《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)

1、微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7 两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）问题1已知初等函数z=f x,y具体形式,求解偏导数:z:x或偏导函数cz czy解法:求具体点偏导:z-X步骤如下:1代入y二y0,则原二元函数变为一元函数f x,yo ,2利用上学期方法求上述元函数的导数dz dx，3最后代入x =x°,即得所求cz豪(x°，y° A*类似，可求出'xo,yo 求偏导函数二步骤如下：ex1将f x,y中的y视为常数,2利用上学期方法求z对x的导数,所得结果即

2、为 工.ex*类似，将f x,y中的x视为常数,对y求导即得配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提一一熟记第三章 P63导数公式、P60 “四则运算”求导法则、P64复合函数求导之链式法则!P251 Ex8 2) 1) 4), Ex9 3) 2)问题2已知z =f x,y ,求全微分dz.解法：利用全微分与偏导的关 系一一先分别求出，二的具体结果，ex cy则dz =三dx 三dy为所求excy配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2） 7） 3）；：2z；：2z.2 . 2C z C z-2,7_x ：x：y问题3.已知初等函数z=f x,y具体形式,求解二阶偏导

3、数*务必准确识别以上四个 二阶偏导的含义，参见P225相关定义和记号. 求法按照符号的定义逐阶 求偏导向2比如-z :首先针对z=f x,y求出-然后针对求出的结果（即x：y：x：x再求此新函数关于y的偏导.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P253 Ex12 1） 2）问题4.复合函数求导（偏导）.要点：借助“路线图”，根据题目实际情况熟练 写出链式法则（如P2佃 公式（7 - 10）,再进一步具体算出各部 分结果.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P254 Ex16 1） 4）问题5.隐函数求导（偏导或全微分）.要点：熟记P223一元隐函数导数公式（7 - 15）, P224二

4、元隐函数偏导公式（7 - 16）,套用即可.学会P223 P224两例的法一即可！配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1） 3）, Ex19 2） 1）第二部分 求二元函数的极值和条件最值 问题1 求二元初等函数Z = f x,y的极值 解法步骤：zX=01） 求出z；,z；,并令,解此方程组得所有驻点,如（Xi,yi）,，（Xk,yk）z； =02）求出 Zxx , Zx； , Zyx , Zyy3） 针对以上各驻点,逐个利用P229定理7.8结论判定极值与否、极大/极小.*学会P230例2、例3解答过程.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1

5、） 4）问题2.求具有实际背景（尤其经济背景）二元初等函数z = f x,y在条件x, y i；二0下的条件最值.解法步骤：1）令F x,y,二 f x,y 1x,y2求F的驻点,即解下列方程组：令F；=f0令Fy =fy厂0令F； = ®（x,y ）=03）若以上驻点Xo,y°, °唯一，则Xo,y°为所求条件最值点该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步 骤做以下练习：例）某公司通过电台、报纸两种方式做销售某 商品的广告.据 统计资料，销售收入R万元与电台广告费用x万元及报纸广告 费用y万元 之间的关系如下经验公 式：2 2

6、R =1514x32y -8xy -2x -10y若提供的广告费用 为15万元且用尽，求相应的最优广告策略Key : x = 0, y = 1.5第三部分定积分相关要点基本前提：熟记 P119P120及P131P132不定积分公式！b 问题1.已知f(x具体形式,求解定积分f(x)dx.主要方法)牛顿一莱布尼兹公式：1利用求不定积分的方法,求出f x的一个原函数F x,2 从而 jbf(xdx = F(x* = F(b)- F(a) a*重点：若f x是a,b上的分段函数,比如以c为分段点,则需利用厂定积分的“拆区间”性质f= ff,使得右端每个被积函数a* a c均取明确形式，再进行计算配套

7、练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)特殊方法)当积分区间关于原点对 称时,定积分ff有公式如下：-aa 0,f为奇函数af = < a-a20f, f为偶函数例求解 J(x2sinx + x1 - x2 + x dx.解：(务必注意积分区间的特点！)x2sinx, x 1-x2 均有奇函数， 2sinxdx 二 / 1-x2dx = 01 1 1 匸 x为偶函数，二(Jxdx = 21 xdx = 2 Joxdx 二=1.从而原式=00 1 = 1.问题2.变限积分的求导及应用要点)x1)熟记函数门x f t dt的求导公式：门x

8、= f x .ai (呻ftdt】=fUx)】 u(x)进一步有公式：a* f(t d=f Ux)U(x)- fv(x)V(x) J v(x )2利用以上求导公式,结合L' Hospital法则,可求解某些极限.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练!P186 Ex5 1）, Ex4 1） 2）问题3.定积分的几何应用与经 济应用要点）1） 几何应用一求平面图形面积）典型例P162例1 P163例4:注意针对不同的区域形状选择适当的积分变量.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1） 3） 4）2） 几何应用二求旋转体体积）熟记P166公式（6 - 22及其适用的

9、图6 - 19, 熟记公式（6 - 24及其适用的图6 - 21.运用以上两公式求解旋转体体积.*注意：以上两公式只能直接用于求解具有“实心”特征的旋转体体积 若考察空心旋转体体积，则只能间接利用公式将所求体积转化为若干 实心体积例如P166式 （6 - 23即运用了此原理配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3） 5）3） 经济应用已知边际求总量） 原理：若已知F x ,则由牛顿一莱布尼兹公式可得xFx二Fa F'tdt,其中a为选定的常数La7熟记 P168 169公式（6 - 26） （6 - 28） 典型例：P169例8, P170例9.配套练习）强烈建议

10、严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分 二重积分相关要点问题1已知区域D具体形式，将二重积分|! f x,y dxdy表达为两种D累次积分次序解法步骤)1在平面直角坐标系中画出D的草图2判断D的形状：若D为P239图7 - 27(a)之“x -型”区域，则运用公式(7 - 21写出“外x内y”形式的累次积分；若D为P239图7 - 27(b)之“y -型”区域,则运用公式(7 - 22写出“外y内x”形式的累次积分3)若D并非标准的“x -型”或“y -型”,则需利用分块积分法则(P238性质7.7 ,将D划分为若干标准的“ x -型”或“ y -型”区域, 再分别写出累

11、次积分结果.典型例：P241例2配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3) 1)问题2.将给定的累次积分交换 积分次序.要点)1)根据题目形式写出积分区域D的形状，2对于.f x,y dxdy,按要求写出另一种累次 积分,方法同“问题1”.D典型例：P241例3配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1) 3) 4) 2)问题3已知f x,y和积分区域D的具体形式,计算.f x,y dxdy.D要点）1画出积分区域D的草图,2根据D的形状及f x,y的形式选择适当的累次 积分次序表达,3）由内层至外层逐层计算 上述累次积分，最终求出原二重积分.*若区域

12、形状为圆、环、扇形等，且f x,y为关于x2 - y2或 -的形式,x则上述过程宜采用极坐 标系计算,即令X二rcos,y二rsi”,将原积分 化为 f rcos,rsi rdrd亠再将此新二重积分化为 外层关于 八内层 关于r的累次积分,具体结果见P244 P245公式（7 - 24） （7 - 26）,重点 熟记（7 - 25）即可.典型例（建议按以下顺序复习）：P242例4,例6,例5, P246例8配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3） 4）, Ex33 2） 1）问题4.求以非负曲面z=f x,y为顶，xy平面上某区域D为底 的曲顶柱体体积.要点：由题意准确

13、识别出作为 “顶”的函数f x,y及作为“底”的 平面区域D.则V ： iif x,y dxdy.再利用问题3中方法求此二重积分.D配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1） 2）第五部分 其它要点摘录1. 理清z = f x,y偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系，理清 f x,y的极值点、驻点的关系.2. 熟用 P147性质 6.3并练习 P186Ex21)2)4).3. 熟记概率积分edx.七2+a4. 按定义判定无穷限积分a f (x )dx, - f (x )dx, f (x)dx的敛散性；|_能识别瑕积分，并按定义判定瑕积分.af x dx(三类：分别a、

14、b c. a,b为瑕点)的敛散性。 (建议参考A*组相应作业)Ch8+Ch9 两章第一部分函数的幕级数展开问题1.将f x展开成x的幕级数主要思路：10熟记重要的幕级数展开 式及其成立区间，如xxnx21) e1 xnn ！2!1 00 n 22) x=1 x x1 - x ndDQO3) In 1 x 八nT-1nxn1nxn!Xn,x -1,13n n 12 上Jr，x "20利用初等变形(如拆为加减、换元等)将给定的fx转化为可利用 上述公式的形式，进而得以展开最后利用上述公式也能 得出f x的 展开区间.如cd3寸 xn=Dn xn!x e n=o n!'2x 2x1

15、 x11 7-X1彳 X12丿2 n=0x200 n xn鳥-1尹x 一，2oOoO=x2送(一x)_= ( 1)nxn42, X壬(1,1)n =0n =030除上述20外,对于某些f x ,若可利用求导或求积分 将10中公式的 函数转为fx,则只需同时将相应公式 中的展开式逐项求导或 积分, 即得f x的展开式如 P284 例11, P285 例12配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P291 Ex21 2) 5) 4).另：以 P284 例 11 为练习问题2已知f x在xo处的幕级数展开式为-an x -x。n,求高阶导fk xo.解法：找出上述幕级数的k次项,即ak x-x

16、76; k.取出其系数ak,则由 f一k得f 任 lx。)= k!ak.k!例如23n已知f x在0处的幕级数展开式为,则2!3!n!f 5 0 =5怡5 =5!丄二 1.5!第二部分常数项级数敛散性的判定10熟记几何级数、aqn-1与P级数1nP敛散性结论qQ20判定任意项级数un敛散性的一般思路:n =1qQ*其中，关于正项级数J叫的常用判敛思路：nT1）若在Un中,n同时出现在底或指数位 置,或出现与n有关的阶乘, 则优先考虑比值法 （或根值法，以比值法为重点）.例如，由比值法，对于Un 1务必求出极限结果r,仅当该极限存在或为二时,才能进一步运用比值法；且r = 1时,比值法失效.*对于任意项级数V Vn,若利用比值法或根值法 得出相应的正项 级数送|vn满足=r a 1,则因此时必有vn t旳,则由级数lVnqQqQ收敛的必要条件知不但送Vn发散，原级数9 Vn也发散.此原理可用于求幂级数的收敛域.2若在5中,n仅以幂函数的类似形式 出现,可考虑比较法,且 多以P级数丄为参照级数.(特殊情形下可寻求 n二时unn=1 np的等价无穷小量作为确定P的依据)配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P288Ex7 2) 3) 1) 5), Ex8 1) 2) 5) 4), Ex10 1) 4) 5)