“+/?）（，+"）a . c "+ c _j_/? d（« + S）2 =a +2a-b+b知识点二：平面两向量数量积的坐标表示（1

26、）已知两个非零向量4 =（'»'）"=（，%），则7 .3=玉/+必力，即两个向量 的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2）向量模的坐标表示= V + y2,即"="2 + ）,2如果表示向量"的有向线段的起点和终点的坐标分别为（xX）、（±，乃），那么（3）注 意： 若 A （'"J、 B （"2，为）, 则 苑敢也并了选方,便尸凤尉里程。而2 f ）,|羽= J（X2f）、G，2f）所以|码的实质是AB的 两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义。（4）两个向量垂直的条件设之二（小凹通=（孙为）,则"通=中2 +,，通=0（5） 两向量夹角的余弦公式-（6）设两个非零向量”=（内，凹）力=（，%），6是z与否的夹角，则有T - a,bcos 夕二学习结论（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号所决定.（2） 数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。 两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要注意两者的联系。【典型例题】1.已知Z与3都是非零向量，且>+3坂与.-5芯垂直，"-4坂与7>-2坂垂直，求"与石的夹角.2 .求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平