信号与系统-第七章1

1、1连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析拉普拉斯变换拉普拉斯变换2 7.1 引言引言 7.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 7.3 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 7.4 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 7.5 拉氏反变换拉氏反变换 37.7 电路的电路的S 域模型域模型7.8 系统的复频域模型及分析法系统的复频域模型及分析法7.9 系统函数系统函数7.10 罗斯罗斯霍尔维兹稳定准则霍尔维兹稳定准则47.1 引言，引言， 7.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1、拉氏变换的定义式：、拉氏变换的定义式： 运用付氏变换法的重要条件是要求信号满足运用付氏变换法的重要条件是要求信号满足绝对可积条件，即

2、绝对可积条件，即 。而许多信号。而许多信号并不满足此条件。并不满足此条件。 dttf)(例如：例如：f(t)001f(t)5收敛因子收敛因子 是一个足够大的正值，就能使是一个足够大的正值，就能使 随时间的增长而衰减。随时间的增长而衰减。正时域乘以正时域乘以 之后就变成衰减的。之后就变成衰减的。(要求要求0) ,te tetf )(te jsjFdtetfdteetfetftjtjtt )()()()()(得：得： dtetfsFt s)()(F6 desFtfdesFetftjtjt)()(21)()(21)(求其反变换求其反变换 jjsjdsdjddsjs 当当 从从则则 从从 jjstds

3、esFjtf )(21)(7!注意注意：与付氏变换的区别从反变换：与付氏变换的区别从反变换： 分分解解为为t stjee 的和的和的和的和付氏付氏 是从是从拉氏拉氏 是从是从 jj 单边拉氏单边拉氏变换公式变换公式 jjt st sdsesFjtutxdtetxsX)(2)()()()(087.3 拉氏变换的收敛域问题：拉氏变换的收敛域问题：1、指数阶函数、指数阶函数 一个函数一个函数f(t)如果能找到实数如果能找到实数 和和 并满足并满足0)(lim0)(lim ttttetfetf 则则f(t)为指数阶函数为指数阶函数只有像只有像 和和 等信号不是指数阶信号等信号不是指数阶信号一般是遇不到

4、的一般是遇不到的)()(2tuetuttt92、收敛域的问题、收敛域的问题如果如果f(t)是有限持续期的信号，其收敛域是整是有限持续期的信号，其收敛域是整 个个S 域。域。 f(t)是衰减的，本身就满足绝对可积条件是衰减的，本身就满足绝对可积条件 收敛域是整个收敛域是整个S全平面。全平面。10如果如果f(t)是一个右边信号，则是一个右边信号，则F(s)的收敛域的收敛域 为收敛域的左边界。为收敛域的左边界。 左左 00Res左左 0)(limttetf j 0左左 11如果如果f(t)是一个左边信号，则是一个左边信号，则F(s)的收敛域的收敛域 为一个收敛域右边界为一个收敛域右边界 求法是：求法

5、是：右右右右 ,Re s右右 0)(limttetf j 0右右 12当当f(t)是一个双边信号时是一个双边信号时右右左左 ResX(s)的收敛域内不含极点。的收敛域内不含极点。 j 0左左 右右 13例例1： 收敛域为整个右平面收敛域为整个右平面00)(lim 左左 ttetu j 014例例2：f(t)=001 tett求：求：已求出已求出求：求：0lim0lim:0:)1( ttttteee 右右左左左左101101 右右 j 0115例例3：)()()(42tuetuetftt 20)(lim:40)(lim: 右右右右左左 ttttetfetf双边拉氏变换不存在。双边拉氏变换不存在。

6、 j 0242 167.4 拉氏变换的性质拉氏变换的性质1、线性性质、线性性质 若若 则则 但但 表示表示 与与 收敛域的共同部分收敛域的共同部分 21212121212211)()()()()()()()(RRRRRRsbXsXatbxtxasXtxsXtx 如果存在零点和极点相抵消的情况，可能收敛如果存在零点和极点相抵消的情况，可能收敛域将增大。域将增大。2、时域平移：、时域平移：RRocesXttxt s 0)()(0收敛域不变收敛域不变173、S域平移：域平移：)Re()()(0100sRRocssXtxets 例：例：2Re21)(2Re21)(0Re1)(22 sstuesstue

7、sstutt-2Re2Re184、时间尺度变换、时间尺度变换若若则则kaRocasXat axkaRocsXtx )(1)()()(例：已知例：已知求求 的拉氏变换。的拉氏变换。 解：解：2020200021)(11)(sin)(sin11)(sin0 stuttutstuts5、时域卷积定理、时域卷积定理212121)()()()(RRRocsXsXtxtx 196、时域微分性质、时域微分性质双边双边:单边单边LT:)0()()()()()()( xssXdttdxRRocssXdttdxRRocsXtx包包括括例：例： 时时ssXtutx1)()()( 单边单边 1)(101)( tssd

8、ttdx 207、S域微分域微分 若若 则则RRocdssdXtxtRRocsXtx )()()()(例：已知例：已知 则则 Re)(1)(2)(11)(Re1)(322sstuetssdsdtue tsstuettt21 Re)(1)()!1()1(sstuentntn8、时域积分、时域积分 若若则则 双边双边LT: 单边单边LT: sdxssXdxsXsdxsXtxtt0)()()()(1)()()(229、初值定理：、初值定理： 当当t0 时时 x(t)=0，而且在，而且在t=0 时时x(t)不包含任不包含任何冲激。则：何冲激。则：)(lim)(lim)0(0sXstxxst 用途：用途

9、：不必要求反变换得到不必要求反变换得到x(t)之后求之后求 可以验证可以验证X(s)的正确性。的正确性。注意：注意：此公式只适合于此公式只适合于 存在的情况下存在的情况下 无论是无论是0+系统，系统，0-系统，计算出来的系统，计算出来的 全是全是0+。)0( x)0( x23例：试计算单位阶跃函数的初始值例：试计算单位阶跃函数的初始值 已知已知 可只用初值定理验证的结果是否一致。可只用初值定理验证的结果是否一致。1)(lim)0(1)( sFsustus10、终值定理、终值定理 若若ta，正时域函数，正时域函数， b，复时域函数，复时域函数， 为双边函数。为双边函数。ab 447.7 电路的电

10、路的 S 域模型域模型)()()()()()(sIRsVjIRjVtiRtv 时域时域频域频域复频域复频域45+-)(tuL)(ti)()()()()()(ssLIsUjLIjjUdttidLtuL +-)(tuC)(ti)(1)()(1)()(1)(sIsCsUjICjjUdttiCtuC 46)(sULs)(sI+-)0( iL冲激电压冲激电压以上初态为零以上初态为零,以下初态不为零以下初态不为零或或)(sU)(sISi)0(sL1阶跃阶跃电流电流sisULssILisLsIsU)0()(1)()0()()( 而而复频域为常数复频域为常数时间域为冲激时间域为冲激复频域为复频域为时间域为阶跃

11、时间域为阶跃s147)(sU)(sI+-sVC)0()(sI)0(CCVsCsC1)(sV+-或或阶跃电压阶跃电压冲激电流冲激电流电容：电容：)0()()0()()()0()(1)()(1)(CCCCCCtCCVsCsUsVsUCssIsVsICssUdttiCtu 根据积分性质根据积分性质48 1、R 在复频域中，复电压、复电流之间在复频域中，复电压、复电流之间 的关系为的关系为)()(sIRsU 结论：结论： 2、L 在复频域中，复电压、复电流之间的在复频域中，复电压、复电流之间的 关系为关系为sisLsUsILissLIsUsLsIsU)0()()()0()()()()( 或或49 3、

12、C 在复频域中，复电压、复电流之间的在复频域中，复电压、复电流之间的 关系为关系为)0()()()0()(1)()(1)(CCCVssCVsIsVsIsCsVsIsCsV 或或50+-)(tURLC)0(CV+-)(ti+-)(sVRsL+-)(sI)0(Li+-sC1sVC)0(例：例：R、L、C串联电路，当串联电路，当L和和C的初态不为零的初态不为零51已知：已知：U(t) 作用于作用于R ,L ,C 串联电路串联电路求求 i(t) 的完全响应的完全响应伏伏1)0(5)0(62511 CLVAiRCL解：解：25615256)(25615)(1)0()0()()(222 sssssssVs

13、ssssVSCsLRsVLisVsICL零状态零状态零输入零输入零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应52结论：结论： 用复频域模型法可以同时解决零输入用复频域模型法可以同时解决零输入与零状态响应。与零状态响应。537.8 系统的复频域分析法系统的复频域分析法 从付氏变换法到拉氏变换法从付氏变换法到拉氏变换法 付氏变换分析法有二个局限性：付氏变换分析法有二个局限性：信号必信号必须满足狄里赫利条件，须满足狄里赫利条件，系统必须稳定，另外系统必须稳定，另外大家经过计算付氏正反变换是很困难的。大家经过计算付氏正反变换是很困难的。拉氏变换法的步骤与付氏变换法的步骤一样拉氏变换法的步骤与付氏变换法的步

14、骤一样 )()()()()()()()()(1sRFtrsEsHsRsHthsEte 零状态解零状态解54例例1、0)0()0()()(2)(3)(22 yytuetytdtdytdtydt解：解：1121)1(1)2()1(1)(1Re11)(2)(3)(222 ssssssYsssYssYsYs解解得得取它的拉氏反变换为取它的拉氏反变换为 )()(2tueeettyttt 对方程两边进行拉氏变换对方程两边进行拉氏变换55例例2、已知、已知AiuHLRRFctVteLC4)0(5)0(211511)(10)(212 伏伏求：求：?)(1 ti+-)(teL)0(Cu+-2R12R)0(Li1

15、i2i第一方法：第一方法：列时列时域微分方程，然域微分方程，然后拉氏变换得到后拉氏变换得到)(1sI第二方法：第二方法：复频域模型法复频域模型法560)()()()(1121222221121 iiRdtdiLiRteiiRdtiCt 用回路用回路电流法电流法 0)()()0()()()()()()0()(112122222121121 sIsIRLisLsIsIRsEsIRsIRsVsICsLC)0()()()()()()0()(11122122212112 LCLisIRsIRLsRsEsIRsVsIRCs12718079)(21 ssssI然后求得：然后求得：57+-ssE10)( Ls

16、+-2R12R)0( LLi)(1sI)(2sIsC1sVC)0( +-第二种方法是直接画出电路的复频域模型图第二种方法是直接画出电路的复频域模型图5812718079)(21 ssssI)()13657(413635712718079)(431211tueessssstitt )0()()()()0(10)()1)(2122112212121 LCLisILsRRsIRsVssIRCsRsI为此得到的相函数为此得到的相函数是一样的是一样的597.9 系统函数系统函数 表示系统的性质，在时域是用表示系统的性质，在时域是用h(t)，频域是，频域是 用用H(j )，复频域是，复频域是H(s)。1、

17、用、用H(s) 表示系统的因果性和稳定性。表示系统的因果性和稳定性。时域时域 复频域复频域因果因果系统：系统：)(00)(thtth 当当是右边信号是右边信号H(s)的收敛域在最右的收敛域在最右边极点以右。边极点以右。稳定稳定系统：系统： dtth )(其收敛域包含虚轴其收敛域包含虚轴60因果稳因果稳定系统：定系统：H(s)的极点既在左边平面又在最右边的极点既在左边平面又在最右边极点以右，它的全部极点分布在极点以右，它的全部极点分布在S 左左半平面，半平面，H(s)的收敛域包含的收敛域包含j 轴。轴。2、 与与 的关系的关系)()( jHsH)()( jHsHjs 用零极点方法求用零极点方法求

18、?)( jH)()()(21010ppssssssHsH 1ps2ps1N1M01s j01111011101ppsjNjNssjMjMs 2N j61211021010)()()(NNMHsjsjsjHjHpp 2101221111ppjQjQjQeNNeNNeMM 21012110)()(ppQQQjNNMHjH 求出求出H(s)的零点和极点，零点在分子，极点在的零点和极点，零点在分子，极点在 分母。分母。对对j 点求矢量，求出模和角，模分别乘除，点求矢量，求出模和角，模分别乘除， 角分别加减。角分别加减。62对对 从从 找找 n 个特殊点，画出总的个特殊点，画出总的 幅频、相频曲线幅频、

19、相频曲线 0 例例2、求电路的幅频相频特性、求电路的幅频相频特性+-)(sURsC1+-)(sE1）写出）写出H(s) 的表示式的表示式CRsssCRRsH11)( RCss10 一个零点：一个零点：一个极点：一个极点：2）求）求?)( jH10111)()(pQQjNMjH 633）讨论）讨论?)( jH)( jH1N1MRC1 j jRCRCjHRCNRCMRC121)(121111 1210)(00011 jHNMRC1 641)(11 jHNM讨论讨论?)( j90)(0900101 jQQp454590)(45901101 jQQRCp0)(9090101 jQQp9045)( jR

20、CC1 657.10 罗斯罗斯霍尔维茨稳定准则霍尔维茨稳定准则 如果如果 H(s) 的分母多项式为的分母多项式为 步序步序1：首先把该式的所有系数按如下顺序排成：首先把该式的所有系数按如下顺序排成 两行。两行。 00111 asasasannnn7531642 nnnnnnnnaaaaaaaa0a直至排到直至排到 为止为止66步序步序2、构成罗、构成罗霍序列霍序列0000001223332221111AABACBACBADCBADCBAnnnnnnnnnnnnnn 67其余各行按如下公式计算如下其余各行按如下公式计算如下221123221123111211121112 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnACACABABABAAADADACACACABABABAA68 归纳一下为：归纳一下为：iiiiiiiiiiiiACACABABABAA111111 11 iiiiBABA11 iiiiCACA 构成的数列称为罗斯构成的数列称为罗斯霍尔维茨数列霍尔维茨数列0121,AAAAAnnn 顺序计算符号变化的次数等于方程所具有的顺序计算符号变化的次数等于方程所具有的 实部为正的根数。实部为正的根数。69判据如下：用系统特征方程的系数，并经计算而判据如下：用系统特征方程的系数，并经计算而 构成的罗构成的罗霍数列中，若