高考数学复习点拨 相关性和最小二乘估计易错点例析

1、相关性和最小二乘估计易错点例析根据统计数据作出散点图，判定两个变量且有线性相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程，并利用回归方程进行预测和估计，这是一个完整的双变量统计的过程。在这一统计分析过程中，有以下几点易于出错，初学者要特别注意。一、把函数关系当作相关关系例1、下列两变量中具有相关关系的是（）（A）正方体的体积与边长；（B）匀速行驶的车辆的行驶距离与时间；（C）人的身高与体重；（D）人的身高与视力错解：选（A）或（B）。分析：函数关系的两个变量之间是一种确定的关系，而相关关系的两个变量之间是一种不确定的关系，因此，不能把相关系等同于函数关系。本例中，（A）和（B）都是函数关系，（D

2、）则无相关关系。正解选（C）。例2、下列各关系中，不属于相关关系的是（）（A）名师出高徒（B）球的表面积与体积（C）家庭的支出与收入（D）人的年龄与体重错解：选（A）。分析：函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系。有名的老师能教出高明的徒弟，通常情况下，高水平的老师有很大的趋势教出高水平的学生，但是，高水平的老师所教的学生不一定都是高水平的，也就是说，他们之间没有困果关系的，但有相关关系。正解选（B），球的表面积与体积之间是函数关系。二、把不相关或非线性相关当作线性相关例3下表是某地的年降雨量与年平均气温，能否根据这些数据估计年平均气温为13.69时的年降雨量？年平均气温（）12.

3、5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量（mn）748542507813574701432错解：按照最小二乘法可求出这两个变量之间的线性回归方程，进而计算出估计值；分析：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，作出相应的散点图如下：可以发现图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相关关系，没必要用回归直线进行拟合，用最小二乘法公式求得回归直线也是没有意义的。例4某机构曾研究温度对某种细菌的影响，在一定温度下，经x单位时间，细菌的数量指数为y，数据如下：(1,2) (2,5) (3,10) (4,17) (5,26)(6,37) (7,50) (8,65) (9,

4、82) (10,101)问：关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？错解：判断两个变量是线性相关，按最小二乘法的步骤，求出线性回归方程；分析：事实上我们观察可以发现2121，5221，10321，,17421，,26521，因此，我们可以认为x与y之间的关系是y=x2+1，并非是线性相关关系。避免这类错误的方法很简单，那就是根据已经数据作出散点图，进行曲线拟合，从而判断两个变量是线性相关还是非线性相关或不相关。 三、把估计值当作实际值例5一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：年龄(岁)3456789身高()94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她用最

5、小二乘法求出了身高y与年龄x的回归直线方程，并预测儿子10岁时的身高，则下列的叙述正确的是( )（A） 儿子10岁时的身高一定是145.83（B） 儿子10岁时的身高在145.83以上（C） 她儿子10岁时的身高在145.83左右（D） 她儿子10岁时的身高在145.83以下错解：（A）分析：显然，年龄与身高之间是一种相关关系，利用最小二乘法求出的回归方程是对两个变量的最佳线性拟合，我们可以利用回归方程对数量变化做出预测，但这只是估计事物发展的一个最可能出现的结果，并非一定出现。实际上，身高并非只由年龄一个因素决定，儿子10岁时的身高比预测值有误差也是正常的，正确答案为（C）。四、计算失误例6

6、已知回归直线的回归系数b的估计值是1.23，5，4，则回归直线的方程是( ) （A）=1.23x4 （B）=0.9425x+1.23 （C）=1.23x+0.08 （D）=0.08x+1.23错解：（B）分析：回归直线方程为bxa，其中b是回归系数，而一次函数的习惯写法为yaxb，错解把它们混淆了。对回归方程bxa有ab，即ba，因此回归直线一定经过点（，）。正确答案为（C）。例7为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：学生编号12345678910入学成绩63674588817152995876期末成绩65785282928973985675（1） 若变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线的方程；（2） 若某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩错解： （1）故所求线性回归直线方程是（2）某学生入学成绩为80分，代入上式可求得。显然这是不符合实际的。分析：错解求出a、b后，把回归直线方程公式中bxa的a、b位置互换了；事实上，回归方程应为，把这个学生的入学成绩80代入这个方程可出，即这个学生期末成绩的预测分值约为84分