等比数列例题分析

1、等比数列-例题解析【例1】已矢口 s”是数列如的前】项和，Sn=pn(peR, nGN*),那么数歹IJ伽 A.是等比数列B.当pHO时是等比数列C.当pHO, pH 1时是等比数列D.不是等比数列 分析 由Sn=pn(nGN*),有a=S=p拼且当n$2时，an=Sn-Sn. i=pn-pn4=(p-l)pn-1pHO故a? =(pl)p,因此数列a.)成等比数列o J p_HO (p-Dpn“(p-p(p-i)2)P“p但满足此条件的实数P是不存在的，故本题应选D-说明数列%成等比数列的必要条件是aQ0(nGN*),还要注意对任nFN*, 22,上都为同一常数是其定义规定的准确含义. an

2、-i【例2】 已知等比数列1,X,X2,，X2n, 2,求X x? X3X2n-解VI,X,X2,，X2n, 2成等比数列，公比q.2=1 - q2n+lX1X2X3 x2n=cl q2 q3.q2n=q+2+3+ +2n2n( l+2n)=q 5 = qn(2nAl) =2n【例3】等比数列a.中，已知a2=4, as =-1,求通项公式：已知a3 aq 巧=8,求的值.解(1此=a2qA2 Aq = %Fq=4(_*)n-2=(_*)Z(2):玄 a5=a； as - a4 , a5=aj =8八4二2又 a2a6 a3a5 a；a2a3a4a5a6=a； = 32【例4】 已知a0, b

3、0且aHb,在a, b之间插入n个正数X2,x%使得a, xp X2,，xnb成等比数列，求证明设这n+2个数所成数列的公比为q,则b=aq11+1n+l b=7AVxix2*xn =#aqaq, .aq = aq 2r1 +b=Vab【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(bcp+(ca)2+ (db)2= (adp.证法一 Ta、b、c、d成等比数列.a b cbed/.bA=ac2=2(b?ac)+2(c?bd)+(a22bc+d2)二昇一2ad+d2二心一小2二右边证毕.证法二Va. b. c、d成等比数列，设其公比为q,贝ij：b=aqan+i + 1 = 3(an + 1)A

4、 un+2-n+i 2(an+,-n): an+l - aj是等比数列，即an+1 an=(a2 a1)2n=3 -再注意到 a2aj=3, a3_a2=3 2，8433=3 2、，anan_i=3 2”,这些等式相 加，即可以得到2八1_1an =31 + 2 + 22+- + 2n，2 = 3 ) =3(2n-l)说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知.(1)中发现(an+l)是等比数列，(2)中发现(an+1-an)是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现.【例7】若实数山、a?、33、都不为零，且满足(a+aaj-2a2(ai+a3)a4+a2a3 = 0求 证：a,%

5、a2 ag成等比数列，且公比为J.证Vapa2.a3.a4均为不为零的实数*. (a： +a； )xc 2a?(如 +a3) x+a； +a； = 0 为实系数一元二次方程 等式(a； +a； )a： 2玄2仗+3)皿+a； +a； = 0说明上述方程有实数根a 4.- -上述方程的判别式$(),即一2a2(ai+a3)P - 4(a； +a； )(a； +a；)=_4(a； 343)2 20(WO又Tai、a?、a3为实数(a； 一alas)2 $0必有 a；3 d=0 即 a； =a3因而ap a2. 3成等比数列r.2a2(ai+a3)a2(ai+a3) a2乂 人4 i_2(a +a；

6、 )a： +”3 Q)-34即为等比数歹(J ab a2. a3的公比.【例8】若a、b、c成等差数列，且a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数列，求b的值.解设 a、b、c 分别为 bd、b、b+d,由已知 bd+1、bA b+d 与 bd、b、b+d+2 都成等 比数列，有b2 =(b-d+l)(b+d)b2 = (bd)(b+d + 2)整理，得b2 = b2 -d2 +b+db2 =b2-d2 + 2b-2db+d=2b2d 即 b=3d代人，得9d2=(3d-d+l)(3d+d)9d2=(2d+l)*4d解之，得d=4或d=0(舍)r.b=12【例9】已知等差数列aj的公差和等比数

7、列bJ的公比都是d,又知dHl,且国4小a10=b10:(1)求口与d的值：(2)是不是a中的项？思路：运用通项公式列方程解山a4 =b4aio = Soa + 3d = aid 3 +9d =哲子a,(l-d3)= - 3d ai(l-d9)= -9d=d6+d3-2 = 0 n* = 1(舍)或 d?二匠a = -d =返d = V2Vbi6=bi *dl5=-32bi且 j = aj +3d = -2A2 = b4bq = b cP = 2bi = 一2A2 /.bj = aj =y/232b=32a，如果是an中的第k项，贝【J-32aj=ai +(k- l)d/. (k1 )d=33

8、aj=33d/.k=34即bi6是aj中的第34项.121【例10设aj是等差数列, bn =(一产】，已知bi+bg+bj =,2ob,b2b3=1,求等差数列的通项.8解设等差数列佝】的公差为d,则a产ai+(n-l)d.b“=(；)W刖3 =(/出产=(；严田e由bjb八bj =，解得b;二秒，解得b?二；，代人已知条件oo21 叫2b3 = o121整理得3 =-或 b = 一 t3 = 2/.aj=1 d=2 或 a=3, d=2/ 当 aj=- 19 d=2 时 9 an=a +(n- 1 )d=2n-3-1 a =3, d=2 时 9 an=a +(n 1 )d=52n【例11三

9、个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加 32又成等比数列，求这三个数.解法一按等比数列设三个数，设原数列为a, aq, aq2由已知：a, aq+4, aq2成等差数列即：2(aq+4)=a+aq2a, aq+4, aq2+32成等比数列即：(aq+4)2=a(aq2+32)= aq + 2 = 4aAfa = 2 =2，两式联立解得：9q = 3iq = - 5- -这三数为：2, 6,18或才，-y,罟.解法二按等差数列设三个数，设原数列为b-d, b-4, b+d由已知：三个数成等比数列 即:(b4)2= (bT)(b+d)= 8bd2 = 16b-d,

10、b, b+d+32成等比数列即 b2= (b-d)(b+d+32)26b-3=32b-d2-32d = 0.两式联立，解得： 0三数为一一，十或2,6,18.解法三任意设三个未知数，设原数列为心，a2, a3由已知：aP a2, 33成等比数列得:a： = ap3a，a?+4,ag成等差数列得：2(a2+4)=a : +a3ap a2+4, a3+32成等比数列得：(a2+4)2=al(a3+32)、式联立，解得：aUI = 2或小=6a? =1850 a7说明将三个成等差数列的数设为a-d,a,a+d：将三个成等比数列的数设为a, aq, aq或a,凹)是一种常用技巧，可起到q简化计算过程的

11、作用.【例12有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四 个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a-d, a, a+d,则第四个数由已知条件可推得：上也 方法二设后三个数为b, bq, bq2,则第一个数由已知条件推得为2b-bq -方法三设第一个数与第二个数分别为x, y,则第三、第四个数依次为12y, 16 x.由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一设前三个数为ad, a, a+d,则第四个数为匚.a(a + d)z依题意，a-d+A=16a+(a+d

12、) = 12q4 a 二 9解方程组得：口或Ado =6所求四个数为:0, 4, 8, 16或15, 9,3, L解法二设后三个数为：b, bq, bq2,则第一个数为：2b-bq依题意有:2b bq + bq2 = 16b + bq = 12Fb =46=9解方程组得：c或1191 =2 lq2 =-所求四个数为：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1 解法三设四个数依次为x, y, 12y, 16x x+（12一y） = 2y y （16一x） = （12一y）2 依题意有x. =0x, = 15解方程组得：（或（4yi =4这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1

13、.【例13已知三个数成等差数列，其和为126：另外三个数成等比数列，把两个数列的对 应项依次相加，分别得到85, 76, 84.求这两个数列.解 设成等差数列的三个数为b-d, b, b+d,由已知，b-d+b+b+d=126 b=42这三个数可写成42d, 42, 42+d -再设另三个数为a, aq, aq?.由题设，得a+42-d = 85 ap+42 = 76aq2 + 42+d=84ad = 43aq = 34aq2+d = 42解这个方程组，得a = 17 或 a2=68当 *17 时，q=2, d=-26、“ia = 68 时,q =刁，d = 25从而得到：成等比数列的三个数为

14、17, 34, 68,此时成等差的三个数为68,42, 16：或者成等比 的三个数为68, 34, 17,此时成等差的三个数为17,42, 67.【例14已知在数列佝中,ab a2, a3成等差数列,a?、日勺、g成等比数列，与、a4. as的倒数成等差数列，证明：ara3. as成等比数列.证明由已知，有2a2=ai+a32 1 1 =+ a4 a3 a5山，得二 二3 a， 叼十% 由领导a?二乂严代入，得、 a1+a12a3 a5%= 2 a. +a整理，得33二“I +2)即 a3(a3+a5)=a5(aj+a3)2Cl 3 Id 3“5 = ” J $ IJ 3人52 aj - a “5所以aP a3. as成等比数列.【例 15已知(b c)logmX+(c a)logmy+(a b)logmZ=0 (1)设a, b, c依次成等差数列，且公差不为零，求证：X,y,z成等比数列.(2)设正数x. y, z依次成等比数列，且公比不为1,求证：a, b, c成等差数列.证明 (l)Ta, b, c成等差数列，且公差dHO/ bc=ab